ma2002-1

[an; bn] ½ U"(x0) ½ G?! Мы ведь выбирали отрезок [an; bn] так, что он не покрывается никаким конечным числом элементов из G, а оказалось, что

он покрывается одним множеством G 2 G. Полученное противоречие доказывает теорему.

Теорема. Если K компактно, а F замкнуто и содержится в K, òî F компактно:

K b R ^ F ½ K ^ F замкнуто ) F b R:

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть G произвольное открытое покрытие множества F . Добавим к нему открытое множество F c (напомним,

что дополнение к замкнутому множеству открыто). Полученное множество G [ fF cg, очевидно, является покрытием K (и даже всего R). Â ñèëó

компактности K в нем имеется конечное подпокрытие fG1; : : : ; Gng ìíî-

F c,

то нужное конечное подпокрытие мы нашли. Если же среди fG1; : : : ; Gng есть множество F c, то все оставшиеся множества Gi перестав, вообще го- воря, быть покрытием для K, останутся покрытием для F , òàê êàê F è F c

не имеют общих точек. И мы опять нашли нужное конечное подпокрытие в G.

Теорема доказана.

Теорема. Множество K ½ R компактно тогда и только тогда, когда K замкнуто и ограничено:

K b R , K замкнуто ^ K ограничено:

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. ()) Докажем сначала замкнутость K.

e Пусть x0 предельная точка K è x0 2= K. Тогда множества G± = fx : jx ¡ x0j > ±g образуют открытое покрытие K:

[

K ½ G±:

±>0

В силу компактности K из этого покрытия можно извлечь конечное

подпокрытие, скажем, G±1 , G±2 ,. . . , G±n . Ïðè ± = minf±1; : : : ; ±ng тогда G± ¾ K и, значит, U±(x0) \ K = ?. Это противоречит тому, что x0

предельная точка K. И замкнутость K доказана.

102 Клевчихин Ю.А

Докажем ограниченность. Для этого из открытого покрытия fU1(x) : x 2 Kg выберем конечное подпокрытие, скажем, fU1(x1); : : : ; U1(xn)g. Можно считать, что x1 < x2 < ¢ ¢ ¢ < xn, тогда видим, что для всех x 2 K выполнены неравенства x1 ¡ 1 < x < xn + 1.

(() Множество K ограничено, следовательно, содержится в промежутке [m; M], ãäå m произвольная миноранта множества K, à M мажоранта. По теореме Бореля [m; M] компакт. А так как K ½ [m; M] замкнуто,

оно также компактно.

Что и требовалось доказать.

Как применение принципа компактности приведем обобщение первой теоремы Вейерштрасса.

Теорема Если функция f непрерывна на компакте K, то она ограничена на K.

f2 C(K) ^ K b R ) f 2 B(K):

Äо к а з а т е л ь с т в о. По условию функция f непрерывна в каждой точке K, поэтому для любого x 2 K è " = 1 найдется такое ±(x), ÷òî

ïðè âñåõ x0 2 U±(x)(x) будет выполняться неравенство jf(x0) ¡ f(x)j < 1. Множество окрестностей fU±(x)(x) : x 2 Kg является открытым покрытием K. В силу компактности K в нем имеется конечное подпокрытие,

скажем, fU±(x1)(x1); : : : ; U±(xn)(xn)g. Положим m = min f(xk) ¡ 1, M =

max f(xk) + 1 и покажем, что для любого x 2 K имеем m < f(x) < M.

16k6n

В самом деле, поскольку fU±(x1)(x1); : : : ; U±(xn)(xn)g покрытие, для любого x найдется такое xk, ÷òî x 2 U±(xk)(xk). Тогда

Аналогично f(x) < 1 + max f(xk) = M.

Что и требовалось доказать.

Отметим, что обобщение второй теоремы Вейерштрасса (на произвольные компакты K) тоже справедливо.

