Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный университет биоресурсов и природопользования

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Dolhikh_1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.05.2015

Размер:

1.08 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 113 4 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

6. Чи мають дані матриці обернені? Якщо мають, знайдіть їх:

2	−4			2	1	1
2	−4						.
A=		,	B = 1		0	2	.
	6		B = 1		0	2
−3	6			3	1	2
				3	1	2

7. Елементарними перетвореннями знайдіть матрицю, обернену до матриці A:

					2	1			1							3	−2			0		−		1
					2	1			1							0		2		2
		а)	A =		3 2 1						, б)	A =				0		2		2					1
		а)	A =		3 2 1						, б)	A =														.
																1	−2 −3 −							2
					1		2		0							1	−2 −3 −							2
					1		2		0							0		1		2
8.																0		1		2					1
8.	Перевірте, що (AB)–1 = B–1A–1, якщо																											2 1	1
		1 2						3 1												2 1	1							2 1	1
		1 2		B =				3 1										=					,				=			.
	а) A	=	,	B =							;					б) A		=		3 2 1			,			B	=	1 0 2		.
	а) A															б) A				3 2 1						B		1 0 2
		3 4					−1 2													1 2	0							3 1	2
9.																				1 2	0							3 1	2
9.	Знайдіть матрицю X, що задовольняє рівняння AX = B, якщо
						1 2 −						3					1			− 3 0
								3 2 −				4		, B
				A =				3 2 −				4		, B			= 10 2 7							.
								2		−1 0
10.								2		−1 0							10 7 8
10.	Знайдіть матрицю X, що задовольняє рівняння XA = B, якщо
								5			3	1						−8 3 0
				A =				1 −3 − 2							,	B =			−5 9 0
				A =				1 −3 − 2							,	B =			−5 9 0						.
							−5 2					1							− 2 15 0
11.							−5 2					1							− 2 15 0
11.	Знайдіть ранги матриць
					4		−1		2								5			− 2	0				1
					4		−1		2		0
				−1 1 1 1													12 −1 −1 0
			A =	−1 1 1 1													12 −1 −1 0									.
			A =		1			3	2		,		B =				−11 −7				3 5
					1			3	2		−1						− 2			−3	1				2
					0			4	3								− 2			−3	1				2
					0			4	3		0						8			−7	1			4
																	8			−7	1			4

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

2. СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ

2.1. ОСНОВНІ ОЗНАЧЕННЯ

Система m лінійних алгебраїчних рівнянь із n невідомими x1, x2, …, xn має вигляд:

+ a

+... + a

= b

11 1

+ a

+... + a

= b

.......... .......... .......... ..........

x + a

m 2

+... + a

= b

де aij

− задані коефіцієнти при невідомих;

− вільні члени системи.

Систему (2.1) можна записати у матричній формі:

A X = B,

де A –

матриця коефіцієнтів при невідомих;

X –

матриця-стовпець невідомих;

B –

матриця-стовпець вільних членів:

...

a22 ...

a2 n

X =

A =

... ...

...

B =

...

am 2 ...

am1

amn

(2.1)

(2.2)

(2.3)

Розв’язком системи (2.1) називається впорядкована сукупність чисел x1, x2, …, xn, які перетворюють у правильну рівність кожне рівняння системи.

Система називається сумісною, якщо вона має хоча б один розв’язок, і несумісною, якщо вона не має жодного розв’язку.

Сумісна система називається визначеною, якщо вона має лише один розв’язок і невизначеною, якщо вона має безліч розв’язків.

2.2. СХЕМА ДОСЛІДЖЕННЯ СИСТЕМ. ТЕОРЕМА КРОНЕКЕРА-КАПЕЛЛІ

Випишемо матрицю А і розширену матрицю A системи (2.1)

a	a	...	a
11	12		1n
a21	a22	...	a2n
A =	...	...	...	,
...	...	...	...
	am 2	...
am1	am 2	...	amn

a11

a 21

	= ( A \| B ) =
A	= ( A \| B ) =
	...
		1
	a m	1

a	12	...	a	1n	b

					1		(2.4)
a 22		...	a 2 n		b2	.
...		...	...		...

a m 2		...	a mn
					bm

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

Теорема Кронекера-Капеллі: для того щоб система (2.1)

була сумісною, необхідно й достатньо, щоб ранг матриці А дорівнював рангу розширеної матриці A , тобто r(A) = r( A )

Схема дослідження систем

1)якщо r(A) ≠ r( A ) − система несумісна;

2)якщо r(A) = r( A ) = r − система сумісна, причому:

при r = n (ранг дорівнює кількості невідомих) система має єдиний розв’язок;

при r < n система має безліч розв’язків. Базисні невідомі, коефіцієнти при яких увійшли в базисний мінор, виражаються лінійно через інші невідомі, котрі називаються вільними невідомими.

