2. КОСВЕННЫЕ ПОКАЗАТЕЛИ КАЧЕСТВА. КОРНЕВЫЕ ПОКАЗАТЕЛИ. СТЕПЕНЬ УСТОЙЧИВоСТИ. СТЕПЕНЬ КОЛЕБАТЕЛЬНОСТИ. ПОНЯТИЯ О РАСШИРЕННЫХ АФХ. ЧАСТОТНЫЙ КРИТЕРИЙ КАЧЕСТВА - ПОКАЗАТЕЛЬ КОЛЕБАТЕЛЬНОСТИ. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ КРИТЕРИИ КАЧЕСТВА

Построение графика переходного процесса требует достаточно громоздких вычислений. Поэтому для оценки качества переходного процесса чаще всего используют косвенные критерии, которые вычисляются относительно легко и которые связаны с определёнными характеристиками переходного процесса.

К ним относятся:

1. критерий распределения корней (корневые оценки);

2. частотные критерии;

3. интегральные критерии.

Корневые оценки качества

К корневым оценкам относятся степень устойчивости и степень колебательности.

Степень устойчивости

Степень устойчивости численно равна абсолютному значению действительной части ближайшего к мнимой оси корня (рис. 3).

Рис. 3. К определению степени устойчивости

Система обладает достаточным запасом устойчивости, если достаточно велико. Запишем уравнение переходного процесса (дви­жения системы):

. (44)

Если ,

то

, (45)

где .

Степень устойчивости характеризует интенсивность затухания переходного процесса (рис. 4).

Рис. 4. Интерпретация степени устойчивости

Наименьшему по абсолютной величине корню соответствует наиболее медленно затухающая составляющая переходного процесса.

Связь степени устойчивости с быстродействием

Пусть за время t_p составляющая переходного процесса от значения h₁(0)=C₁ уменьшилась в m раз (рис.5).

; ; (46)

; (47)

; (48)

. (49)

Рис. 5. К связи степени устойчивости с быстродействием

Увеличению времени t_p при m=const соответствует уменьшение . Чем больше , тем быстрее затухает процесс.

Степень колебательности

Из начала координат проведём лучи через два комплексно сопряжённых корня так, чтобы все остальные корни оказались между этими лучами (рис. 6).

Рис. 6. К определению степени колебательности

Степенью колебательности называется отношение

. (50)

Из рис. 6 следует, что

. (51)

Чем больше m, тем быстрее затухает колебательный процесс. Степень колебательности характеризует запас устойчивости системы.

Если на систему накладывается требование , то это означает, что все корни характеристического уравнения системы должны находиться внутри заштрихованного сектора.

Для системы второго порядка с двумя комплексными сопряженными корнями уравнение движения

. (52)

Найдём связь степени колебательности и степени затухания. В выражение степени затухания (52) подставим:

, (53)

, (54)

. (55)

Заметим, что для систем более высокого (>2) порядка соотношение (55) является приближённым. Степень его достоверности повышается в тех случаях, когда пара комплексных сопряжённых корней, определяющая m, имеет вещественную часть, значительно отличающуюся от вещественной части остальных корней.

При решении задач параметрического синтеза системы управления могут иметь место требования:

(56)

или

. (57)

Для выполнения условий (56) и (57) можно воспользоваться расширенными АФХ разомкнутой системы.

Понятие о расширенной афх

Рассмотренные ранее [1] АФХ получали из передаточной функции заменой .

представляет собой отображение мнимой оси комплексной плоскости корней характеристического уравнения на комплексную плоскость

. (58)

Отобразим на плоскости (58) луч, определяющий степень колебательности m_з. Уравнение этого луча:

, (59)

где - текущие значение мнимой составляющей корня.

АФХ, полученная отображением (59), называется расширенной АФХ (РАФХ). Таким образом, обычная АФХ представляет собой отображение границы устойчивости , а РАФХ представляет собой отображение линии, лежащей в левой полуплоскости корней характеристического уравнения.

Для выбора параметров системы, обеспечивающих выполнение условий (56), (57), можно воспользоваться критерием устойчивости Найквиста [ 2].

Например, для выполнения условия параметры системы изменяют таким образом, чтобы РАФХ при прошла через точку с координатами (-1, j0).

Для выполнения условия на плоскости АФХ отображается линия:

(60)

комплексной плоскости корней характеристического уравнения (рис. 3) и подбираются параметры системы таким образом, чтобы РАФХ разомкнутой системы при (60) прошла через точку с координатами .