Линейные интегральные оценки

Чем меньше J_1,0, тем лучше переходный процесс. Вычислить J_1,m несложно, но его применение ограничено лишь монотонными процессами. Если процесс колебательный, то J_1, m не характеризует переходный процесс. В этом случае вводят новую оценку

.

Поскольку её вычисление возможно лишь при известном переходном процессе и к тому же достаточно трудоёмко, то она не получила широкого применения.

Квадратичные интегральные оценки

Наиболее распространёнными интегральными оценками являются квадратичные оценки вида (рис. 15).

Рис. 15. Интерпретация квадратичной интегральной оценки

Вычислить J₂ можно, не вычисляя переходного процесса

. (78)

Докажем это соотношение.

Пользуясь формулами обратного и прямого преобразований Фурье, получим:

Обобщённые квадратичные оценки

Квадратичная оценка второго вида

(79)

относится к простейшему случаю обобщённой оценки. Физический смысл её состоит в следующем.

Считают хорошим процесс, у которого не только мал, но и скорость, производная, должна быть невелика, то есть процесс должен быть не только быстрее, но и плавнее.

Интеграл (79) представим в виде

. (80)

Минимальное значение (80) достигается при и . Решая дифференциальное уравнение , получим p=-1/; x(t)=x(0)*exp(-t/).

J минимизируют следующим образом. Значение подбирают так, чтобы экспонента x(t)=x(0)*exp(-t/) удовлетворяла с определённым запасом условиям переходного процесса. Затем выбирают параметры системы так, чтобы избранная интегральная оценка имела наименьшее значение .

Контрольные вопросы

1. Какие оценки качества переходного процесса относятся к корневым?

2. Что характеризует степень устойчивости?

3. Что характеризует степень колебательности?

4. В чем отличие расширенных АФХ от обычных?

5. Как влияет приближение АФХ разомкнутой системы к точке с координатами (-1,j0) на величину показателя колебательности?

6. Какова связь степени колебательности со степенью затухания?

7. Какова связь показателя колебательности с запасом устойчивости по модулю и по фазе?

8. Какую информацию о системе управления нужно иметь для вычисления интегральных оценок?

9. Какова связь квадратичной интегральной оценки управляемой переменной с модулем ее спектра?

27