111Equation Chapter 1 Section 1Лабораторная работа № 1 Вычисление ошибок физических измерений. Определение плотности тел правильной геометрической формы Краткие теоретические сведения

В каждой лабораторной работе проводятся измерения разнообразных физических величин. Измерение – это процесс нахождения значения физической величины исследовательским путем с помощью специальных технических средств. В результате измерения мы находим, во сколько раз величина, которая измеряется, больше (или меньше) величины, взятой за эталон. Измерения бывают прямые и непрямые. Прямыми называются измерения, в ходе которых с помощью какого-либо измерительного метода определяется значение искомой величины путём её сравнения с эталоном. Непрямыми называются измерения, в ходе которых искомое значение величины определяется по формуле. Например, плотность тел цилиндрической формы вычисляется по формуле , гденаходятся с помощью прямых измерений.

При измерении какой-либо величины мы никогда не сможем получить её точное значение. Это является следствием несовершенства измерительных средств и методов измерения, влияния условий измерения, индивидуальных особенностей наблюдателя и каких-либо случайных причин. Поэтому наиболее близким к истинному значению измеряемой величины считается среднее арифметическое результатов измерения. Для того чтобы знать, насколько среднее арифметическое близко к истинному, обязательно нужно определить ошибку измерения.

Ошибки измерений бывают абсолютными и относительными. Абсолютной ошибкой измерения называется разница между приближённым значением величины и её точным значением. Выражается она в единицах измеряемой величины и определяется формулой , где– значение, полученное при измерении,– истинное значение измеряемой величины. Таким образом, абсолютная ошибка – это разница между измеряемым и истинным значением измеряемой величины. Значение абсолютной ошибки без указания значения измеряемой величины не характеризует качество измерения. Качество результатов измерения лучше характеризуется относительной ошибкой.Относительной ошибкой измерения называется отношение абсолютной ошибки измерения к истинному значению измеряемой величины. Поскольку абсолютное значение измеряемой величины не известно, то относительную ошибку измерения (ε) определяют как отношение абсолютной ошибки измерения к среднему значению величины. Относительную ошибку естественно выражают в процентах: .

По характеру и происхождению, а также по способам оценки и исключения их влияния на результат ошибки, измерения разделяют на следующие основные класса: систематические, случайные и грубые (промахи).

Промахи – это ошибки, которые значительно больше ошибки, ожидаемой в данных условиях измерения. Источником грубых ошибок является, как правило, брак внимания самого экспериментатора: неверный отсчет, неверная запись, ошибки при вычислении и т.д.). Если такая ошибка допущена в одном-двух измерения, то, сравнивая с другими данными, легко ее обнаружить. Эта ошибка обязательно должна быть исключена из результатов измерений.

К систематическим относятся ошибки, которые постоянно повторяются. Чаще всего это: 1) индивидуальные ошибки прибора (неисправность прибора, вогнутость стрелки и т.д.); 2) ошибка метода (ошибочность выбора или грубость метода измерения) или какие-либо упущения со стороны экспериментатора (влияние других приборов, установка приборов не по уровню, наблюдение при изменениях температуры и др.). Их можно обнаружить, устранить или учесть. Выявление, оценка и исключение систематических ошибок является одним из главных задач экспериментатора. Чем меньше мы желаем сделать систематическую ошибку, тем тщательнее мы обязаны подготовить измерения и продумать методику его исполнения. Систематические ошибки составляют большую опасность именно потому, что большинство экспериментаторов просто не знают об их существовании.

Однако в измерениях всегда существует систематическая ошибка, которую невозможно исключить никакими проверками и использованием других методов и для которых невозможно ввести поправку. Речь идет об инструментальной ошибке.

Инструментальной ошибкой называется ошибка, обусловленная неточностью измерительного прибора. В большинстве случаев инструментальную ошибку способа измерения можно оценить, зная класс точности прибора. Иногда сведения об ошибке способа измерения могут быть приведены в паспорте. Класс точности обычно указывается на шкале прибора. Если нет никаких указаний на ошибку прибора, то его абсолютную ошибку принимают такой, которая равна половине наименьшего деления шкалы прибора или цены наименьшего деления, поскольку цена наименьшего деления всегда согласована с инструментальной ошибкой способа измерения.

