Osnovanija_geometrii_OZO

Тема: Основания геометрии

§1. Краткие исторические сведения

1.1. Геометрия до Евклида

Возникновение и развитие геометрических представлений обычно относят к древневосточным цивилизациям – Египет, Вавилон, Индия, Китай в связи с развитием земледелия. Говорить о геометрии как науке на этой стадии нельзя – это была эпоха предварительного накопления геометрических сведений.

Во II тысячелетии до н.э. египтяне умели точно вычислять площадь треугольника и объем четырехугольной усеченной пирамиды. Площадь круга радиуса R вычисляли по формуле: S = (16/9 R)2, что дает для достаточно точное значение ((16/9)2 = 3,16049...)

ВВавилоне во II тыс. до н.э. была известна т.наз. Т. Пифагора.

Вматематике Древнего Востока нет доказательств, только правила: "Делай так-то".

ВVII в. до н.э. благодаря торговле геометрические знания достигли Греции. Исследователями древней Греции были впервые сформулированы основные положения науки

озаконах правильного мышления. Развитие этих идей привело к мысли соединить все знания о пространстве в такую систему, в которой подавляющее число найденных закономерностей получалось бы путем логических выводов из небольшого числа ранее уста-

новленных истин. Так возникла наука, получившая у греков название геометрия: – земля, – измеряю ("землемерие").

В развитии геометрии в Греции можно выделить три периода:

1.(VII – VI в. до н. э.) Основателем и представителем ("отцом" греческой математики) является Фалес Милетский (640–548 гг. до н.э.). Ему приписывают доказательства следующих теорем:

– угол, вписанный в полуокружность, прямой.

– вертикальные углы равны.

– углы при основании равнобедренного треугольника равны между собой. и др.

Это достижение греческих математиков имело важнейшее значение в развитии геометрии, т. к. общее доказательство охватывало все возможные частные случаи. Постепенно выделялись немногие первоначальные предложения, которые получены из опыта

идолжны быть положены в основу геометрии без логического доказательства. Было заложено начало созданию дедуктивного, или аксиоматического метода изложения геометрии.

2.(VI – V в. до н. э.) – Пифагор и его школа. Пифагору предписывают доказательство следующих предложений:

– сумма внутренних углов треугольника равна двум прямым углам;

– плоскость можно покрыть правильными треугольниками, четырехугольниками и шестиугольниками;

– известная теорема Пифагора;

– открытие геометрического способа решения квадратных уравнений;

– открытие пяти типов правильных многогранников;

– существование несоизмеримых отрезков (считается самым важным открытием школы Пифагора. До этого считалось, что отношение двух любых отрезков может быть выражено рациональным числом).

1

3. (IV в. до н. э.) Философские школы в Афинах Платона и Аристотеля. С этими школами связывают два основных достижения:

–выработку принципов научного построения геометрической системы, расчленение

еепредложений на аксиомы, теоремы и определения;

–разработку определенных методов и форм доказательства: анализ, синтез, доказательство от противного, дедукция (из общих истин получаем частные выводы).

Таким образом, до III в. до н. э. геометрия в Греции накопила обильный фактический материал, назрела необходимость в его систематизации. Эта задача наиболее полное и совершенное разрешение получила в созданных Евклидом "Началах". Начался новый период развития геометрии.

Можно также отметить следующих исследователей:

Демокрит (470–370 гг. до н.э.) открыл теоремы об объемах пирамиды и конуса. Евдокс (~410–356 гг до н.э.) – создатель геометрической теории пропорций, заме-

нявшей грекам теорию иррациональных чисел. Он же нашел способ нахождения объема пирамиды, конуса и шара.

Менехм (~380–320 гг до н.э.) – ученик Евдокса. Открыл конические сечения, которые затем обстоятельно изучил Аполлоний. Кроме того, Менехм опубликовал два способа решения классической задачи об удвоении куба: пересечением двух парабол или пересечением параболы и гиперболы.

Архимед (287–212 до н.э.) – открытие правил для вычисления площади поверхности

шара и некоторых других фигур, объемов ряда тел. Он нашел приближение для числа ( 22/7 = 3,1429...), все полуправильные многогранники (они сейчас носят его имя - архимедовы тела), значительно развил учение о конических сечениях и многое другое.

