ma2002-1

и теорема доказана.

Замечание. Из доказательства теоремы следует, что 2 < e < 3. Можно доказать, что число e иррационально, e ¼ 2; 718281828459. 1

Принцип вложенных отрезков

Следующая ниже теорема настолько часто и эффективно применяется при доказательстве других теорем, что ее называют принципом .

Определение. Последовательность отрезков ([an; bn])n2N называется

последовательностью вложенных отрезков, если

[a1; b1] ¾ [a2; b2] ¾ ¢ ¢ ¢ ¾ [an; bn] ¾ : : :

Очевидно, в этом случае последовательность левых концов отрезков

является возрастающей, а последовательность правых (bn) убывающей. Теорема Кантора (принцип вложенных отрезков). Если ([an; bn])n2N

такая последовательность вложенных отрезков, что lim (bn¡an)=0,

n!1

то существует единственная точка c, принадлежащая всем отрезкам одновременно:

Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим через A множество левых концов всех отрезков, а через B правых:

A = fan : n 2 Ng B = fbn : n 2 Ng:

Очевидно, для любых n, m имеем an < bm, поэтому согласно свойству полноты множества действительных чисел существует точка c, разделяющая эти множества, т.е. такая, что

8an 2 A 8bm 2 B an 6 c 6 bm

В частности, для любых n будем иметь c 2 [an; bn], значит, c 2 T1 [an; bn].

Остается показать, что такая точка единственна.

n=1

eПусть c è c0 2 T1 [an; bn]. Будем считать, что c < c0. Тогда для любых

n=1

n an 6 c < c0 6 bn. Для произвольного " > 0 выберем N так, чтобы при

1На самом деле оно трансцендентно, т.е. не является корнем никакого многочлена с целыми коэффициентами

62 Клевчихин Ю.А

âñåõ n > N выполнялось неравенство jbn ¡ anj < ". Тогда

0 6 jc0 ¡ cj 6 jbn ¡ anj < "

Так как это неравенство справедливо для произвольного " > 0 отсюда следует, что jc0 ¡ cj = 0?!

Теорема доказана.

Лекция 9.

Подпоследовательности и частичные пределы

Определение. Последовательность (xnk )k2N называется подпоследователь-

ностью последовательности (xn) тогда и только тогда, когда ее индексы nk образуют строго возрастающую последовательность натуральных чисел:

n1 < n2 < n3 < n4 < ¢ ¢ ¢ < nk < : : :

Таким образом, подпоследовательность это композиция двух отображений: строго возрастающего k 7!nk : N ! N и последовательности

x : N ! R

Примеры. Если (xn)n2N последовательность, то (x2k)k2N åå ïîä- последовательность. Эту подпоследовательность называют подпоследовательностью элементов с четными номерами. Аналогично (x2k+1)k2N ïîä- последовательность элементов с нечетными номерами.

Еще примеры: (xk2 )k2N, (x2k )k2N . . .

Определение. Если подпоследовательность (xnk )k2N последователь- ности (xn)n2N имеет предел (конечный или бесконечный), то его называют

частичным пределом последовательности (xn)n2N.

Примеры. 1) Пусть xn = (¡1)n. Мы уже видели, что эта последовательность расходится, тем не менее она имеет два частичных предела 1 è

¡1, òàê êàê

частичных предела +1 è ¡1.

Теорема. Если последовательность (xn) имеет предел (конечный или бесконечный), то всякая ее подпоследовательность имеет тот же самый

предел. (Обратное утверждение тоже верно!)

Этот факт часто используют для доказательства расходимости последовательностей. Если указать две подпоследовательности сходящихся к разным пределам, то исходная последовательность, в силу этой теоремы, не может быть сходящейся.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть lim xn = a (jaj =6 1) è (xnk )k2N

n!1

произвольная подпоследовательность (xn). Для любого " > 0 найдем такое число N, ÷òî äëÿ âñåõ n > N будет выполняться неравенство jxn ¡aj < ". В силу строгого возрастания последовательности nk, найдется такое K, ÷òî

ïðè âñåõ k > K будем иметь nk > N, значит, jxnk ¡ aj < ". И в этом случае теорема доказана.

Доказательство в случае lim xn = §1 и обратная теорема остаются для самостоятельной работы.n!1

Определение. Верхним пределом последовательности (xn) называет-

Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим последовательность yn = sup xk.

k>n

Очевидно, она убывает, так как для любого n

yn = supfxn; xn+1; xn+2; : : : g > supfxn+1; xn+2; : : : g = yn+1:

Åñëè y1 < +1, òî (yn) либо 1) имеет конечный предел (когда ограни- чена снизу), либо 2) yn ! ¡1.

В первом случае пусть lim yn = a. Покажем, что это наибольший из

n!1

частичных пределов. Для этого надо показать, что a мажоранта множества частичных пределов и принадлежит ему.

