Interp,

где - массивы, описанные ранее. Результатом является значение интерполирующей функции, соответствующее точке (,у₀).

Можно сделать то же самое, вычисляя:

Interp.

Обычно двумерную сплайн-интерполяцию используют для повышения качества построения 3D-графиков. Она позволяет существенно повысить представительность сложных графиков функций, в том числе и контурных.

Часть 3.

1. В инженерной практике часто используют совокупности точек, абсциссы которых различны, полученные в результате экспериментов. Назначение численных методов заключается в определении зависимости, которая связывает данный набор точек. Другими словами, в этом случае численные методы определяют класс допустимых формул, коэффициенты которых должны быть определены. Существует множество различных типов функций, которыми можно воспользоваться. Рассмотрим класс линейных функций вида: . Все рассмотренные до этого методы позволяли получить полиномы, достаточно хорошо аппроксимирующие или интерполирующие данные при условии, что эти данные достаточно точны, т.е. точки получены, по крайней мере, с пятью знаками точности. Однако часто в измерениях экспериментальная ошибка достаточно велика, т.е. истинное значение удовлетворяет равенству, где– ошибка измерения.

Для того чтобы определить, насколько далеко от данных лежит кривая , можно воспользоваться следующими нормами:

–максимальная ошибка,

–средняя ошибка,

–среднеквадратичная ошибка.

2. Метод наименьших квадратов применяется для решения следующих задач:

1. Необходимо определить величины х₁, х₂,…, х_N, которые нельзя определить непосредственно, но известно, что они линейно зависимы, а коэффициенты этой зависимости можно получить в результате измерений. Таким образом, мы имеем переопределенную систему линейных алгебраических уравнений. Решение этой системы может быть получено решением задачи минимизации. Выполняя дифференцирование минимизируемой функции , приходим к линейной системе, которая будет иметьN уравнений и N неизвестных.

2. Требуется дать приближенное аналитическое описание по таблично заданным данным. Из каких-либо соображений подбирается аппроксимирующая функция, а параметры этой функции подбираются так, чтобы сумма квадратов отклонений вычисляемых значений аппроксимирующей функции от заданных была минимальной.

Линеаризация данных по методу наименьших квадратов.

Техника линеаризации данных применяется для подгонки кривых, позволяющих при преобразовании переменных получить линейную зависимость вида . В таблице приведены основные приемы линеаризации.

Пусть заданы N точек с различными абсциссами {x_k}. Величина среднеквадратичной ошибки будет минимальной, когда каждая частная производная по неизвестным (в данном случае неизвестныеА и В) будет обращаться в нуль, т.е. А и В являются решением нормальной системы уравнений вида:

Решая систему нормальных уравнений находим искомые коэффициенты А и В.

3. Аппроксимация – это замена одной функции другой близкой к исходной и обладающей "хорошими" свойствами, позволяющими легко производить над ней те или иные аналитические или вычислительные операции. Пусть на отрезке [a, b] задана одномерная сетка

_x = {x_i  / x_i = x_i – 1 + h_i, h_i > 0, i = 1, 2, 3, …, n; x₀ = a, x_n = b},

в узлах x_i которой заданы значения y_i = f(x_i), i = 0, 1, 2, …, n – соответствующие значения функции f(x).

Пусть также для аппроксимации табличных данных выбран некоторый класс функций  (х, c₀, c₁, c₂, …, c_m), m < n, где c₀, c₁, c₂, …, c_m – неопределенные коэффициенты, выбор значений которых позволяет определить конкретную функцию из выбранного класса. Требуется найти значения коэффициентов c₀, c₁, c₂,…, c_m, для которых выполнено условие

 (х_i, c₀, c₁, c₂, …, c_m))²  min.