ma2002-1

e Пусть f(x) = y è f(x0) = y. Можно считать, что x < x0, íî тогда в силу строго возрастания f(x) < f(x0)?!

и существование функции g доказано.

Шаг 2. Докажем монотонность g. e Пусть y1 < y2 è x1 = g(y1) > g(y2) = x1. Но тогда f(x1) = y1 è f(x2) = y2 и в силу строгого возрастания

f, òàê êàê x1 > x2 должны иметь y1 > y2?!

Шаг 3. Докажем непрерывность g. e В силу доказанной монотонности g она имеет в каждой точке из [A; B] конечные односторонние пре-

делы, значит, не может иметь разрывов 2-го рода. Пусть в точке y0 ðàç- рыв 1-го рода и, скажем, g(y0 ¡ 0) 6= g(y0) (напомним, что по определе-

y2[A;y0)

доказывает неверность предположения. Теорема полностью доказана.

Замечание. Очевидно, аналогичная теорема справедлива и для строго убывающей непрерывной на [a; b] функции. Точная формулировка и дока-

зательство этой теоремы остается в качестве упражнения для самостоятельной работы.

Следствие. Следующие элементарные функции являются непрерывными по доказанной теореме:

1) y = ex как обратная к строго возрастающей непрерывной функции x = ln y (или, более общо, y = ax).

[0; ¼] функции x = cos y.

Лекция 15

О-символика

Здесь мы приводим терминологию, связанную с пределами и очень часто используемую не только в математическом анализе, а потому знать ее должен каждый образованный математик.

Определение. Две последовательности называют эквивалентными и пишут xn » yn, если существует такая последовательность

Теорема. Если при любых n имеем yn =6 0, то последовательности (xn) è (yn) эквивалентны тогда и только тогда, когда

lim xn = 1: yn

Определение Говорят, что функции f è g эквивалентны при x стремящемся к x0 (и пишут f(x) » g(x) ïðè x ! x0), когда существует та-

Теорема. Если функция g(x) =6 0 в некоторой проколотой окрестности точки x0, òî f(x) » g(x) ïðè x ! x0 тогда и только тогда, когда

lim f(x) = 1:

x!x0 g(x)

Эта теорема не менее очевидна, чем для последовательностей. Примеры. Вспоминая первый замечательный предел и следствия из

второго, можем написать при x ! 0

sin x » x; ln(1 + x) » x; (ax ¡ 1) » x ln a; £(1 + x)® ¡ 1¤ » ®x:

В качестве упражнения рекомендуется проверить, что введенное отношение » обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзи-

тивности, то есть действительно является отношением эквивалентности на множестве всех последовательностей (или функций, определенных в некоторой окрестности x0)

Следующие два определения немного обобщают предыдущие: Определение. Говорят, что последовательность (xn) есть O-большое

îò (yn) ïðè n стремящемся к бесконечности и пишут

xn = O(yn) ïðè n ! 1;

когда существует такая ограниченная последовательность ®n, ÷òî xn =

®nyn:

def

xn = O(yn) ïðè n ! 1 , 9(®n) : 8n xn = ®nyn ^ ®n ограничена

В частности, если xn » yn можем написать xn = O(yn). Обратное,

очевидно, неверно.

Теорема. Если при всех n имеем yn 6= 0, òî xn = O(yn) ïðè n ! 1 тогда и только тогда, когда последовательность xn

Если вспомнить о том, что всякая сходящаяся последовательностьyn ограничена. огра-

Для функций все соответствующие результаты выглядят так.

Определение. Говорят, что f(x) есть О-большое от g(x) ïðè x ! x0

и пишут: f(x) = O¡g(x)¢ ïðè

когда существуют проколотая окрестность точки x0 и ограниченная в ней функция ®(x) такие, что при всех x из этой проколотой окрестности f(x) =

®(x)g(x).

Теорема. Если g(x) 6= 0 в некоторой проколотой окрестности точки x0, òî f(x) = O¡g(x)¢ ïðè x ! x0 тогда и только тогда, когда существу-

что последовательность (xn) ограничена.

(Хотя предела отношения при x ! 0 не существует)

Следующие понятия наиболее употребимы из всей о-символики: Определение. Говорят, что последовательность (xn) есть о-малое от

yn ïðè n стремящемся к бесконечности и пишут:

xn = o(yn) ïðè n ! 1;

когда существует такая последовательность ®n, ÷òî ïðè âñåõ n имеем xn =

®nyn è ®n ¡¡¡¡! 0.

n!1

Аналогично для функций:

Говорят, что f(x) есть о-малое от g(x) ïðè x стремящемся к x0 и пишут

f(x) = o¡g(x)¢ ïðè x ! x0

±

когда существует такая проколотая окрестность U±(x0) и функция ®(x), определенная в этой окрестности, что

f(x) = ®(x)g(x) è ®(x) ¡¡¡¡! 0:

x!x0

Формулировка соответствующей теоремы для последовательностей остается в качестве упражнения.