Равномерная непрерывность

Определение. Функция f называется равномерно непрерывной на множестве X, если удовлетворяет условию

8" > 0 9± > 0 8x0; x00 2 X : jx0 ¡ x00j < ± ) jf(x0) ¡ f(x00)j < ":

Говоря образно, это условие означает, что два значения функции можно сделать отличающимися произвольно мало, когда значения аргумента достаточно близки друг к другу независимо от их положения на X.

Выпишем0 полное определение простой непрерывности функции в каждой точке x 2 X, чтобы сравнить его с определением равномерной непре-

рывности1:

8x0 2 X 8" > 0 9± > 0 8x00 2 X : jx0 ¡ x00j < ± ) jf(x0) ¡ f(x00)j < ":

Формально мы переставили на первое место только один квантор! Но смысл от этого изменился сильно. В определении простой0 непрерывности0

в каждой точке выбор ± зависит от выбора точки x (ò.å. ± = ±(x )), à

для равномерной непрерывности функции этот выбор надо уметь делать независимо от положения x0, x00 на множестве X, ëèøü áû îíè áûëè äî-

статочно близки друг к другу .

ñòè.Отметим очевидные следствия определения равномерной непрерывно-

1. Если функция равномерно непрерывна на множестве X, òî îíà îñòà-

нется равномерно непрерывной на всяком его подмножестве X1 ½ X.

2. Всякая равномерно непрерывная на X функция является непрерыв-

ной в каждой точке множества X. Обратное утверждение в общем случае

неверно. Существуют непрерывные функции не являющиеся равномерно непрерывными. Примеры мы приведем ниже, а сейчас отметим, что для доказательства неравномерной непрерывности (т.е. отсутствия равномерной непрерывности) надо доказывать, что не выполнено условие равномерной непрерывности, т.е. выполняется его отрицание:

Что и требовалось доказать.

Чтобы быстро находить такие решения, надо хорошо представлять ситуацию. В рассмотренном примере при x ! 0 функция быстро возрастает,

поэтому мы и выбрали точки x0; x00 вблизи нуля.

1Для удобства сравнения мы пишем вместо x0 è x соответственно x0 è x00

тервале (0; 1), но в самой точке 0 имеет разрыв (2-го рода). Представив себе поведение функции вблизи нуля, мы для " = 1 и любого ± > 0 выберем

То есть выполнено отрицание условия равномерной непрерывности и sin x1 не является равномерно непрерывной на (0; 1).

Пока мы привели примеры только неравномерно непрерывных функций. Следующая теорема дает много примеров равномерно непрерывных функций.

Теорема (Г. Кантор) Если функция непрерывна на компакте K, то она равномерно непрерывна на K.

f2 C(K) ^ K b R ) f равномерно непрерывна на K:

Äо к а з а т е л ь с т в о. В силу непрерывности f в каждой точ- ке, для любого " > 0 и любого x0 2 K выберем ±(x0) так, чтобы при

x00 2 U±(x0)(x0) выполнялось неравенство jf(x0) ¡ f(x00)j < "=2. Класс мно-

Что и требовалось доказать.

Эта теорема может гарантировать равномерную непрерывность только на ограниченных множествах. Но функция может быть равномерно непрерывной и на неограниченном множестве, например, f(x) = sin x равномер-

но непрерывна на всем множестве действительных чисел R.

Имеются большие классы функций, состоящие только из равномерно непрерывных функций:

Определение. Говорят, что функция f удовлетворяет условию Липшица на множестве E (и пишут f 2 Lip(E)), когда

9C 8x0; x00 2 E ) jf(x0) ¡ f(x00)j 6 Cjx0 ¡ x00j:

Очевидно, функции f 2 Lip(E) равномерно непрерывны на E. В каче- стве примера функции, удовлетворяющей условию Липшица (на R) можно привести f(x) = sin x:

(отсюда, в частности, следует ее равномерная непрерывность на R)

Отметим, что равномерно непрерывная функция не обязана удовлетворять условию Липшица.