1.2. "Начала" Евклида

Попытки греческих ученых построить систему геометрии начались ~ в V столетии до н.э., но наибольшее влияние на всё последующее развитие геометрии оказала система геометрии, изложенная в работе греческого ученого Евклида.

Евклид (330-275 гг. до н. э.) – ученик школы Платона, при царе Птолемее I преподавал математику в Александрии – столице Древнего Египта. Из работ, написанных Евклидом, главным произведением являются "Начала".

Эта книга намного превосходила более поздние труды математиков, она сыграла огромную роль в истории математики. Достаточно сказать, что она была переведена на все языки мира и выдержала около 500 изданий, в течение почти 2000 лет (до середины XIX века) все математики учились по "Началам" Евклида.

"Начала" состоят из 13 книг:

I – VI посвящены планиметрии;

(В книгах I, III, IV даны свойства треугольников, теория параллельных прямых, теорема Пифагора, свойства окружностей, вписанных и описанных многоугольников. Во II книге в геометрической форме даны основные геометрические тождества. В V изложена теория отношений по Евдоксу, VI – теория подобия фигур.)

VII – IX – арифметике в геометрическом изложении; Х – несоизмеримым величинам;

XI–XIII – стереометрии (XIII посвящена правильным многогранникам).

Многое из того, что уже было известно, не изложено в "Началах", например, теории конических сечений и кривых высших порядков в "Началах" не были представлены.

2

Каждой из 13 книг "Начал" предпосылаются основные предложения, необходимые для вывода всех предложений рассматриваемой книги. Эти предложения делятся на 3 категории:

–определения тех понятий, которыми приходится оперировать в этой книге,

–аксиомы и

–постулаты,

вкоторых устанавливаются соотношения, связывающие основные понятия геометрии и принимаемые без доказательств.

Примеры определений из "Начал" (книга I):

1.Точка есть то, что не имеет частей.

2.Линия есть длина без ширины.

3.Границы линии суть точки.

4.Прямая линия есть та, которая равно расположена по отношению к точкам на ней.

5.Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину.

6.Плоский угол есть взаимное наклонение двух встречающихся линий, расположенных в одной плоскости.

7.Параллельные суть прямые, которые, находясь в одной плоскости и будучи продолжены в обе стороны неограниченно, ни с той, ни с другой стороны между собой не встречаются.

Примеры постулатов

Постулаты (postulatum – требование, допущение) содержат в себе допущение. Допустим:

1.От всякой точки до другой точки можно было провести прямую линию.

2.Ограниченную прямую можно продолжать неограниченно.

3.Из каждой точки, как из центра, можно было произвольным радиусом описать окружность.

Требуется:

4.Чтобы все прямые углы были равны друг другу.

5.(V постулат) И чтобы всякий раз, когда прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними внутренние односторонние углы, сумма которых меньше 2-х прямых, эти прямые пересекались с той стороны, с которой эта сумма меньше 2-х прямых.

Примеры аксиом

1.Равные порознь третьему равны между собой.

2.И если к равным прибавим равные, то получим равные.

...

5.И если удвоим равные, то получим равные.

6.И половины равных равны между собой.

7.И сомещающиеся равны.

8.И целое больше части.

9.И две прямые не могут заключить пространства.

Вслед за аксиоматиками Евклид излагает теоремы геометрии, располагая их в порядке логической зависимости так, чтобы каждое предложение можно было доказать на основании предыдущих предложений, постулатов и аксиом.

3

В этих исследованиях особое место занимают исследования, связанные с V постулатом Евклида. Большинство работ по основаниям геометрии ставило своей задачей доказать его. За этот период было предложено множество различных доказательств V, но все они были ошибочны, так как авторы обычно опирались на какое-нибудь геометрическое утверждение, которое было наглядно очевидно, но являлось аналогом V.

V постулат: Требуется, чтобы всякий раз, когда прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними внутренние односторонние углы, сумма которых меньше 2-х прямых, эти прямые пересекались с той стороны, с которой эта сумма меньше 2-х прямых.

Опред. Два предложения А и В эквивалентны относительно системы аксиом , если

( + А => B) ( + B => A)

Некоторые эквиваленты V постулата

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной (постулат Плейфера).

Существует прямоугольник (хотя бы один), то есть четырёхугольник, у которого все углы прямые.

