ma2002-1

Докажем, что последовательность неограничена.

В самом деле, для любого C > 0 (по следствию из принципа Архимеда) найдется целое число n > C2 . Тогда x2n = (2n)(¡1)2n = 2n > C. ×.Ò.Ä.

Следующее определение одно из главных для математического анализа. Оно формализует наше представление о возможности приблизить число с любой точностью посредством значений заданной последовательности, причем так, что все следующие члены последовательности дают приближение не хуже.

Определение. Число a называют пределом последовательности (xn)n2N

и пишут lim xn = a, если для любого " > 0 найдется такое число N, ÷òî

n!1

äëÿ âñåõ xn с номерами n > N выполнено неравенство jxn ¡ aj < ".

Приведенное чисто аналитическое определение предела последовательности допускает немного более наглядную геометрическую формулировку. Предварительно полезное топологическое понятие.

Определение. Назовем "-окрестностью точки a (или просто окрестностью) множество

U"(a) = fx : jx ¡ aj < "g = fx : a ¡ " < x < a + "g = (a ¡ "; a + "):

Что вполне согласуется с обычным пониманием того, что такое окрестность точки на прямой это то, что лежит немного левее или немного правее.

Отметим, что принадлежность x окрестности U"(a) (ò.å. x 2 U"(a)) озна- чает выполнение неравенства jx ¡ aj < " или, что то же самое, a ¡ " < x <

a+ ".

Àтеперь геометрическое определение предела последовательности:

Определение. a = lim xn, если для любой окрестности U"(a) точки a

n!1

найдется такой номер N, начиная с которого все члены последовательности попадут в эту окрестность:

8U"(a) 9N 8n > N ) xn 2 U"(a)

Теперь видно, что при увеличении n знаменатель растет, а числитель оста-

Определение. Говорят, что предел последовательности (xn)n2N равен

бесконечности и пишут lim xn = 1, когда для любого (сколь угодно

n!1

большого) положительного числа E найдется такой номер N, начиная с которого все члены последовательности будут по модулю больше E:

def

lim xn = 1 , 8E > 0 9N 8n > N ) jxnj > E:

n!1

Это определение надо различать с очень похожим по обозначению, но отличным по смыслу lim xn = +1:

n!1

def

lim xn = +1 , 8E > 0 9N 8n > N ) xn > E:

n!1

И еще одно определение

def

lim xn = ¡1 , 8E > 0 9N 8n > N ) xn 6 ¡E:

n!1

Из этих определений сразу видим, что если lim xn = +1 èëè lim xn =

n!1 n!1

¡1, òî lim xn = 1. Обратное, вообще говоря, неверно, что можно уви-

n!1

деть из примера:

x1 y1 x2 y2 x3 y3 : : :

Д о к а з а т е л ь с т в о. Возьмем произвольное " > 0. Поскольку

lim xn = a, найдется такой номер N1, ÷òî ïðè âñåõ n > N1 будет выпол-

n!1

няться неравенство jxn ¡ aj < ". À òàê êàê è lim yn = a, найдется такой

n!1

номер N2, ÷òî ïðè âñåõ n > N2 будет выполняться неравенство jyn ¡aj < ". Возьмем N = 2 maxfN1; N2g. Теперь, если n > N, то в случае, когда n = 2k (ò.å. n четное), число k > N2, значит, jzn ¡ aj = jyk ¡ aj < ", а когда n = 2k + 1, имеем k > N1, значит, jzn ¡ aj = jxk ¡ aj < " òîæå.

Итак, для произвольного " > 0 мы подобрали N = 2 maxfN1; N2g такое,

÷òî ïðè âñåõ n > N имеет место неравенство jzn ¡aj < ". Что и требовалось доказать.

54 Клевчихин Ю.А

Теорема. У любой последовательности может существовать не более одного предела.

lim xn = a ^ lim xn = b ) a = b:

n!1 n!1

Д о к а з а т е л ь с т в о. Приведем два доказательства. Первое чисто алгебраическое, а второе более аппелирует к геометрическим представлениям.