Примеры. Запись xn = o(1) ïðè n ! 1, как следует непосредственно

из определения в точности означает, что lim xn = 0.

n!1

Аналогично, f(x) = o(1) ïðè x ! x0 тогда и только тогда, когда

lim f(x) = 0.

x!x0

Определение. Последовательность (xn) (соотв. функцию f(x)) называют бесконечно малой при n ! 1 (соотв. при x ! x0), åñëè xn = o(1) ïðè n ! 1 (соотв. f(x) = o(1) ïðè x ! x0).

Если последовательность (yn) есть бесконечно малая, то последовательность (xn) называют бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с (yn), åñëè xn = o(yn).

Замечание. Отметим, что условия xn = o(yn) ïðè n ! 1 недостаточ- но, чтобы говорить, что xn бесконечно малая более высокого порядка

÷åì yn . Надо еще, чтобы yn ! 0 ïðè n ! 1. Например, очевидно, что n = o(n2) ïðè n ! 1, íî íè (n), íè (n2) не являются бесконечно малыми.

Некоторые топологические понятия

Более подробно элементы топологии мы изучим в следующем семестре при изучении функций нескольких переменных, а здесь мы рассмотрим только несколько общих понятий, которые понадобятся нам в ближайшее время.

Определение. Точка x0 называется внутренней для множества E, если она принадлежит E вместе с некоторой окрестностью:

Точка x0 не является внутренней для E, когда для нее выполняется отрицание условия (¤), то есть никакая окрестность U±(x0) не содержится целиком в E. Очевидно, это равносильно тому, что любая окрестность

U±(x0) содержит точки, не принадлежащие E èëè U±(x0) ¡ E 6= ?:

8± > 0 U±(x0) ¡ E =6 ?:

Примеры 1. Пусть E = [a; b]. Åñëè x0 2 (a; b) (т.е. выполняются строгие неравенства a < x0 < b), òî x0 внутренняя для [a; b]. В самом деле, обозначив через ± = minfx0 ¡a; b ¡x0g, получим U±(x0) = (x0 ¡±; x0 + ±) ½

[a; b] 1

2. Точки a è b отрезка [a; b] не являются внутренними для [a; b] (что вполне согласуется с нашими бытовыми представлениями: точки a è b лежат на краю отрезка, а не внутри). Докажем это, например, для a.

Для любого интервала (a ¡ ±; a + ±) имеем

(a ¡ ±; a + ±) ¡ [a; b] = (a ¡ ±; a) =6 ?:

Что и требовалось доказать.

Следующее понятие одно из самых важных для топологии и математи- ческого анализа.

1Нарисуйте картинку.

Определение. Точка x0 называется предельной для множества E, если любая проколотая окрестность точки x0 имеет непустое пересечение с E:

В соответствии с общим правилом построения отрицаний высказываний, точка x0 не является предельной, когда

±

9± > 0 : U±(x0) \ E = ?:

то есть точка x0 должна иметь проколотую окрестность, непересекающуюся с E.

Примеры. 1. Всякая внутренняя точка для E, очевидно, является пре-

дельной. Обратное, в общем случае неверно. Более того, предельная точка не обязана принадлежать E. Например, пусть E = (a; b). Точка a 2= (a; b),

Значит, a предельная для (a; b).

доказать.

Задачи. 1. Доказать, что у множества из предыдущего примера нет других предельных точек. n 1

2. Найти все предельные точки множества E = f(¡1) + n : n 2 Ng. 3¤. Доказать, что для множества значений последовательности (fnag)n2N

дробных частей чисел na, ãäå a фиксированное иррациональное число (произвольное), предельными являются все точки отрезка [0; 1].

Определение. Множество G ½ R называется открытым, если состоит только из внутренних точек:

def

, 8x x 2 G ) 9± > 0 U±(x) ½ G:

Примеры 1. Интервал (a; b) открытое множество. Если x 2 (a; b), то выполняются строгие неравенства a < x < b), поэтому, обозначая ± =

minfx ¡ a; b ¡ xg, получим1 U±(x) = (x ¡ ±; x + ±) ½ (a; b), то есть каждая точка x внутренняя.

1Нарисуйте картинку

2¤. Доказать, что любое открытое множество в R является объединени-

ем некоторого количества (возможно бесконечного) попарно непересекающихся интервалов.