Через две параллельные прямые при пересечении их третьей прямой, образуют равные соответственные или внутренние накрест лежащие углы.

Существуют подобные, но не равные треугольники (аксиома Валлиса, 1693). И здесь достаточно, чтобы существовала хотя бы одна пара таких треугольников.

Любую фигуру можно пропорционально увеличить.

Существует треугольник сколь угодно большой площади.

Прямая, проходящая через точку внутри угла, пересекает по крайней мере одну его сторону (аксиома Иоганна Фридриха Лоренца, 1791).

Через каждую точку внутри острого угла всегда можно провести прямую, пересекающую обе его стороны (одно из предположений Лежандра, 1800).

Если две прямые в одну сторону расходятся, то в другую – сближаются.

Сближающиеся прямые рано или поздно пересекутся.

oВариант: перпендикуляр и наклонная к одной и той же прямой непременно пересекаются. Утверждение известно как постулат Лежандра, хотя это формулировка встречалась ещё в XIII веке у ат-Туси.

Точки, равноудалённые от данной прямой (по одну её сторону), образуют прямую,

Если две прямые начали сближаться, то невозможно, чтобы они затем начали (в ту же сторону, без пересечения) расходиться (принцип Омара Хайями, аксиома Робер-

та Симсона, 1756).

Сумма углов одинакова у всех треугольников.

Существует треугольник, сумма углов которого равна двум прямым.

Две прямые, параллельные третьей, параллельны и друг другу (аксиома Остроград-

ского, 1855).

5

Прямая, пересекающая одну из параллельных прямых, непременно пересечёт и другую.

Через любые три точки можно провести либо прямую, либо окружность.

oВариант: для всякого невырожденного треугольника существует описанная ок-

ружность (аксиома Фаркаша Бойяи).

Справедлива теорема Пифагора.

Попытки доказать V постулата

1) Прокл Диадох византийский (Πρόκλοςό Διάδοχος, 410–485 г.г.)

Его доказательство опирается на утверждении, что "расстояние между параллельными – ограниченная величина", являющемся эквивалентом V. Это утверждение называют "допущением Прокла"

2) Омар Хайям (персидский, таджикский, 1048–1123)

Всемирно известный классик персидско-таджикской поэзии, учёный, математик, астроном, поэт и философ. Полное имя - Гияс ад-Дин Абуль Фатх Омар ибн Ибрахим Хайям Нишапури

1077 г – книга «Комментарии к трудным постулатам книги Евклида» Принцип О.Х.: две сходящиеся прямые пересекаются и невозможно, чтобы две схо-

дящиеся прямые расходились в направлении схождения.

3)Джон Валлис (Уоллис) (Wallis John, 1616-1703), английский математик

1693 г

Использовал допущение: для любой фигуры F существует фигура F', подобная F, величина F' произвольная

4)Джованни Джилорамо Саккери (итальянский математик, 1667–1733)

1733 – «Евклид, очищенный от всех пятен, или же геометрическая попытка установить самые первые начала всей геометрии». Идея Саккери состояла в том, чтобы заменить V постулат противоположным утверждением, вывести из новой системы аксиом как можно больше следствий, тем самым построив «ложную геометрию», и найти в этой геометрии противоречия или заведомо неприемлемые положения. Тогда справедливость V постулата будет доказана от противного.

В основе его рассуждений лежит четырехугольник с двумя прямыми углами при основании и равными боковыми сторонами. Саккери пытался доказать, что если у оставшихся двух углов один прямой, а второй – – больше или меньше прямого угла, то придем к противоречию

Гипотезу тупого угла он отверг сразу по формальным соображениям. Легко показать, что в этом случае вообще все прямые пересекаются, а тогда можно заключить, что V постулат Евклида справедлив – ведь он как раз и утверждает, что при некоторых усло-

6

виях прямые пересекаются. Отсюда делается вывод, что «гипотеза тупого угла всегда целиком ложна, так как она сама себя разрушает».

«Гипотеза острого угла»: он допускает, что она верна, и, одно за другим, доказывает целый ряд следствий. Многие теоремы, доказанные Саккери, выглядят интуитивно неприемлемыми, но он продолжает цепочку теорем. Наконец, Саккери доказывает, что в «ложной геометрии» любые две прямые или пересекаются, или имеют общий перпендикуляр, по обе стороны от которого они удаляются друг от друга, или же удаляются друг от друга с одной стороны и неограниченно сближаются с другой. В этом месте Саккери делает неожиданный вывод: «гипотеза острого угла совершенно ложна, так как противоречит природе прямой линии».