Итак, оценим разность

ja ¡ bj = ja ¡ xn + xn ¡ bj 6 ja ¡ xnj + jxn ¡ bj = jxn ¡ aj + jxn ¡ bj (¤)

Òàê êàê lim xn = a, найдется такое число N1, ÷òî ïðè âñåõ n > N1

n!1

будем иметь неравенство jxn ¡aj < "=2. По аналогичной причине найдется такое N2, ÷òî ïðè n > N2 будет выполняться неравенство jxn ¡ bj < "=2. Поэтому, если n > maxfN1; N2g, будут выполнены оба неравенства и тогда из оценки (¤) следует, что ja¡bj < ". Это верно для любого " > 0. Согласно

следствиям из свойства Архимеда отсюда вытекает, что ja ¡ bj = 0, ò.å. a = b, что и требовалось доказать.

b¡a b¡a

22

Но в силу равенства lim xn = a начиная с некоторого N1 âñå xn 2 U"(a),

n!1

а в силу равенства lim xn = b начиная с какого-то N2 âñå xn 2 U"(b)?!

n!1

Противоречие доказывает ложность предположения ja ¡ bj > 0, значит, ja ¡ bj = 0. Что и требовалось доказать.

Теорема. Если последовательность (xn) сходится, то она ограничена

(обратное утверждение в общем случае неверно).

lim xn = a 6= 1 ) fxn : n 2 Ng ограничено.

n!1

Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим lim xn = a. Выбрав " = 1, подбе-

n!1

ðåì N так, чтобы при n > N âñå xn попали в интервал U1(a) = (a¡1; a+1).

1Алгебраическая выкладка: если x 2 U"(a), òî jx ¡ bj = j(x ¡ a) ¡ (b ¡ a)j > jb ¡ aj ¡

jx ¡ aj > 2" ¡ " = ", значит, x 2= U"(b).

Вне этого интервала могут быть только числа x1, x2,. . . ,xN . Поэтому поло-

æèâ m = minfx1; x2; : : : ; xN ; a¡1g, à M = maxfx1; x2; : : : ; xN ; a+1g, видим,

÷òî ïðè âñåõ n выполняется неравенство m 6 xn 6 M. Что и требовалось доказать.

Ограниченная последовательность в общем случае не обязана сходиться, например, последовательность xn = (¡1)n очевидно ограничена, но не является сходящейся.

Теорема (о сжатой переменной). Если (xn), (yn) è (zn) такие три

последовательности, что lim xn = lim yn = a и для любого n выполня-

n!1 n!1

ются неравенства xn 6 zn 6 yn, то последовательность (zn) сходится и

lim zn = a.

n!1

Д о к а з а т е л ь с т в о. По произвольному " > 0 подберем такое число

N, ÷òî ïðè âñåõ n > N будет xn 2 U"(a) è yn 2 U"(a). Òàê êàê zn лежит между ними, то очевидно и zn 2 U"(a). Что и требовалось доказать.

p

n n = 1 + ®n. Очевидно, тогда ®n > 0. По формуле бинома Ньютона

r

¡¡¡¡!

n n!1

U"(a) è U"(b) не пересекаются. Выберем N1 так, чтобы при n > N1 âñå xn 2

U"(a) и выберем N2 так, чтобы при n > N2 имели yn 2 U"(b). Очевидно,

ïðè n > N = maxfN1; N2g будем иметь xn < a+2 b < yn.(1 Что и требовалось доказать.

Следствие 1. Если lim xn = a è a < b, òî 9N 8n > N ) xn < b.

n!1

Следствие 2. Если последовательности (xn) è (yn) таковы, что

lim xn = a, lim yn = b è 8n xn 6 yn, òî a 6 b (иными словами в

n!1 n!1

неравенствах можно переходить к пределу: xn 6 yn ) lim xn 6 lim yn,

если указанные пределы существуют).

n!1 n!1

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. e a > b. Но согласно доказанной теореме это

противоречит тому, что по условию 8n xn 6 yn?!