2.3. МЕТОД ГАУССА (метод послідовного виключення невідомих)

Метод Гаусса поєднує процес дослідження сумісності системи з процесомїїрозв’язання. Методскладаєтьсязпрямогойзворотногоходу.

1. Прямий хід. Якщо a11 ≠ 0, то з першого рівняння системи виражають змінну x1 через інші змінні і підставляють у 2, 3,…, m-те рівняння. У результаті змінна x1 виключається з усіх рівнянь, крім першого.

Потім із другого рівняння виражають змінну x2 через x3, x4, …, xn і підставляють у 3, 4,…, m-те рівняння. У результаті змінна x2 виключається з усіх рівнянь, крім першого та другого.

Аналогічно виключають змінну x3 із 4, 5, …, m-го рівнянь і т.д. У процесі виключення змінних можуть з’явитися рівняння вигляду:

0 x1 + 0 x2 +... + 0 xn = 0.	(2.5)
0 x1 + 0 x2 +... + 0 xn =bk , (bk ≠ 0).	(2.6)

Рівняння (2.5) слід відкинути, тому що його задовольняє будьякий набір невідомих. Рівняння (2.6) свідчить про несумісність системи, тому що жоден набір невідомих не задовольняє таке рівняння.

Якщо в процесі послідовного виключення невідомих не зустрінеться рівняння вигляду (2.6), то система сумісна. При цьому отримаємо еквівалентну систему трикутного (2.7) чи трапецієподібного (2.8) вигляду.

x1 + a12 x 2 + a13 x3 +... + a1n xn = b1,
	x2 + a23 x3 + + a2n xn = b2 ,
		(2.7)

......................................................
	xn = bn.

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

a x

...

+ a

r +1

...

+ a

= b ,

1r +1

x2 +

...

+ a2r xr +

a2r +1xr +1 +

...

+ a2n xn

= b2

(2.8)

...

arr +1xr +1

...

+ arn xn

= br .

Система (2.7) має єдиний розв’язок, а система (2.8) – безліч розв’язків, які знаходяться у процесі зворотного ходу методу Гаусса.

2. Зворотний хід. З останнього рівняння системи (2.7) визначається xn і підставляється в 1, 2, ..., (n − 1) рівняння. Потім із передостаннього рівняння визначається xn-1 і підставляється в 1, 2, ..., (n − 2) рівняння і т.д.

У системі (2.8) базисні невідомі x1, x2, …, xr визначаються через вільні невідомі xr+1, xr+2, …, xn, які можна задавати довільно.

Частинним розв’язком системи рівнянь називається розв’язок, в якому всім вільним невідомім задані конкретні числові значення.

Базисним розв’язком системи рівнянь називається розв’язок, в якому всі вільні невідомі дорівнюють нулю.

Зауваження. При розв’язанні систем методом Гаусса елементарним перетворенням підлягають рядки розширеної матриці. У процесі прямого ходу обертають у нуль елементи матриці, розташовані під головною діагоналлю (спочатку по першому стовпцю, потім − по другому і т.д.). У процесі зворотного ходу обертають у нуль елементи, роз-

ташовані над головною діагоналлю, починаючи з останнього стовпця для системи (2.7) і зі стовпця з номером r для системи (2.8). Потім обертають у нуль елементи над головною діагоналлю в попередньому стовпці і т.д.

Наведемо кілька прикладів розв’язування систем методом Гаусса.

Приклад 2.1. Методом Гаусса розв’язати систему:
			x − x			2	+2x	= 5
			1			2	3
			2x1 + x2 − x3 =1 .

		3x1 + 2x2 −2x3 =1
► Перетворюємо розширену матрицю системи:
	1	−1 2		5	e −2e							e			/ 3
									1	−1 2	5
									1	−1 2	5
					2		1						2

A =	2	1 −1		1			~		0	3 −5	−9			~
A =	2	1 −1		1			~		0	3 −5	−9			~
	3	2 −2		1	e		−3e		0	5 −8	−14
					3		1
					3		1

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

	1	−1	2	5		1	−1 2		5		1	−1	2	5


~	0	1	−5 3	−3	~	0	1	−5 3	−3	~	0	1	−5 3	−3	~

	0	5	−8		−5e2	0	0	1 3	1	3e3	0	0	1	3
	0	5	−8	−14 e3	−5e2	0	0	1 3	1	3e3	0	0	1	3

Прямий хід завершений. Матриця зведена до трикутного вигляду. Система має єдиний розв’язок, який знаходимо в результаті зворотного ходу.

			e			−2e			1 −1 0								−1 e +e						1 0 0								1				x =1
			e			−2e			1 −1 0								−1 e +e						1 0 0								1				x =1
				1		3				0			1 0				2			1	2			0 1 0							2					1
						~				0			1 0				2			~				0 1 0							2				x2 = 2 .
	e		2	+(5 3)e						0 0 1							3							0 0 1							3				x	3		= 3
			2				3																													3
																																			x		−4x		= −1
																																			1			2
Приклад 2.2. Методом Гаусса розв’язати систему:																																			3x1 + 2x2 = 4 .

