ma2002-1

выберем ± > 0 так, чтобы при всех x 2 U±(x0) выполнялось неравенство

То есть выполнены все условия теоремы о сжатой переменной для последовательностей. Значит, lim f(xn) = a. Поскольку это доказано для любой

n!1

последовательности (xn) с указанными выше свойствами, согласно определению по Гейне lim f(x) = a.

74 Клевчихин Ю.А

n связаны неравенством f(xn) 6 g(xn) и, по определению Гейне, имеют

пределы lim f(xn) = a è lim g(xn) = b. По соответствующей теореме для

n!1 n!1

последовательностей a 6 b. Что и требовалось доказать.

Теорема (об арифметических свойствах предела) Если функции f è g

имеют в точке x0 конечный предел, то существуют пределы, написанные слева, и справедливы равенства:

Причем, существование предела слева в последнем равенстве (и само равенство) можно гарантировать в общем случае только при дополнительном условии lim g(x) =6 0.

x!x0

Д о к а з а т е л ь с т в о. С помощью определения предела Гейне все доказательство можно свести к применению соответствующих теорем для последовательностей1, но мы докажем это пользуясь определением предела Коши, чтобы продемонстрировать как оно работает.

1) Пусть lim f(x) = A è lim g(x) = B. По определению предела для

x!x0 x!x0

произвольного " > 0 найдется такое ±1 > 0, ÷òî ïðè x, удовлетворяющих неравенствам 0 < jx ¡ x0j < ±1, выполняется неравенство jf(x) ¡ Aj < "=2. Точно так же найдется такое ±2 > 0, ÷òî ïðè 0 < jx¡x0j < ±2, выполняется неравенство jg(x) ¡ Bj < "=2. Выбрав ± = minf±1; ±2g > 0 видим, что при x, удовлетворяющих неравенствам 0 < jx ¡ x0j < ± можем написать

j¡f(x) + g(x)¢ ¡ (A + B)j = j¡f(x) ¡ A¢ + ¡g(x) ¡ B¢j 6 6 jf(x) ¡ Aj + jg(x) ¡ Bj < 2" + 2" = ":

èпервое равенство доказано.

2)Пусть опять lim f(x) = A è lim g(x) = B. Найдем сначала проко-

x!x0 x!x0

лотую ±0-окрестность, где jg(x)j 6 M (это можно сделать, так как g имеет

конечный предел). Далее, подберем ±1 > 0 так, чтобы при 0 < jx ¡ x0j < ±1

выполнялось неравенство jf(x)¡Aj < 2M" è ±2 > 0, чтобы при 0 < jx¡x0j <

±2 выполнялось неравенство jg(x) ¡ Bj < " A 6= 0). Тогда, при 2jAj (åñëè

1Рекомендуется проделать в качестве упражнения

ax = y =6 0, то есть выполнены все условия предыдущей теоремы, поэтому

2. Вычислить предел lim arcsin x

x!0 x .

Ðе ш е н и е. Обозначим y = arcsin x. Тогда при x ! 0, y = arcsin x ! 0

èy 6= 0 ïðè x 6= 0. Поэтому (учитывая, что x = sin y)

Лекция 11

Теоремы существования предела функции

Для нахождения пределов очень важной является информация о том, существует или нет искомый предел. Бывают случаи, когда на этот вопрос можно ответить не вычисляя самого предела. Здесь мы изучим такие слу- чаи.

Сначала напомним определение.

Определение. Функция f называется возрастающей (соответственно

строго возрастающей) на отрезке [a; b] (в конспектах пишут f %[a;b] èëè f " [a; b]), когда при любых x1 < x2 из отрезка [a; b] выполняется неравенство f(x1) 6 f(x2) (соответственно f(x1) < f(x2)):

def

f %[a;b] , 8x1; x2 2 [a; b] x1 < x2 ) f(x1) 6 f(x2):

Функция f называется убывающей (соответственно строго убывающей) на отрезке [a; b] (в конспектах пишут f &[a;b] èëè f # [a; b]), когда при

любых x1 < x2 из отрезка [a; b] выполняется неравенство f(x1) > f(x2) (соответственно f(x1) > f(x2)):

[a;b] def

f & , 8x1; x2 2 [a; b] x1 < x2 ) f(x1) > f(x2):

Иначе говоря, применение возрастающей функции к обеим частям неравенства сохраняет это неравенство, а убывающей меняет знак неравенства на противоположный.

Если функция возрастает (или убывает) на всем промежутке [a; b], òî

àесли убывает, то неравенства противоположные.

Âкрайних точках a è b существуют соответствующие односторон-

ние пределы lim f(x) = f(a + 0) > f(a) è

x!a+0 x!b¡0

(для возрастающей функции).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что f возрастает. Тогда при любых x < x0 имеем f(x) 6 f(x0), поэтому sup f(x) 6 f(x0) (наименьшая

нию точной верхней грани для произвольного " > 0 найдем такое число

x1 < x0, ÷òî A¡" < f(x1) 6 A. В силу возрастания f для любых x 2 (x1; x0) будем иметь

A ¡ " < f(x1) 6 f(x) 6 A òî åñòü f(x) 2 U"(A);

что и требовалось доказать.

Существование предела справа доказывается аналогично и остается для самостоятельной работы.