Случайная ошибка – это часть ошибки измерений, которая изменяется случайным образом при повторных измерениях. Опыт показывает, что многократное измерение одной и той же величины дает разные числовые значения даже после учета всех известных систематических ошибок.

При большом количестве измерений случайные ошибки с одинаковой вероятностью вызывают отклонения величины, которая измеряется, от истинного значения в обе стороны. Исключить случайные ошибки отдельных измерений невозможно. Однако математическая теория случайных явлений дает рекомендации, как уменьшить влияние случайных ошибок на результат измерений. Для этого необходимо проводить многократные измерения. Чем меньше значения случайных ошибок мы хотим достигнуть, тем больше измерений необходимо провести.

Правила оценки ошибки прямых измерений.

Рассмотрим случай, когда имеются случайные ошибки. Допустим, мы провели многократные измерения некоторой величины , например диаметра цилиндра, при этом количество измерений n. Простой вопрос: какое из полученных значений размеров х нужно взять как наиболее близкое к истинному значению диаметра и как оценить ошибку измерений?

Расчет нужно проводить в следующем порядке.

1.Наиболее близким значением к истинному значению измеряемой величины принимается среднее арифметическое значение результатов измерений:

.

2.Далее вычисляем случайные отклонения отдельных результатов измерений, т.е. находим разницу между результатом наблюдений и средним значением:

3.Вычисляем среднюю квадратичную ошибку результата серии измерений, т.е. среднее значение ошибки:

4.По таблице зависимости коэффициента Стьюдента для выбранного значения найденной вероятностии соответствующего количества измеренийопределяем значение этого коэффициента. При этом под надежной вероятностью будем подразумевать вероятность того, что случайная ошибка не превышает выбранного нами значения. Например, при коэффициенте надежной вероятностииз 100 случайных ошибок у 95 случаях ошибка не превышает вычисленного нами значения.

5. Умножаем найденное значение коэффициента Стьюдента на среднюю квадратичную ошибку среднего значенияи находим случайную ошибкурезультатов прямых измерений:

6.При проведении измерений могут одновременно появиться как случайные, так и систематические ошибки. Систематическая ошибка обычно неизвестна, но известно, что она не может быть больше, чем инструментальная ошибка, если источники систематической ошибки устранены. В этом случае можно принять за систематическую ошибку инструментальную ошибку , тогда общая ошибка определяется по формуле:

.

При конкретных измерениях инструментальная и случайная ошибки могут значительно отличаться друг от друга. Если одна из них в 3 или более раз больше другой, то меньшей ошибкой пренебрегают.

7.Окончательный результат серии измерений записывается в виде:

.

Соответственно при этом относительная ошибка результатов измерений будет:

Правила оценки ошибок непрямых измерений

В большинстве случаев величина, которая нас интересует, непосредственно не измеряется. Измеряются другие величины, связанные определенным соотношением с определяемой величиной, при этом ошибки непосредственно измеряемых величин известны.

Общие правила вычисления ошибок непрямых измерений можно получить только с помощью математической теории ошибок и дифференциального исчисления. Поэтому на данном этапе мы не обращаемся к теоретическому обоснованию тех или иных формул, а просто приведем эти формулы в готовом виде и покажем как ими пользоваться.

Пусть искомая величина зависит от нескольких непосредственно измеряемых величин. Зависимостьнам известна:

,

при этом для каждой измеряемой величины известна абсолютная погрешность для одинакового значения достоверности . Тогда прологарифмируем выражение для, затем продифференцируем его и получим:

.

Заменим в последней формуле дифференциалы на границы достоверности (погрешности) и получим:

.

Тогда относительную погрешность для объёма будем считать равной

.

Доверительным интервалом отклонения объёма от среднего значения будем считать величину:

,

где .

Если измерения прямых величин проводят один раз, то при вычислении ииспользуют измеренные значения, а погрешность считают равной инструментальной погрешности. Достоверность в этом случае вычислить невозможно.