Однако, он продолжает исследование – рассматривает эквидистанту — геометрическое место точек плоскости, равноотстоящих от прямой; в отличие от своих предшественников, Саккери понимает, что в рассматриваемом случае это вовсе не прямая. Однако, вычисляя длину её дуги, Саккери допускает ошибку и приходит к реальному противоречию, после чего заканчивает исследование и с облегчением заявляет, что он «вырвал эту зловредную гипотезу с корнем». К сожалению, пионерская работа Саккери, изданная посмертно, не обратила на себя того внимания математиков, которого заслуживала, и только спустя 150 лет (1889) его соотечественник Бельтрами обнаружил его труд и оценил его историческое значение.

В своих исследованиях Саккери получил утверждения, похожие на теоремы геометрии Лобачевского

5) Иоганн Генрих Ламберт (1728 – 1777), немецкий математик, астроном, физик и философ, член АН в Мюнхене (1771) и Берлине (1765). По происхождению француз

"Теория параллельных линий" – 1786 г. (издана посмертно)

1766 – "четырехугольник Ламберта" (четырёхугольник, в котором при трёх вершинах прямые углы)

Четырёхугольник Ламберта

Из трёх возможных предположений о величине четвёртого угла: либо угол прямой, либо угол тупой, либо угол острый; первая гипотеза является утверждением, эквивалентным постулату Евклида о параллельных; вторая приводит к противоречию с другими аксиомами и постулатами Евклида. Относительно третьей гипотезы Ламберт сделал предположение, что она выполняется на некоторой мнимой сфере.

Увидел, что во всех существующих доказательствах V используется либо доказываемое утверждение, либо равносильный ему постулат. Среди геометров 18 века Ламберт ближе всех подошел к решению проблемы V постулата.

7

Ламберт первым обнаружил, что «геометрия тупого угла» реализуется на сфере, если под прямыми понимать большие круги. Он, как и Саккери, вывел из «гипотезы острого угла» множество следствий, причём продвинулся гораздо дальше Саккери; в частности, он обнаружил, что дополнение суммы углов треугольника до 180° пропорционально площади треугольника.

Ламберт не нашёл противоречия в гипотезе острого угла и пришёл к заключению, что все попытки доказать V постулат безнадёжны. Он не высказал каких-либо сомнений в ложности «геометрии острого угла», однако, судя по другому его проницательному замечанию, Ламберт размышлял о возможной физической реальности неевклидовой геометрии и о последствиях этого для науки:

6) Адриен Мари Лежандр (1752-1833) – французский математик и педагог

Несколько раз доказывал V постулат, каждый раз он обнаруживал ошибку в опубликованном доказательстве (неявное использование утверждения, эквивалентного V постулату)

Связь между рассуждениями Лежандра и рассуждениями Саккери и Ламберта: три допущения Лежандра о возможных значениях суммы углов треугольника соответствует гипотезум тупого, прямого и острого угла Саккери.

7) Фаркаш Бойяи (Bolyai, 1775-1856, венгерский математик), Янош Бойяи (Bolyai János, 1802-1860), сын Фаркаша Бойяи

Фаркаш Бойяи затратил много времени на попытки доказать пятый постулат Евклида, но не пришел ни к каким определенным выводам. Он исходил из предположения, что около любого треугольника можно описать окружность.

Работу отца, несмотря на настоятельные рекомендации отца, продолжил сын Янош Бойяи (Bolyai János, 1802-1860) – один из творцов неевклидовой геометрии

8

В 1832 году отец публикует своё сочинение «Тентамен» («Опыт»), а в приложении к нему — работу сына, вошедшую в историю математики под именем Appendix (приложение).

Полное название труда Яноша Бойяи: «Приложение, содержащее науку о про-

странстве, абсолютно истинную, не зависящую от истинности или ложности XI аксиомы Евклида (что a priori никогда решено быть не может)»

Изложение «Аппендикса» отличается крайней сжатостью и схематичностью, но по продуманности каждого слова и обозначения «Аппендикс» принадлежит к числу наиболее совершенных произведений математической литературы. Открытия Бойяи при его жизни признания не получили, что тяжело отразилось на психике.