																																		7x1 +10x2 =12
					1 −4				−1 e				2	−	3e			1		−4			−1 e				2		/ 7			1 −4					−1
					1 −4				−1 e					−	3e			1		−4			−1 e						/ 7			1 −4					−1
															1
►	A	=				3	2				4			~					0 14					7				~					0		2			1		~
						7 10			12			e	3	−7e					0 38			19			e	3			/ 19				0		2		1 e		3	−e	2
													3		1											3													3		2
1	−4				−1 e		2	/ 2			1			−4		−1 e + 4e								1 0						1						x		=1
1	−4				−1 e			/ 2
																							2
~ 0		2			1 ~															1			2													1				.
~ 0		2			1 ~							0		1						~					0 1															.
												0		1		1 2				~					0 1					1 2					x2 =1 / 2
0	0					0

Приклад 2.3. Методом Гаусса розв’язати систему: x1 +2x2 +x3 =4 .
																					2x1 +4x2 +2x3 =3
				1 2 1	4		~					1 2 1
																		4


																				− система несумісна.
►A =																				− система несумісна.
				2 4 2	3	e2 − 2e1						0 0 0						−5
				2 4 2	3	e2 − 2e1												−5
Приклад 2.4. Методом Гаусса розв’язати систему:
				x			+ 2x		2	+		4x	3	− x			4	−3x		5	= 7
						1			2				3				4			5
						2x1 + 9 x3 +												x5 = 4 .
								x2 +						2x4				− x5 = 6
								x2 +						2x4				− x5 = 6
			1 2 4 −1				−3	7 e			2	−2e			1 2 4 −1 −3							7
			1 2 4 −1				−3	7 e				−2e			1 2 4 −1 −3							7
														1
►	A	=		2 0 9 0			1	4				~				0		−4 1 2 7				−10	~
				0 1 0 2			−1	6								0			1 0 2 −1			6 e ↔e
																						2	3

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

1			2 4 −1		− 3	7								1 2 4 −1 − 3					7 e		1		−	4e	3

	0		1 0	2	−1	6				~				0 1 0			2 −	1	6				~
~
	0 − 4 1			2	7	−10		e + 4e						0 0 1 10				3	14
									3			2
	1 2 0			− 41	−15		− 49 e			1	−	2e		1 0 0			− 45 −13					− 61

~		0 1 0		2	−1		6				~		2		0 1 0		2		−1				6
																								.
		0 0 1		10	3		14								0 0 1		10			3			14

Запишемо і розв’яжемо систему рівнянь, що відповідає останній
матриці
x1 +			0 x2 + 0 x3 − 45 x4 −13x5 = −61													x1 = −61 + 45 x4 +13x5
		0	x1 + x2	+ 0 x3 + 2x4 − x5 = 6													= 6 − 2x4 + x5
																x2
				+ x3	+10 x4 + 3x5 =14												=14 −10 x4 −3x5
0 x1 + 0 x2																x3
Система має безліч розв’язків. Змінні x1, x2, x3 – базисні, x4, x5 –
вільні.			Отриманий		розв’язок				системи						можна		записати			у			вигляді:

x1 = −61+ 45c4 +13c5, x2 = 6 −2c4 +c5 , x3 =14 −10c4 −3c5, x4 = c4 , x5 = c5 , де c4, c5 − довільні сталі.

2.4. МЕТОД ЖОРДАНА-ГАУССА (метод повного виключення невідомих)

Уметоді Гаусса змінна x1 виключалася з усіх рівнянь, крім першого, змінна x2 − з усіх рівнянь, крім першого й другого, змінна x3 виключалася з 4-го, 5-го,…, m-го рівнянь і т.д. У результаті елементи розширеної матриці, що лежать нижче головної діагоналі, оберталися

внуль. Елементи, розташовані над головною діагоналлю, оберталися

внуль у процесі зворотного ходу.