Обозначим через T класс1 всех открытых множеств, содержащихся в R. Таким образом, соотношение G 2 T означает в точности то, что G

открытое множество в R.

Теорема. Объединение любого количества открытых множеств открыто: [

8(Gi)i2I 8i Gi 2 T ) Gi 2 T :

i2I

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть x 2 S Gi. Тогда существует такое

i2I

i0 2 I, ÷òî x 2 Gi0 . Так как по предположению Gi0 окрестность U±(x), содержащаяся в Gi0 . Но тогда она единении всех Gi. Значит, x внутренняя точка для это для произвольной точки из G = S

i2I

i2J

. Так как по предположению G открыто, имеется окрестность

U±i (x), содержащаяся в Gi. Положим ± = minf±i : i 2 Jg. Отметим, что

± строго больше нуля, так как является минимальным среди конечного числа ±i > 0. Очевидно, тогда U±(x) содержится в каждой из окрестностей

открыто.

Отметим, что пересечение бесконечного чисëа открытых множеств не обязано быть открытым. Например, пусть (a ¡ n1 ; b) = Gn, тогда (доказать самостоятельно) nT1=1 Gn = [a; b). И множество [a; b)

(точка a не является внутренней).

1Этот класс является множеством

98 Клевчихин Ю.А

Определение. Множество F называется замкнутым, если содержит все свои предельные точки:

def

F замкнуто , (8x) x предельная для F ) x 2 F

Примеры. 1. Отрезок [a; b] замкнутое множество. Действительно, если x 2= [a; b], òî èëè x < a, èëè x > b. Åñëè x < a, òî áåðÿ ± = a ¡ x > 0,

±

видим, что U±(x) \ [a; b] = ?, òî åñòü x не является предельной точкой для [a; b]. Случай b < x рассматривается аналогично. Таким образом, [a; b]

содержит все свои предельные точки, то есть замкнуто.

2. Любое множество F , состоящее из конечного числа точек, замкнуто.

Доказать самостоятельно.

3. Множество всех действительных чисел R одновременно открыто и

замкнуто. По определению этим свойством еще обладает пустое множество ?. А, например, промежуток [a; b) не является ни открытым, ни замкнутым

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть F замкнуто. Соотношение x 2 F c означает, что точка x не принадлежит замкнутому множеству F , поэтому

не является для него предельной. Значит, имеется окрестность U±(x) непересекающаяся с F , а потому содержащаяся в F c. Òî åñòü x принадлежит

F c вместе с окрестностью U±(x). Мы показали, что любая точка x 2 F c внутренняя, значит, F c открыто.

Пусть G открыто и точка x предельная для Gc. Тогда x 2= G, иначе она принадлежала бы G вместе с некоторой окрестностью и эта окрестность не пересекалась бы с Gc, что противоречит тому, что x предельная äëÿ Gc. Значит, x 2 Gc è Gc содержит все свои предельные точки.

подпо-

крытие G.

Определение. Покрытие K множества A называется конечным, если K состоит из конечного числа элементов.

Определение. Множество K называется компактным (или, иначе, K

компакт), если в любом его открытом покрытии имеется конечное подпокрытие.

Более образно то же самое выражают словами: K компактно, когда

из любого его открытого покрытия можно извлечь конечное подпокрытие. В случае, когда K компактное подмножество множества X, пишут K b

X.

Пример. Множество K, состоящее из конечного числа точек, компакт-

но. Это вполне очевидно, но имеются и бесконечные компактные множества. Примеры таких множеств дает следующая теорема.

Теорема (Э. Борель) Замкнутый интервал [a; b] является компакт-

ным множеством:

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. e

[a; b], в котором нет конечного подпокрытия.

(Метод дихотомии) Разделим отрезок [a; b] точкой a+b

2 пополам и обозначим через [a1; b1] ту из половинок, которая не покрывается никаким ко-

нечным числом элементов G 2 G. (Если таковы обе, то выбираем любую,

например, левую. Если бы такой не было, то весь интервал покрывался бы конечным числом множеств G из G, что противоречит предположению).

Теперь, делим отрезок [a1; b1] пополам и опять выбираем ту из половинок, которая не покрывается конечным числом элементов G èç G. È òàê

далее.

В результате получим последовательность вложенных отрезков [an; bn],

у которых bn ¡ an = ¡¡¡¡! 0. По теореме Кантора все они имеют

n!1

единственную общую точку, скажем, x0 2 [a; b]:

\1

[an; bn] = fx0g:

n=1

Так как G покрытие [a; b], эта точка x0 принадлежит какому-то множеству G 2 G. А поскольку G открыто, то существует окрестность U"(x0) ½ G.

1Нарисуйте картинку