64 Клевчихин Ю.А

Положим Xn = fxn; xn+1; xn+2; : : : g. Тогда yn = sup Xn. Åñëè (xnk )k2Nпроизвольная подпоследовательность из (xn), то в силу строгого возрас-

тания nk, при любых k имеем nk > k, значит, xnk 2 Xk и поэтому xnk 6 yk. Переходя к пределу в этом неравенстве (что можно делать по свойству пределов), получаем lim xnk 6 a, ò.å. a мажоранта множества частич-

k!1

ных пределов. Чтобы показать, что она принадлежит этому множеству, надо построить подпоследовательность (xnk ), сходящуюся к a.

По определению точной верхней грани для " = k1 выберем xnk+1 2

Xnk+1 (значит, nk < nk+1, что необходимо, чтобы получить подпоследовательность) так, чтобы ynk+1¡n1 < xnk+1 6 ynk+1. Заметим, что lim ynk+1 =

k!1

a, как у подпоследовательности сходящейся последовательности. Поэтому

по теореме о сжатой переменной lim xnk = a. Случай 1) полностью дока-

k!1

зан. Доказательства в случае 2) и когда y1 = +1 остаются для самостоятельной работы.

В качестве полезного упражнения рекомендуется самостоятельно доказать теорему

Теорема. У любой последовательности (xn) существует нижний пре-

äåë (конечный или равный §1), вычисляемый по формуле:

Теорема (Больцано-Вейерштрасса) Если последовательность (xn) îã-

раничена, то существует подпоследовательность (xnk ) этой последовательности, которая сходится.

Иногда эту теорему формулируют в более образной форме:

Из всякой ограниченной последовательности (xn) можно извлечь сходящуюся подпоследовательность:

(xn)n2N ограничена ) 9(nk)k2N : nk " ^(xnk )k2N сходится:

Д о к а з а т е л ь с т в о. Эту теорему обычно доказывают, так называемым, методом дихотомии (деления пополам). В дальнейшем этот метод будет применяться для доказательства многих других теорем.

В силу ограниченности (xn) существуют такие a è b, ÷òî âñå xn 2 [a; b]. Разделим этот отрезок на две равные части точкой a+b

2 . Обозначим через [a1; b1] ту из половинок отрезка [a; b] для которой отношение xn 2 [a1; b1]

выполняется для бесконечного множества индексов n 2 N (по крайней мере для одной из них это верно, так как множество N бесконечно, если же

отрезка [a1; b1], для которой отношение xn 2 [a2; b2] выполняется для бес-

конечного множества индексов n 2 N. Тогда b2 ¡ a2 = b2¡2a . Продолжая так до бесконечности, получим последовательность вложенных отрезков

[a1; b1] ¾ [a2; b2] ¾ ¢ ¢ ¢ ¾ [an; bn] ¾ : : :

причем bn ¡ an = b¡a ¡¡¡¡! 0. Согласно принципу вложенных отрезков

2n n!1

существует единственная точка c 2 T1 [an; bn].

n=1

Построим подпоследовательность (xnk ), сходящуюся к c. Для этого выберем n1 так, чтобы xn1 2 [a1; b1]. Это можно сделать, так как таких n по построению бесконечно много. Далее, выберем n2 так, чтобы n2 > n1 è

xn2 2 [a2; b2]. Опять это возможно сделать, так как по построению таких n бесконечно много. Продолжая аналогично, получим такую подпоследовательность (xnk ), ÷òî xnk 2 [ak; bk]. Значит,

Применение теоремы о сжатой переменной завершает доказательство.

Очень часто бывает полезна информация о том, сходится последовательность или расходится без вычисления самого предела. Свойство, указанное в следующем определении позволяет получать эту информацию.

Определение. Последовательность (xn) называется фундаментальной (или последовательностью Коши), если

8" > 0 9N 8n; m > N ) jxn ¡ xmj < " (¤)

(для любого " > 0 существует такое N, ÷òî ïðè âñåõ n; m больше этого N

выполняется неравенство jxn ¡xmj < ") Немного иначе то же самое можно записать так:

8" > 0 9N 8n > N 8p > 0 ) jxn ¡ xn+pj < " (¤¤)

Само условие (¤) (или эквивалентное (¤¤)) называется условием Коши.

Теорема. Если (xn) фундаментальна, то она ограничена.

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Äëÿ " = 1 выберем N так, чтобы при

âñåõ n > N и любых p > 0 выполнялось неравенство jxn ¡ xn+pj < ". Пусть n0 > N. Тогда вне интервала U1(xn0 ) = (xn0 ¡ 1; xn0 + 1) могут

66 Клевчихин Ю.А

быть только x1; x2; : : : ; xN . Положим m = minfx1; x2; : : : ; xN ; xn0 ¡ 1g è

M = maxfx1; x2; : : : ; xN ; xn0 + 1g. Очевидно, тогда для любых n имеем m 6 xn 6 M. Что и требовалось доказать.

Теорема (Критерий Коши). Для того чтобы последовательность (xn) сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальна (или, что то же самое, удовлетворяла условию Коши).

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. ()) Пусть lim xn = a. Для произвольного

n!1

" > 0 найдем N так, чтобы при всех n > N выполнялось неравенство jxn ¡aj < "=2. Но тогда и для любого p > 0 будет jxn+p ¡aj < "=2. Поэтому

" "

jxn+p ¡ xnj = jxn+p ¡ a + a ¡ xnj 6 jxn+p ¡ aj + jxn ¡ aj < 2 + 2 = ":

и последовательность фундаментальна.

(() Пусть (xn) фундаментальна. По предыдущей теореме она ограни- чена, а по теореме Больцано-Вейерштрасса из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность, скажем, (xnk ), lim xnk = a. Покажем, что

k!1

èвся последовательность (xn) тоже сходится к a.

Âсамом деле,

jxn ¡ aj = jxn ¡ xnk + xnk ¡ aj 6 jxn ¡ xnk j + jxnk ¡ aj < ¤

Выберем N1 так, чтобы при всех n; m > N1 выполнялось неравенство jxn ¡ xmj < "=2 и выберем N2 так, чтобы при k > N2 выполнялось неравенство

jxnk ¡ aj < "=2. Тогда при k > maxfN1; N2g (учитывая, что nk > k) оба неравенства выполняются одновременно, поэтому

¤ < "=2 + "=2 = ":

Что и требовалось доказать.

Покажем, что 9" > 0 8N 9n > N è 9p > 0: jxn ¡ xn+pj > ". Для этого выберем произвольное n > N (например, n = N + 1) è p = n. Тогда,

(мы воспользовались известным неравенством j sin xj 6 jxj) Из этой оценки видим, что для любого " > 0, если выбрать ± = ", òî ïðè âñåõ x: 0 < jx ¡

x0j < ± будет выполняться неравенство j sin x¡sin x0j < ", что и требовалось доказать.

Приведенное выше определение предела функции, впервые предложил (в 1821 году) французский математик О.Л. Коши (A.L. Cauchy). Другое определение, как мы увидим ниже, эквивалентное определению Коши, предложил (¼ 1850 г.) немецкий математик Г.Э. Гейне (H.E. Heine).

В некоторых случаях оно оказывается более удобным для использования, чем определение Коши.

Определение. Число A называют пределом (по Гейне) функции f ïðè

¡¡¡¡!

n!1

соответствующая последовательность значений функции f(xn) имеет пределом число A:

Очень часто это определение используют для доказательства отсутствия предела у функции при x ! x0. Для этого достаточно найти такие

две последовательности xn ! x0 è x0n ! x0, чтобы соответствующие по-

f(x) предел функции по Коши, а

Обозначим временно через Cx!-limx0

f(x) предел функции f по Гейне.

через Hx!-limx0

Теорема (об эквивалентности определений Коши и Гейне) Предел функции по Коши существует тогда и только тогда, когда существует предел по Гейне и в этом случае они равны:

8" > 0 9± > 0 8x : 0 < jx ¡ x0j < " ) jf(x) ¡ Aj < ":

Возьмем произвольную последовательность (xn) такую, что xn =6 x0 è

соотношение lim jf(xn) ¡ Aj = 0, à ó íàñ

n!1

Теорема полностью доказана.

Определение Число A называют пределом функции f при стремлении

x ê x0 слева и пишут

A = lim f(x);

x!x0¡0

если для любого " > 0 найдется такое число ± > 0, ÷òî ïðè âñåõ x èç

(x0 ¡ ±; x0), выполняется неравенство jf(x) ¡ Aj < ". Более коротко то же самое можно записать так:

8" > 0 9± > 0 8x : x0 ¡ ± < x < x0 ) jf(x) ¡ Aj < ":

Термин предел при стремлении x ê x0 слева соответствует интуитивному представлению о приближении x ê x0 слева, т.е. x, приближаясь к x0

остается всегда меньше x0.

Аналогично определяется понятие предела справа (мы приводим его только в краткой символической форме):

8" > 0 9± > 0 8x : x0 < x < x0 + ± ) jf(x) ¡ Aj < ":

Очевидно, предела lim sgn x не существует. Тем не менее существуют

Теорема. Предел lim f(x) = A существует тогда и только тогда,

когда существуют и равны A оба односторонних предела.

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. ()) Поскольку jf(x) ¡ Aj < " ïðè âñåõ x èç

±

проколотой окрестности U±(x0), тем более это неравенство будет выполняться при всех x из левой (соотв. правой) полуокрестности (x0 ¡ ±; x0)

(соотв. (x0; x0 + ±)).

(() Для произвольного " > 0 подберем сначала ±1 так, чтобы при 0 < x0 ¡x < ±1 выполнялось неравенство jf(x) ¡Aj < ". Потом выберем ±2 òàê,

чтобы при 0 < x ¡ x0 < ±±2 выполнялось то же самое неравенство. Тогда при ± = minf±1; ±2g è x èç U±(x0), очевидно, будет выполняться неравенство

jf(x) ¡ Aj < ".

Что и требовалось доказать.

Выпишем теперь несколько определений часто встречающихся в анализе. Их необходимо знать так, чтобы не задумываясь правильно и быстро выписывать. Для этого полезно представить геометрически, что означают записанные в логических и алгебраических символах свойства.