Д о к а з а т е л ь с т в о. Положим " = j2j > 0 и подберем N так, чтобы

ïðè âñåõ n > N выполнялось соотношение yn 2 U"(b). Очевидно, для этих n имеем jynj > " = j2bj. Поэтому

Что и требовалось доказать.

ïðè n > N = maxfN1; N2g èç (¤) следует, что j(xn + yn) ¡ (a + b)j < " и 1. доказано.

2. Имеем

jxnyn ¡ abj = jxnyn ¡ ayn + ayn ¡ abj 6 jxn ¡ ajjynj + jajjyn ¡ bj: (¤¤)

Последовательность (yn) сходится, значит, ограничена. Пусть для всех n

jynj 6 M. Тогда выберем N1 так, чтобы при всех n > N1 выполнялось

неравенство jxn ¡ aj < 2M" è N2 так, чтобы при всех n > N2 (è jaj =6 0) выполнялось неравенство jyn ¡ bj < 2j"aj. В этом случае при n > N =

maxfN1; N2g èç (¤¤) следует справедливость неравенства jxnyn ¡ abj < " è

2.доказано.

3.Делая все выборы соответствующим образом (подобно предыдущему), можно написать оценку (самостоятельно указать, как выбирать N):

Что и требовалось доказать.

Лекция 8.

Теоремы существования пределов

Определение. Последовательность (xn) называется возрастающей (соотв. строго возрастающей), если

8n xn 6 xn+1 (соотв. xn < xn+1)

Для сокращения записи иногда вместо слов последовательность (xn) возПоследовательность (xn) называется убывающей (соотв. строго убыва-

(обозначение xn & èëè xn #)

Замечания. 1. В русской литературе очень часто называют неубывающими те последовательности, которые мы называем возрастающими и просто возрастающими те, которые мы называем строго возрастающими. И аналогичная терминология для убывания: невозрастающие те последовательности, которые мы называем убывающими и убывающие те, которые мы называем строго убывающими.

2. Если существует такое N, ÷òî ïðè n > N последовательность воз-

растает (т.е. (8n) N < n ) xn 6 xn+1), то говорят, что (xn) возрастает начиная с номера N.

Теорема. Если последовательность (xn) возрастает и ограничена свер-

Д о к а з а т е л ь с т в о. Поскольку по условию множество fxn : n 2 Ng ограничено, оно имеет точную верхнюю грань, скажем a = supfxn : n 2

Ng. Покажем, что lim xn = a. Для этого по определению точной верхней

n!1

грани, для любого " > 0 найдем такое число xn0 , ÷òî a ¡ " < xn0 6 a. Но в силу возрастания последовательности при n > n0 будем иметь a ¡ " <

xn0 6 xn 6 a. Значит, jxn ¡ aj < ". Что и требовалось доказать. Упражнение. Сформулировать и доказать аналогичную теорему для

убывающих последовательностей.

Очевидно, обе теоремы остаются верными для последовательностей возрастающих (соотв. убывающих) начиная с некоторого N. Поэтому, как итог

можно сформулировать теорему.

Теорема (о пределе монотонной последовательности) Если последовательность монотонна (хотя бы начиная с некоторого N) и ограничена,

то она сходится.

Если возрастает и неограничена, то имеет пределом +1. Если неограничена и убывает, то имеет пределом ¡1.

По теореме о пределе монотонной последовательности (xn) сходится,p скажем, к A. Переходя к пределу в обеих частях равенства xn+1 = 2 + xn,

p

получим A = 2 + A, откуда A2 = 2 + A èëè A2 ¡ A ¡ 2 = 0, ò.å. A = 2 èëè

A = ¡1. Òàê êàê âñå xn > 0 и, значит, A > 0, второй корень посторонний (возник при возведении в квадрат обеих частей равенства) и

Число e

По определению полагают

60 Клевчихин Ю.А

Теорема. Определение числа e корректно.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Надо доказать, что предел в правой части существует, в этом случае мы действительно имеем право как-нибудь его обозначить. Буквой e его обозначают в честь Л. Эйлера (L. Euler), который

ет и ограничена сверху. Сначала докажем, что она возрастает. Для этого представим общий член последовательности в более удобном виде: