ma2002-1

82 Клевчихин Ю.А

Определение. Через C[a; b] (соотв. C(a; b)) обозначают множество всех непрерывных функций на отрезке [a; b]. (соотв. на интервале (a; b)). Таким образом, запись f 2 C[a; b] означает просто, что функция f непрерывна в каждой точке отрезка [a; b].

Теорема Следующие элементарные функции непрерывны на своей области определения:

1) y = xn;

2) y = sin x;

3) y = cos x;

4) y = loga x (a 6= 1, a > 0).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Фактически, мы уже доказали ранее, что lim sin x = sin x0, т.е. непрерывность функции sin в каждой точке R. Äëÿ

x!x0

ln x

косинуса доказательство аналогично, loga x = ln a , а непрерывность ln x íà (0; +1) уже доказана.

Тем не менее рекомендуется в качестве упражнения провести детальные доказательства всех этих фактов.

Лекция 13

Второй замечательный предел

Так называют следующее предельное соотношение:

Напомним, что число e определяется формулой e = lim ¡1 + 1 ¢n. Ïî-

n!1 n

этому естественно воспользоваться этим определением для доказательства соотношения (¤).

Лемма. Если (nk) произвольная последовательность натуральных чисел стремящаяся к +1 (не обязательно возрастающая), òî

lim ³1 + 1 ´nk = e

k!1 nk

Что и требовалось доказать.

Теорема. Справедливы следующие предельные соотношения:

Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем первое равенство воспользовавшись определением предела по Гейне. Для этого возьмем произвольную последовательность xn ! +1 и положим nk = [xk] (целая часть от xk). Тогда

nk 6 xk < nk + 1, поэтому

Все члены равенства больше 1, поэтому при возведении в большую степень могут только увеличиться:

Вычисляя предел слева, по лемме будем иметь

Аналогично справа

По теореме о сжатой переменной (для последовательностей) lim ¡1+x1k ¢xk =

k!1

e. И согласно определению предела Гейне, первое равенство доказано.

Докажем второе предельное соотношение. Для этого сделаем замену переменной по формуле x = ¡y. Тогда при x ! ¡1 будем иметь y ! +1.

Поэтому

Теорема доказана.

Теорема. (Второй замечательный предел)

1

lim (1 + x)x = e:

x!0

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò1 в о. В равенствах предыдущей теоремы, делая замену переменной y = x (тогда y ! +0 ïðè x ! +1 è y ! ¡0 ïðè x ! ¡1), будем иметь

И в силу равенства односторонних пределов существует простой предел и равен общему значению односторонних.

Что и требовалось доказать.

Следующие три следствия второго замечательного предела иногда тоже считают замечательными пределами и их знание является обязательным для каждого математика.

Следствие 1.

Локальные свойства непрерывных функций

Так называют свойства, которые описывают поведение функции вблизи одной точки.

Теорема 1. Если f непрерывна в x0, то существует окрестность U±(x0) (не проколотая!), в которой f ограничена.

lim f(x) = f(x0) ) 9± > 0 9C 8x 2 U±(x0) ) jf(x)j 6 C:

x!x0

Д о к а з а т е л ь с т в о. По определению непрерывности в точке x0

òî jf(x)j < C.

Что и требовалось доказать.

Эта теорема является непосредственным следствием соответствующей теоремы о пределах. Тем не менее, в качестве упражнения рекомендуется провести полное доказательство для данного случая.

Теорема 3 (арифметические свойства). Если f è g непрерывны в точке

x0, то непрерывны в x0

1) f § g;

2) f ¢ g;

3) fg , при дополнительном условии

Эта теорема тоже является непосредственным следствием теоремы об арифметических свойствах пределов функции. В качестве самостоятельной работы рекомендуется написать полные доказательства этих свойств для данного случая.

Лекция 14.

Глобальные свойства непрерывных функций

Здесь мы изучим свойства, которыми обладают непрерывные функции, рассматриваемые как единое целое . Напомним, что C[a; b] множество

всех непрерывных на [a; b] функций, а B[a; b] множество всех ограни- ченных на [a; b] функций. А запись f 2 C[a; b] (соотв. f 2 B[a; b]) можно считать просто сокращением слов: функция f непрерывна в каждой точке

отрезка [a; b] (соотв. функция f ограничена на отрезке [a; b] ).

Теорема (1-я теорема Вейерштрасса) Если функция непрерывна на замкнутом промежутке [a; b], то она ограничена на этом отрезке:

f2 C[a; b] ) f 2 B[a; b]:

Äî ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. e Пусть f неограничена на [a; b]. Тогда выполнено условие (отрицание условия ограниченности):

8C 9x : x 2 [a; b] ^ jf(x)j > C:

Беря последовательно C = n будем находить такие xn 2 [a; b], в которых jf(xn)j > n. Из полученной ограниченной последовательности (xn)

выделим (по теореме Больцано-Вейерштрасса) сходящуюся подпоследовательность (xnk ). Пусть xnk ¡¡¡¡! x0. Тогда x0 2 [a; b], òàê êàê a 6 xnk 6 b

k!1

и в неравенствах можно переходить к пределу. Теперь, с одной стороны

jf(xnk )j > nk ¡¡¡¡! 1;

k!1

и последовательность ¡f(xnk )¢ неограничена, а с другой, в силу непрерывности f в точке x0 2 [a; b] и определения предела по Гейне

lim f(xnk ) = f(x0)

k!1

и, значит, последовательность ¡f(xnk )¢ ограничена?! Противоречие доказывает теорему.

Замечание. Отметим важность условия замкнутости промежутка [a; b]. Оно гарантирует принадлежность точки x0 множеству, где функция непре-

Более образно эту теорему формулируют так:

Åñëè f непрерывна на замкнутом промежутке [a; b], òî îíà достигает своих точных верхней и нижней граней.

Если же вспомнить определения максимального и минимального элементов, то эту теорему еще можно сформулировать так:

У множества значений, которые принимает непрерывная функция на замкнутом промежутке [a; b], существуют максималь-

ный и минимальный элементы.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть f 2 C[a; b]. По первой теореме Вей-

ерштрасса она ограничена, поэтому множество ее значений имеет точные верхнюю и нижнюю грани. Мы покажем только, что существует точка x 2 [a; b], в которой f(x) = m = inf f(x). Оставшееся (для успешной

x2[a;b]

сдачи экзамена) необходимо доказать самостоятельно.

88

По определению точной нижней грани для любого

число x" 2 [a; b], ÷òî m 6 f(x") < m + ".

" = n1 построим такую последовательность xn 2 [a; b], ÷òî m 6 f(xn) < m + n1 . Очевидно, f(xn) сходится к m. По теореме Больцано-Вейерштрасса имеется подпоследовательность (xnk ), ñõî-

дящаяся к некоторому элементу x 2 [a; b] (см. замечание к 1-ой теореме

Следующая теорема важна для приложений математики, поскольку дает легко реализуемый алгоритм (приближенного) решения уравнений.

Теорема (О. Коши о нулях) Если f непрерывна на замкнутом промежутке [a; b] и принимает на концах значения разных знаков, то существует точка x0 2 (a; b), в которой f(x0) = 0:

f 2 C[a; b] è f(a) ¢ f(b) < 0 ) 9x0 2 (a; b) : f(x0) = 0:

Д о к а з а т е л ь с т в о. Для определенности предположим, что f(a) < 0, f(b) > 0. Другой случай доказывается аналогично.

Применим метод дихотомии. Разделим отрезок [a; b] точкой c = пополам. Если f(c) = 0, то все доказано. Если f(c) =6 0, то из двух полови-

нок обозначим через [a1; b1] ту из них, для которой f(a1) < 0 è f(b1) > 0. С полученным отрезком [a1; b1] поступим так же: делим пополам точкой

В результате такой процедуры либо мы через конечное число шагов попадем в точку cn, в которой f(cn) = 0 (и теорема доказана), либо постро-

им последовательность вложенных отрезков [an; bn], у которых bn ¡ an =

b¡a ! 0. Согласно принципу вложенных отрезков в этом случае имеется

2n

T1

(единственная) точка x0 2 [an; bn] è an " x0 (т.е. монотонно возрастая),

n=1

bn # x0 (т.е. монотонно убывая). В силу непрерывности f имеем

Íî ïðè âñåõ n имеем f(an) < 0, значит, f(x0) 6 0. С другой стороны,

ïðè âñåõ n имеем f(bn) > 0, значит, f(x0) > 0. Поэтому f(x0) = 0, что и требовалось доказать.