Уметоді Жордана-Гаусса змінна x1 виключається з усіх рівнянь, крім 1-го, змінна x2 виключається з усіх рівнянь, крім 2-го, змінна x3 виключається з усіх рівнянь, крім 3-го і т.д. У результаті в розширеній матриці одночасно обертаються в нуль елементи, розташовані над і під головною діагоналлю.

Як і в методі Гаусса, рівняння (2.5) (нульові рядки розширеної матриці) слід відкинути, а рівняння вигляду (2.6) свідчать про несумісність системи.

Приклад 2.5. Методом Жордана-Гаусса розв’язати систему:

x1 − x2 + 2x3 = 52x1 + x2 − x3 =1 .3x1 + 2x2 −2x3 =1

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

1 −1 2

5 e

−2e

1 −1 2

/ 3

1 −1

►

= 2 1 −1

0 3 −5

−9

0 1 −5 3

−

0 5

3 2 −2

1 e3 −3e1

0 5 −8

−14

−8

−14

1 0 1 3

2 e1

−

1 e3

1 0 0

x1 =1

0 1 0

=2.

0 1

−

5 3

−

0 1

−

5 3

−

3 ~

0 0 1

e3 −5e2 0 0 1 3

3 0 0

3 e2

3e3

2.5. СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ ОДНОРІДНИХ

АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ

Система називається однорідною, якщо усі вільні члени дорів-

нюють 0:

+ a

+... + a

= 0,

a12 x1 + a22 x2

+... + a2n = 0,

(2.9)

.....................................

+ a

+... + a

= 0.

Однорідні системи завжди сумісні, оскільки завжди існує так званий тривіальний розв’язок х1 = х2 =…= хn = 0. Якщо в однорідній системі кількість лінійно незалежних рівнянь менше кількості невідомих, то така система, крім тривіального розв’язку, має безліч нетривіальних розв’язків. Однорідні системи можна розв’язувати методами Гаусса й Жордана-Гаусса.

Приклад 2.6.

			1


►A =		− 2
►A =		− 2
		−1

	1		2
~
~			1
	0		1

Розв’язати методом Гаусса систему:

	x	+ 2x		2	+ x	3		= 0
	1			2		3
−2x1 +3x2 + 2x3 = 0 .
	− x	+5x	2		+3x		3	= 0
	1		2				3

2	1		0	e		2		+ 2e			1	2	1	0				1
2	1		0	e				+ 2e			1	2	1	0				1
									1
3	2		0					~ 0 7					4	0		~ 0
3	2		0					~ 0 7					4	0		~ 0
5	3		0		e			+ e			0	7	4	0 e		− e			0
						3		1						3			2
						3		1						3			2
	1	0 e					− 2e		2	1		0 −1 7			0			x
	1	0 e					− 2e			1		0 −1 7			0			x
					1														1
4 7		0						~			0 1		4 7		0
4 7		0						~			0 1		4 7		0			x2

2	1 0	e			/ 7
7	4 0		2
				~

00 0

=x3 / 7,

=−4x3 / 7.

Велике практичне значення мають однорідні системи розміру n×n.

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

Теорема. Для того щоб існував нетривіальний розв’язок однорідної системи (2.9) при m = n, необхідно й достатньо, щоб визначник (A) = 0

2.6. СИСТЕМИ n ЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ ІЗ n НЕВІДОМИМИ

Методами Гаусса й Жордана-Гаусса можна розв’язувати довільні системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Розглянемо методи, придатні лише для розв’язання лінійних систем n-го порядку (n рівнянь із n невідомими):

+ a

+... + a

=b ,

a21x1 + a22 x2 +... + a2n xn =b2 ,

........................................

+ a

+... + a

=b .

Систему (2.10) запишемо також у матричному вигляді:

A X = B,

де A

– матриця коефіцієнтів при невідомих;

–

матриця-стовпець невідомих;

–

матриця-стовпець вільних членів:

...

a21

a22 ...

a2n

X =

A =

B =

... ... ...

...

2.6.1. Матричний метод розв’язування систем (метод оберненої матриці)

(2.10)

(2.11)

Нехай матриця А невироджена (detA ≠ 0), тоді існує обернена матриця A–1. Домножимо ліву і праву частини рівняння (2.11) зліва на обернену матрицю A–1:

(A−1 A)X = A−1B EX = A−1B .

Оскільки EX = X, розв’язок системи (2.11) набуде вигляду:

X = A–1B.