Критерий Коши для функции

Определение. Говорят, что функция f удовлетворяет условию Коши в точке x0, åñëè

(

8" > 0 9± > 0 8x0; x00 : 0 < jx0 ¡ x0j < ± ) jf(x0) ¡ f(x00)j < " 0 < jx00 ¡ x0j < ±

Используя понятие проколотой окрестности, это условие можно записать немного короче:

±

8" > 0 9± > 0 8x0; x00 2 U±(x0) ) jf(x0) ¡ f(x00)j < ":

78 Клевчихин Ю.А

(для любого " > 0 существует такое ± > 0, что при любых x0; x00 из проко- лотой ±-окрестности точки x0 выполняется неравенство jf(x0)¡f(x00)j < ")

Лемма Если известно, что для любой последовательности (xn) òà-

êîé, ÷òî xn ¡¡¡¡! x0 è xn 6= x0 соответствующая последовательность

n!1

значений функции f(xn) сходится, то все такие последовательности схо-

f(yn) имеет предел, который мы обозначим через A. Но последовательность f(xk) является подпоследовательностью f(yn) с четными номерами,

элементы из этой проколотой окрестности U±(x0), то справедлива оценка

jf(x0) ¡ f(x00)j 6 jf(x0) ¡ Aj + jA ¡ f(x00)j < "=2 + "=2 = ":

И необходимость доказана.

(() Нам дано, что выполнено условие Коши. Для доказательства существования предела воспользуемся определением Гейне. Пусть (xn) ïðî-

извольная последовательность со свойствами xn =6 x0 è xn ¡¡¡¡! x0. Рассмотрим последовательность значений функции ¡f(xn)¢. n!1

Она фундаментальна, так как для любого " > 0 сначала найдем ± > 0

±

так, чтобы при любых x0; x00 2 U±(x0) выполнялось неравенство jf(x0) ¡

±

f(x00)j < ", затем подберем N так, чтобы при всех n > N имели xn 2 U±(x0),

±

но тогда и xn+p 2 U±(x0), значит, jf(xn) ¡ f(xn+p)j < ".

В силу фундаментальности, последовательность ¡f(xn)¢ сходится, скажем, к числу A. По предыдущей лемме этот предел не зависит от выбора

последовательности (xn), поэтому по определению Гейне предел функции f равен этому числу A. Что и требовалось доказать.

Примеры. 1. Покажем с помощью критерия Коши, что функция

±

sin x имеет предел в точке x0, для этого, выбрав x0; x00 2 U±(x0), можем написать оценку:

Откуда видно, что для f выполнено условие Коши в точке x0, значит, она

Лекция 12. Непрерывность

Определение. Функция f называется непрерывной в точке x0, åñëè îíà определена в некоторой окрестности этой точки и

lim f(x) = f(x0):

x!x0

Более подробно в алгебраических терминах это означает:

8" > 0 9± > 0 8x : jx ¡ x0j < ± ) jf(x) ¡ f(x0)j < "

Отметим, что в данном случае x можно выбирать любое из полной, а

не проколотой окрестности точки x0, т.к. в самой точке x0

венство jf(x) ¡ f(x0)j < " выполняется автоматически (0 < "). В геометрических терминах это определение выглядит так:

8" > 0 9± > 0 8x 2 U±(x0) ) f(x) 2 U"¡f(x0)¢;

т.е. для любой "-окрестности U"¡f(x0)¢ точки f(x0) найдется такая ±-îê-

рестность U (x ) точки x , что образы всех точек x èç U (x ) попадают в

U"¡f(x0)¢. ± 0 0 ± 0

Более коротко то же самое означает:

Функция f непрерывна в x0 тогда и только тогда, когда прообраз при f любой "-окрестности точки f(x0) содержит некоторую

±-окрестность точки x0:

8" > 0 9± > 0 f¡1¡U"(f(x0))¢ ¾ U±(x0):

Замечание. Равенство lim f(x) = f(x0) часто интерпретируют, как

x!x0

возможность перестановки операций перехода к пределу и вычисления функции:

lim f(x) = f( lim x)

x!x0 x!x0

Особенно полезно это иметь в виду при различных заменах переменной у непрерывной функции (см. замечание к теореме о замене переменной в пределе).

Определение. Говорят, что функция f имеет разрыв в точке x0, åñëè она в этой точке не является непрерывной, то есть f не определена в точке

x0, èëè lim f(x) 6= f(x0) (В частности, этого равенства нет и есть разрыв,

x!x0

когда предела в левой части равенства не существует).

Точки разрыва функции f классифицируют в зависимости от ее пове-

дения вблизи этой точки согласно следующему определению. Определение. Говорят, что x0 точка разрыва 1-го рода функции f,

если существуют конечные односторонние пределы при x ! x0, íî õîòÿ áû один из них не совпадает со значением f в точке x0 (в частности, когда f не определена в точке x0)

íî

f(x0 ¡ 0) 6= f(x0) _ f(x0 + 0) 6= f(x0)

устранимым.

Точки разрыва не являющиеся разрывами 1-го рода, называют точками разрыва 2-го рода.

Очевидно, x0 точка разрыва 2-го рода тогда и только тогда, когда хотя бы один из односторонних пределов в точке x0 не существует или равен 1.