§2. Общие вопросы аксиоматики

2.1. Аксиоматическая теория. Модель

Основным методом в современной математике является аксиоматический метод. Его суть:

1. Перечисляются основные понятия. (основные объекты: t1, t2, …, tn; основные отношения: 1, 2, …, k).

2. Формулируются аксиомы, в которых сообщаются некоторые свойства основных понятий, необходимые для построения теории.

Совокупность Т = {t1, …, tn; 1 … k; A1, …, Am} называется аксиоматической тео-

рией (АТ).

3.Все понятия, не являющиеся основными, определяются через ранее введенные основные понятия.

4.Все предложения, не являющиеся аксиомами, доказываются на основе аксиом, определений и ранее доказанных предложений.

Понятие модели аксиоматической теории

Всякий конкретный набор предметов, которым приписывается роль объектов данной системы аксиом (множества, играющие роль основных объектов, и отношения), на-

зывают реализацией или интерпретацией этих аксиом.

Множество объектов, реализующих данную систему аксиом, называют моделью той логической схемы, которая определена аксиомами.

Если построена модель теории Т, то говорят, что построена интерпретация системы аксиом: Т = {А1, А2, ..., Аm}

Допустим, что аксиомы данной системы реализованы на двух различных множествах объектов. Две реализации данной системы аксиом наз. изоморфными, если между объектами этих реализаций можно установить такое взаимнооднозначное соответствие, что соответствующие объекты находятся в одинаковых взаимных отношениях.

Так, если точка А и прямая а первой реализации соответствуют точке A' и прямой a' второй реализации и если A a, то A' a'. Если отрезки АВ и CD первой реализации соответствуют отрезкам A'B' и C'D' второй и если AB СD, то A'B' C'D' и т.п. При этом

9

отношения "принадлежать", "между", "конгруэнтны" для каждой реализации понимаются в соответствующем конкретном смысле.

Любая аксиоматическая теория должна отвечать определенным требованиям.

2.2. Основные требования к системе аксиом

–непротиворечивость – свойство АТ, состоящее в том, что в этой теории нельзя получить противоречие, т.е. доказать некоторое предложение и вместе с тем его отрицание (внутренняя непротиворечивость)

Проблемами внутренней непротиворечивости СА занимается математическая логи-

ка.

Опред. Система аксиом называется содержательно (внешне) непротиворечивой, ес-

ли существует модель этой системы.

–независимость

Опред. Аксиома называется независимой от остальных аксиом АТ, если она не может быть выведена из них в этой АТ.

Опред. Система аксиом ( Т = {А1, А2, ..., Аm}) называется независимой, если каждая входящая в неё аксиома не зависит от остальных.

Теорема 1. Пусть Т – непротиворечивая система аксиом. Аксиома А1 не зависит от остальных, если непротиворечива система Т' = { А1, А2, ..., Аm}.

Доказательство

Допустим, А1 зависит от остальных аксиом (А2, …, Аm). Тогда её можно доказать, опираясь на систему аксиом Т' = { А1, А2, ..., Аm} и следствий из неё, таким образом получим, что теория содержит два взаимно исключающих предложения А1 и А1, что противоречит условию о непротиворечивости Т'.

– полнота Опред. Система аксиом называется полной, если не существует такого предложения

А, которое удовлетворяло бы двум условиям одновременно:

1)А не зависит от данной СА ( Т)

2)( ТА) – непротиворечива, где ТА = {А, А1, А2, ..., Аm}

Теорема 2. Система аксиом аксиоматической теории Т полна, если любые две её модели изоморфны.

Доказательство

Пусть существует предложение А, которое:

–не зависит от А1, А2, ..., Аm,

–СА ТА = {А, А1, А2, ..., Аm} непротиворечива.

Тогда существует модель системы ТА, причем она является моделью теории Т и, кроме того, содержит предложение А.

Рассмотрим систему аксиом Т А = { А, А1, А2, ..., Аm}. Она непротиворечива, так как А не зависит от А1, ..., Аm, т.е. это предложение не может быть получено, как теорема. Поэтому существует модель системы Т А, причем она является моделью аксиоматической теории Т и, кроме того, содержит утверждение А.

10