- •3. Обратная задача теории погрешностей и ее решение методом равных влияний
- •Часть 2 1. Апроксимация – замена одной функции другой, более близкой к исходной и обладающей хорошими свойствами(лёгкость выполнения аналитических данных и вычислительных операций)
- •Interp,
- •Interp.
- •Часть 3.
- •Линеаризация данных по методу наименьших квадратов.
- •4. Кусочно-линейное и кусочно-квадратичное интерполирование
- •Часть 4.
- •3. Квадратурные формулы Ньютона – Котеса
- •4. Квадратурная формула Гаусса
- •5. Метод Монте-Карло
- •Часть 5.
3. Квадратурные формулы Ньютона – Котеса
Запишем квадратурное правило для равноотстоящих узлов:
, (6)
где .
При заданных значениях n коэффициенты принимаю следующие значения:
Замечание: предпочтительно использовать формулы Ньютона – Котеса с малыми значениями n, а для уменьшения погрешности результата отрезок разбивается на достаточно большое число интервалов, и к каждому из них применяют квадратурную формулу с малым числом узлов, затем результаты складывают.
4. Квадратурная формула Гаусса
Пусть функция y=f(x) задана на промежутке [-1,1]. Нужно подобрать узлы квадратурного правила и коэффициенты так, чтобы квадратурная формула
(13)
была точной для всех полиномов f(x) наивысшей степени m=2n-1, т.к. имеем 2m неизвестных , а полином степени 2n-1 определяется 2n коэффициентами. Остаточный член обращается в нуль, когда , где Сi=const, i=0,,m. Тогда
Учитывая соотношение: , получаем систему 2n уравнений относительно : (14)
Система (14) нелинейная, и ее исследование громоздко. Поэтому воспользуемся теоремой:
для того чтобы квадратурная формула (13) интерполяционного типа была точна для всех многочленов степени не выше 2n-1, необходимо и достаточно, чтобы ее узлы xj были корнями многочлена n(x), ортогонального на [-1;1] к любому многочлену степени не выше n.
Ортогональную систему многочленов, имеющих n различных действительных корней на [-1;1], образуют многочлены Лежандра
(15)
Итак, в квадратурной формуле с n узлами, имеющей наивысшую степень точности 2n-1, узлы xj, j=1,...,n являются корнями многочлена Лежандра n-й степени, а из системы (14), зная xj, легко найдем Аj.
Для произвольного интервала [a,b] сделаем замену . В этом случае формула Гаусса примет вид
.
5. Метод Монте-Карло
Методы решения задач, использующие случайные величины, называются методами Монте-Карло.
Пусть методом Монте-Карло требуется вычислить m-кратный интеграл
, (17)
где функция f(x1,...,xm) задана в ограниченной замкнутой области S, а эта область заключена в m-мерном параллелепипеде . Для преобразованияm-мерного параллелепипеда в m-мерный единичный куб сделаем замену переменных следующего вида: , при этом 0j1. Якобиан этого преобразования
Тогда интеграл (17) перепишется в виде
, (18)
где , – новая область интегрирования, лежащая внутри m-мерного единичного куба.
Выберем m равномерно распределенных на [0,1] последовательностей случайных чисел ;, . Точкиможно рассматривать как случайные точки изm-мерного единичного куба. Будем считать, что n случайных точек принадлежат области , а (N – n) точек не принадлежат ей.
Если взять достаточно большое число n точек из области , то приближенно можно считать
, (19)
тогда выражение (18) можно переписать в виде
, (20)
здесь – объем области интегрирования. Если вычисление объема затруднительно, то можно считать, что , тогда
.
Часть 5.
1. Необходимое условие экстремума
Это условие совершенно аналогично необходимому условию экстремума функции одной или нескольких переменных. Допустим, что некоторая функция реализует локальный максимум или минимум функционала I{у} в выбранном функциональном пространстве (R), причем этот функционал имеет вариацию , т. е. допускает вблизи линеаризацию. Кроме того, будем считать, что рассматривается внутренний (не граничный) экстремум, т.е. функционал I{у} определен для всех у, достаточно близких к в смысле выбранной нормы; это будет предполагаться всюду далее, если не оговорено противоположное.
Тогда для любой должно быть
. (18)
В самом деле, пусть для определенности при функционалI имеет минимум и >0 для некоторой. Подставим в (12) kδy вместо δу, где k - скаляр: получим
Однако при малых |k| левая часть должна быть положительной, а правая имеет знак k, т.е. может быть как больше нуля, так и меньше нуля. Полученное противоречие и доказывает необходимость условия (18).
Как видно из описания постановок задач вариационного исчисления в конкретных задачах часто рассматривается экстремум функционала не среди всех функций, составляющих определенное функциональное пространство, а только среди функций, удовлетворяющих некоторым добавочным линейным неоднородным условиям, например
. (19)
В этом случае условие (18) должно выполняться для любой вариации δу, удовлетворяющей соответствующим однородным условиям, т.е. для условий (19)
, .
В самом деле, для таких δу функция y+kδy также удовлетворяет условиям (19), а потому можно повторить то же доказательство, что было приведено выше для (18).
Линейные неоднородные условия определяют в пространстве (R) гиперплоскость (речь идет о гиперплоскостях в бесконечномерном функциональном пространстве). Если ставится задача об экстремуме функционала на некотором криволинейном многообразии (S) пространства (R), то, проводя линеаризацию в точке экстремума, получим, что условие (18) должно выполняться для любой y, принадлежащей касательной гиперплоскости к (S), проведенной в точке экстремума.
Уравнение Эйлера
Во многих задачах удается, пользуясь необходимым условием экстремума, найти искомое решение у(x). Однако форма (18) этого условия не совсем удобна, так как она включает в себя произвольную функцию δу. Поэтому необходимое условие преобразуют к другой, равносильной форме, содержащей только искомое решение. Такое преобразование различно для разных классов функционалов, и дальнейшее содержание в основном посвящено рассмотрению этих классов. Необходимое условие, получающееся для решения, обычно состоит из двух частей: из уравнения Эйлера (обычно дифференциального), которому решение должно удовлетворять внутри области своего определения, и из добавочных граничных условий, которые могут быть частично заданы заранее, а частично – выведены из условия (18).