3. Гранична помилка вибірки. Визначення потрібної чисельності вибірки

На практиці зазвичай недостатньо обчислити лише середню помилку вибірки, бо фактична помилка більша чи менша за середню.

Дослідника цікавить частіше не середня помилка вибірки, а її межі в разі перенесення результатів вибіркової сукупності на генеральну. Ці межі можна визначити, обчисливши граничну помилку вибірки, котра залежить від того, з якого ймовірністюпотрібно гарантувати помилку вибірки.

Граничну помилку вибірки обчислюють за формулою

Де — коефіцієнт кратності помилки (довіри); — середня помилка вибірки.

Межі помилок визначають на основі теореми Чебишева і Ляпунова, яка визначає ймовірність того, що гранична помилка репрезентативності не перевищує -кратну середню помилку. Показник кратності помилкизалежить від імовірності, з якою можна гарантувати певні розміри граничної помилки вибірки. Згідно з цією теоремою середня величина та частка генеральної сукупності в 683 випадках із 1000 збігаються із середньою величиною чи часткою вибіркової сукупності. За таких умов гранична помилка вибірки дорівнює середній помилці, а коефіцієнт довіри = 1. Щоб підвищити ймовірність, потрібно розширити межі відхилень. Наприклад, якщо подвоїти середню помилку репрезентативності (= 2), то ймовірність збігу вибіркової та генеральної середньої чи частки підвищиться до 0,954 (95,4 %), а якщо потроїти, то до 0,997. Щоб визначити коефіцієнт імовірностідля різних значень, користуються спеціальною табл. 2. Найуживаніші в обчисленнях коефіцієнти = 1(= 0,683), 2 (0,954), 3 (0,997), 4 (0,999).

Для обчислення граничних помилок повторної та безповторної вибірки застосовують відповідно такі формули: для середньої

для частки —

Таблиця 2

Значення ймовірності залежно від коефіцієнта довіри

Коефіцієнт
довіри t	імовірності K	довіри t	імовірності K	довіри t	імовірності K
1,0	0,683	1,7	0,911	2,4	0,984
1,1	0,728	1,8	0,928	2,5	0,988
1,2	0,770	1,9	0.943	2,6	0,991
1,3	0,806	2,0	0,954	2,7	0,993
1,4	0,839	2,1	0.964	2,8	0,995
1,5	0,886	2,2	0,972	2,9	0,996
1,6	0,890	2,3	0,979	3,0	0,997

Типова задача 1. Обчислити з імовірністю 0,954 граничну помилку вибірки та визначити межі середньої заробітної плати продавця в генеральній сукупності (табл. 3).

Таблиця 3

Основні показники для обчислення граничної помилки вибірки для середньої заробітної плати продавця в генеральній сукупності

Показники	Значення
Чисельність продавців у генеральній сукупності N	2000
Чисельність продавців у вибірковій сукупності л	200
Середня заробітна плата у вибірковій сукупності х, грн.	303
Середнє квадратичне відхилення (попередні обстеження) а, грн.	30
Коефіцієнт довіри tдля ймовірності 0,954	2

Для цих даних середня помилка вибірки =2,01 грн. З імовірністю 0,954 визначимо граничну помилку вибіркової середньої: =2-2,01=4 грн. Тому середня зарплата в генеральній сукупності лежить у таких межах: = (303±4) грн.

Отже, з імовірністю 0,954 можна твердити, що середня заробітна плата продавця в генеральній сукупності коливається в межах від 299 до 307 гри.

Так само можна обчислити граничну помилку вибірки для частки. Визначення потрібної чисельності вибірки. Це дуже важливо, бо надмірна чисельність вибірки зумовлює великий обсяг робіт, а мала — велику помилку репрезентативності.

Визначаючи потрібну чисельність вибірки, потрібно враховувати такі показники:

• показник варіації досліджуваної ознаки (дисперсію);

• граничну помилки вибірки;

• імовірність, з якою гарантовано результати вибірки.

Потрібну кількість вибірки можна визначити з формули граничної помилки вибірки, виконавши відповідні математичні перетворення. Так, піднісши обидві частини формули до квадрата, отримаємо , звідки.

Виконавши подібні перетворення з іншими різновидами граничної помилки вибірки, одержимо такі формули для визначення потрібної чисельності вибірки (відповідно повторної та безповторної): для середньої

для частки —

Тому якщо навіть приблизна дисперсія невідома, відповідні формули мають вигляд

Щоб визначити потрібну чисельність вибірки, слід знати дисперсію. Проте її можна обчислити, лише провівши вибіркове спостереження. Отже, для того, щоб визначити потрібну чисельність вибірки п, потрібно мати дані про неї.

Для визначення дисперсії можна запропонувати таке:

• користуватися даними попереднього дослідження, якщо його було проведено;

• провести пробну вибірку;

• визначити дисперсію через гаданий розмах варіації, розділивши його на 5: (деякі автори пропонують );

• якщо невідома вибіркова частка , то брати, звідки випливає, тоді

Визначимо потрібну чисельність вибірки па такому прикладі.

Типова задача 2. У мікрорайоні працює 2000 продавців. Скільки потрібно відібрати продавців для обстеження, щоб з імовірністю 0,954 стверджувати, що помилка вибірки в разі визначення середньої заробітної плати не перевищить 4 грн, якщо середнє квадратичне відхилення становить 30 грн?

Запишемо умову задачі формально: = 2000; =2; =4 грн; =30 грн.

У разі повторної вибірки для обстеження потрібно відібрати

у разі безповторної -