Следующее условие является обобщением условия Липшица.

Определение. Говорят, что функция f удовлетворяет на E условию Гельдера с показателем ® (0 < ® 6 1) и пишут f 2 H(®)(E), когда

9C 8x0; x00 2 E ) jf(x0) ¡ f(x00)j 6 Cjx0 ¡ x00j®:

Задача. Доказать, что условию Гельдера с показателем ® > 1 удовлетворяют только функции тождественно равные константе.

Лекция 17.

Общее понятие предела

Содержание этой лекции пока не входит в обязательную программу для математиков-прикладников и я привожу его только для того, чтобы не скрывать от желающих общую концепцию предела, так как овладение ею позволяет гораздо глубже понимать ситуации, в которых речь идет о топологии и предельных переходах. Многие вещи, доказываемые в классиче- ском анализе, становятся тривиальными, если посмотреть на них с более общей точки зрения теории фильтров, на которой основано общее понятие предела.

До сих пор мы встретились с несколькими определениями пределов: 1) Предел последовательности lim xn;

n!1

2) Предел функции lim f(x);

x!x0

3) Предел функции lim f(x);

x!1

4) Односторонние пределы функции lim f(x).

x!x0§0

5) В следующем семестре мы встретимся еще с пределами интегральных сумм при мелкости разбиения стремящейся к нулю .

Все они имеют нечто общее и притом больше, чем значок lim в обозна-

чениях. Как выявили исследования 1920-1950 годов это общее собрано в (не очень простом) понятии фильтра. 1

Определение. Пусть X произвольное непустое множество. Класс F подмножеств множества X называют фильтром, если он обладает свой-

ствами:

à) ? 2= F è F 6= ?;

á) 8A; B A ¾ B è B 2 F ) A 2 F; â) 8A; B 2 F ) A \ B 2 F.

Примеры. 1. Для произвольного непустого множества X положим F = fXg, ò.å. F состоит из одного элемента всего множества X. Очевидно, все

три свойства определения для него выполняются. Этот фильтр называется

тривиальным.

2. Определим класс подмножеств U(x0) â X, считая подмножество A ½ X принадлежащим U(x0) тогда и только тогда, когда A содержит точку

x0:

def

A 2 U(x0) , A 3 x0:

Проверим, что выполнены все три условия определения фильтра.

а) Любое подмножество A èç U(x0) обязано содержать точку x0, значит, непусто, поэтому пустое множество не принадлежит U(x0), так как оно не содержит точки x0. Само множество U(x0) не пусто, так как содержит по крайней мере один элемент fx0g подмножество, состоящее из одной точки x0.

á) Åñëè B 2 U(x0), то множество B содержит точку x0, но тогда эту

точку содержит и любое множество A ¾ B, значит, принадлежит U(x0) по определению.

1Как утверждается в учебнике [4], первым, кто ввел и изучил подобное понятие, был одесский математик Д.А. Крыжановский в 1924 году, но в общую математическую практику понятие фильтра вошло благодаря трудам коллектива французских математиков под общим псевдонимом Н. Бурбаки и особенно одного из его членов А. Картана.

в) Если два множества A è B принадлежат U(x0), то они содержат точку x0, поэтому эта точка принадлежит их пересечению A \ B, значит

A \ B 2 U(x0).

Что и требовалось доказать.

Итак, мы доказали, что U(x0) фильтр. Он называется тривиальным ультрафильтром в точке x0.

3. Пусть X произвольное бесконечное множество (например, X = N) Обозначим через F класс таких подмножеств из X, дополнения к которым

являются конечными множествами. Покажем, что это фильтр (он называется фильтром Фреше).

а) Дополнением к пустому множеству ? является все множество X, а оно по предположению бесконечно, поэтому ? не принадлежит F и сам класс F непуст, так как содержит множество X, дополнение к которому не

содержит элементов вовсе.