Теорема (О. Коши о промежуточных значениях). Если f 2 C[a; b] è

f(a) = A, f(b) = B, то для любого числа y0 между A è B найдется такое

x0 2 [a; b], ÷òî f(x0) = y0.

Иногда эту теорему еще формулируют так: непрерывная функция принимает все промежуточные значения между теми, которые она принимает на концах промежутка [a; b].

Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим для определенности, что A < B è A 6 y0 6 B. Рассмотрим новую функцию F (x) = f(x) ¡ y0.

Очевидно, она непрерывна на [a; b] è F (a) = f(a) ¡ y0 = A ¡ y0 < 0, F (b) = f(b) ¡ y0 = B ¡ y0 > 0. Поэтому, по предыдущей теореме (О.Коши о нулях) существует точка x0, в которой F (x0) = 0, òî åñòü f(x0) ¡ y0 = 0 èëè f(x0) = y0.

Д о к а з а т е л ь с т в о. По 2-ой теореме Вейерштрасса существуют точки x1, x2, в которых функция принимает минимальное и максимальное

значения (A è B соответственно). На промежутке [x1; x2] (в случае x1 < x2

è [x2; x1] в случае противоположного неравенства) выполнены все условия теоремы Коши о промежуточных значениях, поэтому существует точка x0 2 [x1; x2] ½ [a; b], в которой f(x0) = y0.

Что и требовалось доказать.

В качестве применения доказанных теорем приведем некоторые результаты часто используемые в приложениях.

Определение. Пусть f : [a; b] ! [a; b]. Точка x0 называется неподвиж- íîé äëÿ f, åñëè f(x0) = x0.

Отметим, что условие f : [a; b] ! [a; b] нетривиально. Оно означает, что для любых x 2 [a; b] должны выполняться неравенства a 6 f(x) 6 b.

Теорема (о существовании неподвижной точки) Если f : [a; b] ! [a; b]

непрерывная функция, то f имеет неподвижную точку.

Äо к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим функцию F (x) = f(x) ¡ x. Она непрерывна на [a; b], как разность двух непрерывных функций. Кроме того, F (a) = f(a) ¡ a > 0, à F (b) = f(b) ¡ b 6 0. По теореме Коши о

нулях, существует точка x0, в которой F (x0) = 0, òî åñòü f(x0) ¡ x0 = 0 èëè f(x0) = x0.

Что и требовалось доказать.

Следующая теорема имеет геометрический характер. И для ее формулировки нам понадобятся некоторые понятия. Мы будем рассматривать плоскость, на которой фиксируем систему координат. Будем обозначать x = (x1; x2) точки этой плоскости.

Определение. Две точки, лежащие на одной окружности, называются антиподальными,1 если они лежат на (противоположных) концах одного диаметра.

Очевидно, если окружность имеет центр в нуле и точка x = (x1; x2) лежит на одном конце диаметра, то антиподальной будет точка ¡x =

(¡x1; ¡x2). (Нарисуйте картинку).

Теорема (об антиподальных точках). Если функция f непрерывна на

окружности, то существуют антиподальные точки, в которых она принимает одинаковые значения.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим новую функцию на окружности: F (x) = f(x) ¡ f(¡x). Она непрерывна, как разность двух непрерывных

функций. Взяв произвольную точку x1, вычислим значение функции F â

антиподальной точке ¡x1:

F (¡x1) = f(¡x1) ¡ f(x1) = ¡¡f(x1) ¡ f(¡x1)¢ = ¡F (x1):

То есть в антиподальных точках функция F принимает значения разных

знаков. По теореме Коши о нулях, существует точка x0, в которой F (x0) =

0, òî åñòü f(x0) = f(¡x0).

Что и требовалось доказать.

Определение. Пусть функция f определена на промежутке [a; b]. Напомним, что функция g, определенная на промежутке [A; B] называется

[a; b], строго возрастает на [a; b] è A = f(a), B = f(b), то существует функция g обратная к f. При этом она строго возрастает и непрерывна

на промежутке [A; B].

Д о к а з а т е л ь с т в о. Шаг 1. Докажем сначала существование. Так как A = f(a) è B = f(b), по теореме Коши о промежуточных значениях

для любого y 2 [A; B] найдется такое число x 2 [a; b], ÷òî y = f(x). По определению положим g(y) = x и это определение корректно, т.е. число x для каждого y определяется однозначно

1От слова антипод