Додаток 2. Довідник

Ця частина посібника, як зазначалося у передмові, являє собою набір основних означень та формул з таких розділів шкільного курсу математики:

• теорія чисел;

• теорія подільності цілих чисел;

• алгебраїчні рівняння та способи їх розв’язання;

• арифметика (оперування дробами, пропорції);

• тригонометрія;

• планіметрія;

• стереометрія.

Ці математичні факти стануть у пригоді під час розв’язання вправ з тем і дозволять зекономити час на відшукання в математичній літературі.

1. Дійсні числа

1.1. Деякі ознаки подільності натуральних чисел

• Число ділиться на 2, якщо його остання цифра є число парне або нуль.

• Число ділиться на 3, якщо сума цифр числа ділиться на 3.

• Число ділиться на 4, якщо його останні цифри ­– нулі або утворюють число, яке ділиться на 4.

• Число ділиться на 5, якщо воно закінчується на нуль або 5.

• Число ділиться на 8, якщо три його останні цифри – нулі або утворюють число, яке ділиться на 8.

• Число ділиться на 9, якщо сума цифр числа ділиться на 9.

• Число ділиться на 10, якщо воно закінчується на нуль.

• Число ділиться на 11, якщо сума його цифр, що стоять на парних місцях, дорівнює сумі цифр, що стоять на непарних місцях, або відрізняється від неї на число, яке ділиться на 11.

• Число ділиться на 25, якщо дві його останні цифри – нулі або утворюють число, яке ділиться на 25.

1.2. Найменше спільне кратне (НСК).

Найбільший спільний дільник (НСД) кількох натуральних чисел

НСК – найменше число, яке ділиться на кожне з даних чисел.

НСД – найбільше з чисел, на які діляться декілька даних чисел.

Формула зв’язку НСД і НСК двох натуральних чисел m і n:

1.3. Абсолютна величина (модуль) дійсного числа

Якщо а і b – два дійсних числа, то

1.4. Дії над дійсними числами

1.4.1. Дроби

Правила дій з дробами:

Формула перетворення скінченного десяткового дробу на раціональний дріб:

Формула перетворення нескінченного десяткового дробу на раціональний дріб:

1.4.2. Пропорції

Із пропорції виходять рівності:

де m, n, p, q – будь-які числа та .

1.4.3. Ступені та корені

Для будь-яких х, у та додатних а і b вірні рівності:

Для будь-яких натуральних n і k, більших 1, та будь-яких невід’ємних а і b вірні рівності:

Якщо , , то при , ,

При , для будь-яких а і b

Якщо m і n – цілі числа , то

2. Многочлени та алгебраїчні рівняння

2.1. Формули скороченого множення

Для a i b вірні рівності:

2.2. Формули Вієта

Формули Вієта для зведеного многочлена n-го ступеня

з коренями мають вигляд:

Зокрема, формули Вієта для зведеного квадратного тричлена з коренями , мають вигляд , а для зведеного кубічного многочлена

з коренями , , – .

2.3. Алгебраїчні рівняння

2.3.1. Квадратне рівняння

.

Дискримінант квадратного рівняння . Якщо , то рівняння має два різні дійсні корені . Якщо , то рівняння має два рівні корені (або один корінь кратності 2). Якщо , то рівняння має два комплексно-спряжені корені: і .

Формула обчислення коренів зведеного квадратного рівняння :

.

Формула обчислення коренів квадратного рівняння з парним другим коефіцієнтом : .

2.3.2. Кубічне рівняння

Корені неповного кубічного рівняння обчислюються за формулами Кардано:

,

де , причому за А і В обираються будь-які значення кубічних коренів, які задовольняють рівності .

Корені повного кубічного рівняння обчислюються за формулами:

,

де – корені неповного кубічного рівняння.

4. Тригонометрія