(2.12)

Приклад 2.7. Методом оберненої матриці розв’язати систему:

x1 − x2 +2x3 = 52x1 + x2 − x3 =1 .3x1 +2x2 −2x3 =1

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

		1	−1
► Позначимо:		2	1
► Позначимо:	A =	2	1
		3	2
		3	2

−1 , X

−2

= x2 , Bx3

=1 .1

Для матриці A обернена матриця знайдена в прикладі (1.5):

			0	2	−1
	−1
A	−1	=	1	− 8	5
A		=	1	− 8	5	.
			1	− 5	3

За формулою (2.12) знаходимо розв’язок системи:

	x			0	2	−1	5	0 5		+ 2 1 −1 1		1
X = A−1 B,		1		1	−8	5			1 5	−8 1 +5 1
	x2		=				1	=			=	2	,

				1	−5	3	1		1 5	−5 1 +3 1		3
	x	3

x1x2x3

=2.

Зауваження. Метод оберненої матриці зручно застосовувати для багаторазового розв’язування систем з однією і тією ж матрицею A і різними матрицями вільних членів B.

2.6.2. Розв’язування систем методом Крамера

ТеоремаКрамера. Нехай∆– визначникматриціАсистеми(2.10), ∆j – визначник, отриманий з визначника ∆ заміною j-го стовпця стовпцем вільних членів. Тоді при ∆ ≠ 0 система має єдиний розв’язок:

xj = j/ (j = 1, 2, …, n).

(2.13)

Z За формулою (2.12) маємо

x1x2 =...xn

		A	A	21	...
		11		21
1		A12	A22 ...
			... ...

	...
		A	A	2 n	...
		1n		2 n

An1 An 2

...

Ann

	b
	1
	b2		=
			=
	...

	bn

A b

+ A

+ ... + A

11 1

A12 b1 + A22 b2

+ ... + An 2 bn

.......... .......... .......... ......

A b

+ A

+ ... + A

1n 1

a12

...

a1n

Звідси x

b + A

+ ... + A

a22

...

a2n

= 1 і т.д.

... ... ... ...

an2

...

ann

Зауваження.

•при ∆ ≠ 0 система (2.10) має єдиний розв’язок, що визначається формуламиКрамера(2.13);

•якщо∆= 0, ахочабодинізвизначників∆j ≠ 0, тосистеманесумісна;

•при ∆ = 1 = ... = n = 0 система або несумісна, або має безліч розв’язків.

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

Приклад 2.8. Розв’язати методом Крамера систему

− x

+2x

2x1 + x2 − x3 =1 .

3x1 +2x2 −2x3 =1

−1

► Визначник

−1

=1 ≠0

–

система

має єдиний

−2

розв’язок.

Обчислимо визначники

3 і

знайдемо

розв’язок за

формулами (2.13):

5 −1 2

1 −1 5

1 5 2

1 =

1 1 −1

=1,

2 =

2 1 −1

=2,

3 =

1 1

=3,

1 2 −2

3 1 −2

3 2 1

x = 1 =1, x =

2 = 2, x = 3 =3.

Приклад 2.9. Розв’язати методом Крамера систему:

x1 − x2 +2x3 = 2

2x1 +3x2 − x3 =1 .

3x1 +2x2 + x3 = −1

		−1	2			2	−1	2
	1	−1	2			2	−1	2
► Визначник =	2	3	−1	=0. Оскільки	1 =	1	3	−1	=21≠0,
	3	2	1			−1	2	1

то система несумісна.

Приклад 2.10. Розв’язати методом Крамера систему:

x1 −x2 +2x3 =52x1 −2x2 +4x3 =1.3x1 −3x2 +6x3 =6

► Третє рівняння системи дорівнює сумі першого та другого рівнянь, отже, усі визначники третього порядку дорівнюють нулю: ∆ = 1 = 2 = 3 = 0. Однак перше рівняння несумісне з другим. Система несумісна.

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

<<< < Предыдущая 1 23 / 113 4 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
29.04.2019872.96 Кб4Dictionary_culture_2011 1.doc
#
29.04.20192.62 Mб19Dictionary_culture_2011 2.doc
#
01.05.2015392.7 Кб6Dodatki_1-6_Pidsumkovi_Tablitsi_Vipiska_List-P.doc
#
02.05.2019616.96 Кб8Dodatok2.doc
#
01.05.201564.51 Кб10Dodatok_Nakaz_pro_obl_pol.doc
#
01.05.20151.08 Mб7Dolhikh_1.pdf
#
01.05.2015220.67 Кб5Dovidki_dodatki_7-19.doc
#
01.05.201511.99 Mб424Dpa matematika 2014.pdf
#
01.05.2015950.54 Кб10dudarev.docx
#
01.05.20151.56 Mб4Duglas_Distsiplinirovannyy_treyder.pdf
#
01.05.20157.97 Mб53EAS_ostatochny_variant.doc