3.5.2. Относительная объёмная деформация
Установим связь между относительным изменением объёма элементарного параллелепипеда и главными напряжениями. До деформации размеры сторон были dx, dy и dz (рис.3.14,а). После деформации эти размеры стали dx + ∆dx, dy + ∆dy и dz + ∆dz (рис.3.14,б).
а б
Рис.3.14
Начальный объём параллелепипеда V0 = dx∙dy∙dz. Объём после деформации V1 = (dx + ∆dx)(dy + ∆dy)(dz + ∆dz).
Найдём абсолютное изменение объёма параллелепипеда:
. (а)
В скобках выражения (а) содержатся относительные удлинения
,
,
.
Произведя в выражении (а) перемножение величин, стоящих в скобках, получим
∆V = V0 ∙ (1 + ε1 + ε2 + ε3 + ε1ε2 + ε2ε3 + ε1ε3 + ε1ε2ε3) – V0.
Учитывая малость относительных деформаций, произведением их можно пренебречь. Тогда относительное изменение объёма
. (3.27)
Выразив главные удлинения через главные напряжения при помощи формул обобщённого закона Гука (3.25), получим:
. (3.28)
Формулу (3.28) перепишем в несколько ином виде, с учётом (3.22)
σ1 + σ2 + σ3 = 3σокт = 3σср.
Тогда
(3.29)
или
σср = K ∙ θ, (3.30)
где
. (3.31)
Величина К называется модулем объёмной деформации. Формула (3.30) представляет собой компактную, отличную от (3.25), формулу записи обобщённого закона Гука. Она удобна ещё и тем, что совпадает по структуре с законом Гука при линейном напряжённом состоянии (σ = Еε).
Из формулы (3.28) видно, что при деформации тела, материал которого имеет коэффициент Пуассона ν = 0,5 (например, резина или сталь в пластичном состоянии) объём тела не меняется. Материал ведёт себя как несжимаемая жидкость.
Из формулы (3.28) также следует, что коэффициент Пуассона не может быть больше 0,5. Действительно, при равномерном всестороннем сжатии (гидростатическом давлении) σср = – р. И если материал будет иметь ν > 0,5, тело увеличит свой объём, что невозможно. Опыты подтверждают это положение: в природе не существует материала с коэффициентом Пуассона, большим 0,5.
3.6. Потенциальная энергия упругой деформации
Как отмечалось выше (см. п. 2.8), в процессе упругой деформации в теле накапливается потенциальная энергия, равная работе внешних сил. При осевом растяжении (линейном напряжённом состоянии) удельная потенциальная энергия (т.е. энергия, приходящаяся на единицу объёма) определяется по формуле (2.37)
.
В общем случае объёмного напряженного состояния
. (3.32)
Подставив значения ε по формуле (3.25), получим
. (3.33)
Экспериментальные исследования показали, что прочность материала зависит не только от величины компонентов напряжений, но и от характера напряжённого состояния. Так, большинство твёрдых тел противостоит без разрушения действию очень большого всестороннего давления – при этом изменяется объём бесконечно малого элемента. И наоборот, те же тела разрушаются при сравнительно невысоких напряжениях, если эти напряжения изменяют форму элемента. Поэтому полную потенциальную энергию упругой деформации, определяемую по формуле (3.33), представляют в виде суммы двух составляющих:
u = u0 + uф, (3.34)
где u0 – удельная потенциальная энергия изменения объёма, т.е. энергия, накапливаемая за счёт изменения объёма;
uф – удельная потенциальная энергия формоизменения, т.е. энергия, накапливаемая вследствие изменения формы элемента.
Для определения этих составляющих заданное напряжённое состояние представим в виде суммы двух напряжённых состояний (рис.3.15): изменяющего объём элементарного кубика (гидростатическое растяжение одинаковыми средними напряжениями) и изменяющего форму кубика.
Рис. 3.15
Чтобы найти u0, в формулу (3.33) подставим σ1 = σ2 = σ3 = σср и получим:
. (3.35)
Подставив в (3.35) значение σср = (σ1 + σ2 + σ3)/3, получим окончательное выражение для удельной потенциальной энергии изменения объёма
. (3.36)
Удельную потенциальную энергию формоизменения найдём простым вычитанием:
uф = u – u0.
Необходимо из (3.33) вычесть (3.36):
(3.37)
Итак, удельная потенциальная энергия формоизменения определяется по формуле
. (3.38)
Из (3.38) легко получить выражения для uф при плоском напряжённом состоянии (σ2 = 0)
. (3.39)
и при линейном напряжённом состоянии (σ2 = σ3 = 0)
. (3.40)