Практическая часть

1. Взять из Таблицы 1 данные соответственно номеру рабочей группы и перенести их в таблицу в рабочую тетрадь.

2. Провести обработку прямых измерений, вычислив средние значения и величину случайных погрешностей.

3. Определить погрешность косвенных измерений

4. Определить общую погрешность измерений, учтя инструментальную ошибку.

5. Рассчитать значение плотности измеряемого образца.

Таблица 1.

Номер группы	№ з/п	Диаметр d, мм ∆diн=0,01 мм	Высота h,мм ∆hiн=0,05 мм	Масса m, г ∆miн=0,01 г
1	1 2 3 4 5	10,15 10,16 10,21 10,19 10,18	16,35 16,40 16,40 16,35 16,30	3,20 3,28 3,27 3,34 3,32
2	1 2 3 4 5	12,50 12,51 12,53 12,49 12,52	18,95 18,90 18,90 18,85 18,95	18,17 18,15 18,14 18,14 18,18
3	1 2 3 4 5	15,81 15,82 15,79 15,78 15,80	24,15 24,20 24,15 24,10 24,10	52,91 53,11 52,88 53,18 54,00
4	1 2 3 4 5	18,32 18,31 18,30 18,31 18,32	32,10 32,05 32,15 32,10 32,15	6,71 6,72 6,71 6,76 6,74
5	1 2 3 4 5	11,80 11,81 11,80 11,78 11,79	21,15 21,10 21,25 21,20 21,25	5,35 5,42 5,53 5,67 5,31
6	1 2 3 4 5	9,31 9,30 9,32 9,29 9,27	13,15 13,05 13,10 13,05 13,10	6,93 6,92 6,93 6,97 6,96
7	1 2 3 4 5	14,25 14,23 14,21 14,24 14,26	21,00 21,05 21,05 21,00 21,05	30,80 30,92 31,07 31,15 30,77
8	1 2 3 4 5	16,31 16,33 16,35 16,32 16,33	18,35 18,40 18,45 18,40 18,40	29,35 29,28 29,30 29,33 29,29
9	1 2 3 4 5	9,54 9,56 9,52 9,55 9,53	18,05 18,15 18,10 18,15 18,10	10,82 11,121 11,56 10,87 11,30
10	1 2 3 4 5	17,77 17,75 17,72 17,74 17,71	21,95 21,90 21,85 21,90 21,85	45,63 45,69 45,67 45,65 45,64

Число степеней свободы f=n-1	Доверительная вероятность
	0,90	0,95	0,99	0,999
1	6,314	12,706	63,657	636,619
2	2,920	4,303	9,925	31,598
3	2,353	3,182	5,841	12,941
4	2,132	2,776	4,604	8,610
5	2,015	2,571	4,032	6,859
6	1,943	2,447	3,707	5,959
7	1,895	2,365	3,499	5,405
8	1,860	2,306	3,355	5,041
9	1,833	2,262	3,250	4,781
10	1,812	2,228	3,169	4,587
11	1,796	2,201	3,106	4,437
12	1,782	2,179	3,055	4,318
13	1,771	2,160	3,012	4,221
14	1,761	2,145	2,977	4,140
15	1,753	2,131	2,947	4,073
16	1,746	2,120	2,921	4,015
17	1,740	2,110	2,898	3,965
18	1,734	2,101	2,878	3,922
19	1,729	2,093	2,861	3,883
20	1,725	2,086	2,845	3,850
21	1,721	2,080	2,831	3,819
22	1,717	2,074	2,819	3,792
23	1,714	2,069	2,807	3,767
24	1,711	2,064	2,797	3,745
25	1,708	2,060	2,787	3,725
26	1,706	2,056	2,779	3,707
27	1,703	2,052	2,771	3,690
28	1,701	2,048	2,763	3,674
29	1,699	2,045	2,756	3,659
30	1,697	2,042	2,750	3,646
40	1,684	2,021	2,704	3,551
60	1,671	2,000	2,660	3,460
120	1,658	1,980	2,617	3,373
бесконечность	1,645	1,960	2,576	3,291