Частотные критерии качества

К частотным критериям относятся рассмотренные ранее [1] запас устойчивости по модулю и запас устойчивости по фазе, а также показатель колебательности.

Показатель колебательности М - это отношение максимального значения амплитуды АФХ замкнутой системы по каналу задающего воздействия к её значению при w=0:

М=А_max/A_0. (61)

Рассмотрим связь между АЧХ замкнутой системы с АФХ разомкнутой системы. На рис. 8 приведены АФХ разомкнутой системы (рис. 8а) и частотные характеристики замкнутой системы (рис. 8б, 8в).

Рис. 8. К определению показателя колебательности

АФХ замкнутой системы по каналу задающего воздействия:

. (62)

Её амплитуда

; (63)

А_зс=ОВ/АВ.

Её фаза

; 0<w<¥. (64)

Рис. 9. Связь между А_зс(w) и удалением W_pc(jw) от точки (-1, jw)

Во всех случаях для астатической системы . В случае, когда велико (рис. 9а), А_зс монотонно убывает. При уменьшении возникает экстремальная точка (рис. 9б). Максимум А_зс при этом возрастает, и при А_зс имеет разрыв в ¥ (рис. 9в).

Следовательно, чем меньше запас устойчивости, тем больше максимальное значение А_зс и тем больше .

Если система не имеет астатических звеньев (статическая система) (рис. 10), то . Однако с достаточной для практических расчётов точностью при К_рс>>1 можно принять .

Рис. 10. АФХ разомкнутой статической системы

Существуют приёмы, которые позволяют по виду АФХ разомкнутой САР определить показатель колебательности.

Для каждой точки W_pc(jw) можно сказать, каков модуль АФХ замкнутой системы. Найдём геометрическое место точек на плоскости W_pc(jw), таких, что модуль АФХ замкнутой системы имеет заданное постоянное значение А_зс=М_з.

Из отношения ОВ/АВ (рис. 8)

. (65)

имеем:

. (66)

Или

. (67)

Уравнение (67) преобразуем к виду:

.(68)

Из (68) получим

. (69)

Введём обозначения

; . (70)

Таким образом, геометрическим местом точек равного значения (M=const) является окружность, радиус которой R=M/(M²-1), a центр окружности находится на отрицательной вещественной полуоси на расстоянии а=M²/(M²-1) от начала координат (рис. 11).

Рис. 11. Линия постоянного значения М

Нанесём ряд окружностей M=const, то есть построим круговую диаграмму (рис. 12).

Для М=2 имеем R=2/3; a=4/3.

Для М=1,5 имеем R=1,2; a=1,8.

Для М=1 имеем R=¥; a=¥.

Рис. 12. Круговая диаграмма для M=const

Теперь построим на круговой диаграмме АФХ разомкнутой системы. Очевидно, максимальное значение А_зс будет в точке касания АФХ разомкнутой системы с линией M=const. Из круговой диаграммы можно построить (рис. 13).

Рис. 13. Построение из круговой диаграммы

Если ставится задача определить параметры системы, обеспечивающие М=М_з, то нужно провести линию М=М_з=const и подбирать параметры системы так, чтобы АФХ разомкнутой системы коснулась .

Показатель колебательности связан с запасом устойчивости по модулю и по фазе. Эта связь определяется следующими соотношениями:

, (71)

. (72)

Интегральные оценки качества

Интегральные оценки представляют собой определённые интегралы (в пределах от 0 до ¥) от функций времени x(t), характеризующих течение переходных процессов в системе.

Функция

x(t)=y(t)-y(¥) (73)

есть переходная составляющая ошибки (рис. 14).

Рис. 14. Переходные процессы

Метод интегральных оценок относится к аналитическим. Качество процессов характеризуется интегралами, величины которых связаны с параметрами системы.

Находят применение:

а) линейные интегральные оценки:

 (74)

б) квадратичные интегральные оценки:

, (75)

в) обобщённые квадратичные оценки:

; (76)

где V(t) - квадратичная форма от координат

. (77)