б) Если дополнение к множеству B содержит конечное число элементов, то в силу того, что A ¾ B , Ac ½ Bc дополнение к множеству A, содержащему B, содержит еще меньше элементов, значит, принадлежит

F.

в) Последнее свойство выполнено в силу равенства (A \ B)c = Ac [ Bc. (Множества Ac è Bc конечны, значит, конечно и их объединение).

В случае, когда X = N, фильтр Фреше обозначают символом n ! 1.

4. Пусть X = R. Определим класс F(x0), полагая множество A принадлежащим F(x0), тогда и только тогда, когда существует такое ± > 0, ÷òî A содержит ±-окрестность точки x0:

def

A 2 F(x0) , 9± > 0 : U±(x0) ½ A

Проверка того, что F(x0) фильтр, остается для самостоятельной работы. Этот фильтр называется фильтром окрестностей точки x0.

5. Пусть X = R. Определим класс F, полагая множество A принадлежащим F тогда и только тогда, когда существует такое ± > 0, ÷òî A содержит проколотую ±-окрестность точки x0:

def ±

A 2 F , 9± > 0 : U±(x0) ½ A

Этот фильтр называется фильтром проколотых окрестностей точки x0

è обозначается символом x ! x0. (Доказательства проделать самостоятельно.)

Следующее понятие важно тем, что позволяет легче описывать (а, зна- чит, и употреблять) различные фильтры.

Определение. Подмножество B фильтра F называется базисом фильтра F (или, в другой терминологии, базой), если оно обладает свойствами:

à) B 6= ?, ? 2= B;

á) 8A 2 F 9B 2 B: B ½ A.

Как мы увидим, знание только базиса фильтра позволяет легко восстановить сам фильтр.

Примеры. 1. Всякий фильтр является базисом для самого себя.

2. Пусть F фильтр Фреше в множестве N. Обозначим через n = [n; 1) = fn; n + 1; n + 2; : : :g отрезок множества натуральных чисел. Положим B = fn : n 2 Ng, òî åñòü B это множество всевозможных

отрезков натуральных чисел. Покажем, что B базис фильтра Фреше.

Åñëè A 2 F, то обозначим через n максимальный элемент его дополне-

ния. Он существует, так как это дополнение состоит из конечного числа натуральных чисел. Очевидно, тогда множество [n+1; 1) содержится в A.

Остальные свойства очевидны.

3. Пусть F(x0) фильтр окрестностей точки x0. Положим B1 = fU±(x0) :

± > 0g. Очевидно, B1 базис фильтра окрестностей точки x0. Более того,

если обозначить через B2 множество только тех ±-окрестностей, у которых

± = n1 , òî åñòü

B2 = fU 1 (x0) : n 2 Ng;

n

òî B2 тоже будет базисом фильтра окрестностей точки x0. Выполнение

Мы видим, что у произвольного фильтра имеется, вообще говоря, много различных базисов (иначе то же самое можно сказать так: выбор базиса у фильтра неоднозначен).

4. У фильтра (x ! x0) проколотых окрестностей точки x0 òîæå åñòü

±

очевидный базис множество fU±(x0) : ± > 0g всех проколотых ±-окрест- ностей.

Следующая теорема дает способ восстановления фильтра по его базису.

Теорема. Пусть X непустое множество и B некоторый класс

его подмножеств. Тогда B является базисом некоторого фильтра в X

тогда и только тогда, когда a) B 6= ? è ? 2= B;

á) 8A; B 2 B 9C 2 B C ½ A \ B.

Д о к а з а т е л ь с т в о. В доказательстве нуждается только достаточность. Пусть B класс подмножеств из X, обладающий свойствами

а), б). По определению положим1

Покажем, что F фильтр, базисом которого является B. Выполнение свойств а), б) фильтра очевидно. Проверим с). Пусть A è B произволь-

ные элементы из F. Тогда найдутся A1 è B1 из B такие, что A1 ½ A è B1 ½ B. Их пересечение A1 \B1 содержит множество C 2 B, которое, оче- видно, содержится и в A \ B, значит, принадлежит F. Что и требовалось доказать.

Замечания. 1. Фильтр восстанавливается по базису однозначно. Более точно это можно сформулировать в виде следующего предложения (доказать самостоятельно):

если фильтры F1 è F2 имеют один и тот же базис B, то они совпадают, т.е. F1 = F2.

2. В Московском университете большинство лекторов в качестве основного понятия обычно берут понятие базы (т.е. базиса фильтра), а нефильтра , по-видимому, считая, что оно более доступно интуиции. Может быть это так и есть, но на самом деле, как мы увидим, все зависит не от базиса, а от фильтра. Например, во вводимом ниже понятии предела и других.

Теорема. Пусть f : X ! Y функция и B базис фильтра в множестве X. Обозначим через f(B) класс подмножеств из Y , состоящий из образов элементов A èç B:

f(B) = ff(A) : A 2 Bg:

Тогда f(B) базис фильтра в Y . Он называется образом при отображении

fбазиса фильтра B.

Äо к а з а т е л ь с т в о. Свойство а) из предыдущей теоремы, очевидно, выполнено для f(B).

Пусть f(A) 2 f(B) è f(B) 2 f(B). Тогда f(A)\f(B) ¾ f(A\B) 2 f(B).

Что и требовалось доказать.

Замечание. Если F фильтр, то его образ f(F), вообще говоря, не

обязан быть фильтром, но по предыдущей теореме будет базисом некоторого фильтра. Этот фильтр называется образом фильтра F и обозначается

òîæå f(F), что не совсем корректно, но как правило, не приводит к недоразумениям.

1Это множество называется надклассом класса B это все подмножества, содержащие какой-нибудь элемент B

110 Клевчихин Ю.А

Определение. Говорят, что базис фильтра B1 мажорирует базис филь- òðà B2 и пишут B1 < B2, когда для любого множества A 2 B2 существует такое B 2 B1, ÷òî B ½ A.

Задача. Доказать, что если B1 базис фильтра F1 è B2 фильтра F2, òî B1 < B2 тогда и только тогда, когда F1 ¾ F2.

Определение. Пусть f : X ! R функция и B базис фильтра F â X. Говорят, что число A есть предел функции f по фильтру F (или по базису фильтра B) и пишут

когда образ f(B) базиса фильтра B при отображении f мажорирует фильтр окрестностей точки A 2 R.

Пример. Предел последовательности. Åñëè (xn)n2N последова-

тельность, то по определению a = lim xn, когда образ при отображении x

n!1

(базиса) фильтра Фреше мажорирует фильтр окрестностей точки a.

Разберемся в том, что это означает. Как мы видели, базисом фильтра Фреше (n ! 1) в множестве N является совокупность всех отрез-

êîâ [N; 1). Образом при x каждого такого отрезка является множество

fxN ; xN+1; : : :g. Поэтому образ этого базиса фильтра Фреше будет мажорировать базис fU"(a) : " > 0g фильтра окрестностей точки a тогда и только тогда (по определению), когда для любой окрестности U"(a) ñóùå-

ствует отрезок [N; 1), образ которого fxN ; xN+1; : : :g содержится в U"(a). Очевидно, то же самое можно более подробно выразить так:

8" > 0 9N 8n > N ) xn 2 U"(a):

Что в точности совпадает с обычным определением предела.

Предел функции. Пусть f : (a; b) ! R функция, x0 2 (a; b). Напомним, что x ! x0 это фильтр проколотых окрестностей точки x0.

Поэтому по определению lim f(x) = A тогда и только тогда, когда об-

x!x0

ðàç ïðè f (базиса) фильтра проколотых окрестностей мажорирует (базис)

фильтра окрестностей точки A. Если разобраться подробно, то это в точ- ности совпадает со стандартным определением предела функции по Коши:

±

8" > 0 9± > 0 8x : x 2 U±(x0) ) f(x) 2 U"(A):