- •4. Типы соединения звеньев. Передаточные функции эквивалентных звеньев. Правила структурных преобразований. Формула мейсона
- •Последовательное соединение
- •Параллельное соединение звеньев
- •Встречно-параллельное соединение (соединение с обратной связью)
- •Правила структурных преобразований
- •Формула Мейсона
- •Контрольные вопросы
- •5. Частотные характеристики. Амплитудно-фазовая характеристика. Связь амплитудно-фазоВой характеристиКи с передаточной функцией. Логарифмические частотные характеристики
- •Логарифмические частотные характеристики
- •Контрольные вопросы
4. Типы соединения звеньев. Передаточные функции эквивалентных звеньев. Правила структурных преобразований. Формула мейсона
При наличии большого числа элементов в системе пользуются структурным методом, согласно которому уравнение всей системы получают на основе алгоритмической схемы при помощи нескольких простых правил.
Сущность метода состоит в том, что по известным передаточным функциям отдельных элементов системы, представляющих собой детектирующие звенья однонаправленного действия, используя правила последовательного, параллельного и встречно-параллельного (с обратной связью) соединений звеньев, получают эквивалентную передаточную функцию, или передаточную функцию эквивалентного звена. В результате получают одноконтурную замкнутую цепочку, состоящую из нескольких эквивалентных звеньев. Причем эта цепочка может иметь несколько входов и несколько выходов. Далее согласно одноконтурной схеме записывают передаточные функции между разомкнутыми входами и выходами системы. Рассмотрим типы соединения звеньев.
Последовательное соединение
Здесь выход предыдущего звена является входом в последующее. Пусть имеется N последовательно соединенных звеньев (рис. 12).
Рис. 12. Последовательное соединение звеньев
Начнем рассмотрение с последнего звена:
,(43)
далее
.(44)
Из (44) найдем :
.(45)
Подставляя (45) в (43), получим для двух последних звеньев:
.(46)
Распространяя этот подход до первого звена включительно, окончательно получим:
.(47)
Передаточная функция эквивалентного звена, представляющего N последовательно соединенных звеньев, равна произведению передаточных функций этих звеньев.
Параллельное соединение звеньев
Параллельным соединением звеньев называется такое соединение, при котором на выход всех элементов поступает одно и то же воздействие, а их выходные величины алгебраически суммируются (рис. 13):
Рис. 13. Параллельное соединение звеньев
Введем обозначения:
– узел разветвления сигнала,
– узел суммирования сигналов.
Запишем уравнение движения в преобразованном по Лапласу виде:
Или
.(48)
Передаточная функция эквивалентного звена, представляющего N параллельно соединенных звеньев, равна сумме передаточных функций этих звеньев.
Встречно-параллельное соединение (соединение с обратной связью)
Встречно-параллельным соединением двух элементов называют такое соединение, при котором выходной сигнал второго элемента поступает на выход второго, а выходной сигнал второго элемента алгебраически суммируется с общим входным сигналом. Схема встречно-параллельного соединения показана на рис. 14:
Рис. 14. Встречно-параллельное соединение (соединение с обратной связью)
Запишем уравнение движения:
,(49)
,(50)
.(51)
Подставляя (51) и (50) в (49), получим:
.(52)
Приведя подобные члены, получим:
.(53)
Из (53)
. (54)
Знак (-) для положительной обратной связи, когда
.
Знак (+) для отрицательной обратной связи, когда
.
Элемент, в котором направление передачи сигнала совпадает с направлением передачи общего сигнала, называют элементом прямой цепи.
Элемент, в котором направление передачи сигнала противоположно направлению передачи общего сигнала, называют элементом обратной связи.
Передаточная функция эквивалентного звена при встречно-параллельном соединении звеньев равна отношению передаточной функции звена прямой цепи к знаменателю, представляющему собой алгебраическую сумму единицы и произведения передаточных функций звена прямой цепи и звена обратной связи.
Если автоматическая система имеет так называемые перекрестные обратные связи, то кроме замены звеньев эквивалентными звеньями приходится использовать дополнительные правила структурных преобразований.
Передаточная функция замкнутой системы, представленная в виде эквивалентной одноконтурной схемы, имеет вид:
, (55)
где – эквивалентная передаточная функция звеньев, находящихся в прямой цепи между рассматриваемым входом и выходом;
– эквивалентная передаточная функция звеньев, образующих обратную (по отношению к рассматриваемой прямой цепи) связь.
Главная обратная связь в любой автоматической системе управления всегда отрицательна. Поэтому в знаменателе (55) взят знак «+». В знаменателе передаточной функции (55) записано произведение эквивалентных передаточных функций, представляющее собой произведение передаточных функций всех звеньев, последовательно соединенных друг с другом в главном контуре системы, то есть
. (56)
Передаточная функция (56) называется передаточной функцией разомкнутой системы и обозначается или.
В общем случае к системе может быть приложено несколько воздействий (рис. 15):
Рис. 15. Система управления с несколькими внешними воздействиями
Однако по каждому каналу передачи воздействия на выходную величину Y в передаточной функции замкнутой системы знаменатель будет определен одним и тем же соотношением вида , а в числителе передаточная функциябудет определяться произведением передаточных функций звеньев, заключенных между узлом суммирования в точке приложения воздействия и узлом разветвления для выходной величины.
В этом случае для линейных систем, подчиняющихся принципу суперпозиции, выходная величина равна:
.(57)
Перепишем соотношение (57) в виде:
.(58)
Выражение есть собственный оператор системы. Если приравнять его к нулю, то получим характеристическое уравнение одноконтурной системы:
.(59)
При более сложном соединении звеньев для получения передаточной функции системы по выбранному каналу пользуются правилами структурных преобразований, приведенных в табл. 1.
Таблица 1