Osnovanija_geometrii_OZO

Пусть f (x) – длина перпендикуляра MN – непрерывная функция. Пусть (х) = s – x – непрерывная

Так как f (0) < (0), а f (s) > (s), то х0 (0; s): f (x0) = (х0)

Пусть М0 – точка отрезка АР, соответствующая х0. Так как (х0) = | РМ0 |,

то (М0, а) = (М0, b).

M0N0 b. РМ0N0 – равнобедренный. Проведем с – биссектрису угла РМ0N0 – ось симметрии прямых a и b. 

Теорема 5. Если прямая b параллельна прямой a в данном направлении, то прямая а параллельна прямой b в том же направлении.

Доказательство (УИРС)

Теорема 6. Если прямые а и b параллельны с в данном направлении, то они параллельны между собой в том же направлении.

5.2.3. Расходящиеся прямые

Определение. Две прямые называются расходящимися, если они не пересекаются и не параллельны.

Через каждую точку вне данной прямой проходят две прямые, параллельные ей, и бесконечно много прямых, расходящихся с ней. Все они лежат внутри одной из пар углов, образованных параллельными прямыми.

Теорема 7. Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, расходятся Доказательство (УИРС)

Пусть а с, b c. Они не пересекаются (из теорем абсолютной геометрии)

Сдругой стороны, если а || b, то угол параллельности, который прямая а составляет

сперпендикуляром с, был бы равен /2, что противоречит теореме 2 п. 6.2.1. 

Теорема 8. Две прямые, которые при пересечении с третьей образуют равные накрест лежащие или соответственные углы, расходятся.

31

Теорема 9. Всякие две расходящиеся прямые имеют единственный общий перпендикуляр, по обе стороны от которого они неограниченно удаляются одна от другой.

Теорема 10. Две параллельные прямые асимптотически сближаются в сторону параллельности и неограниченно удаляются друг от друга в противоположном направлении

5.2.4. Угол параллельности

Пусть прямые а и b параллельны в некотором направлении и пусть А – произвольная точка прямой b.

Теорема 1. Угол параллельности в точке А по отношению к прямой а зависит только от расстояния от точки А до прямой а

Доказательство

Обозначим (А, а) = s. Так как величина угла параллельности в т.А относительно а определяется только значением s, то она является функцией от s: П(s)

32

В геометрии Лобачевского эта функция играет важную роль. Она называется функ-

цией Лобачевского

Свойства функции Лобачевского

1.П(s) определена на промежутке (0; + )

2.Значения П(s) заключены в промежутке (0; /2)

3.(Теорема 2) Функция Лобачевского является монотонно убывающей функцией Доказательство

Теорема 3. Функция Лобачевского принимает все значения из промежутка (0; /2).

Следствие. Функция П(s) непрерывна на промежутке (0; + ), при s 0 П(s) /2 и

при s + П(s) 0.

Доказательство

Непрерывность функции П(s) следует из того, что она монотонна и принимает все значения из промежутка (0; /2), предельные соотношения следуют из непрерывности функции П(s).

Замечание. На плоскости Лобачевского возможно расположение трех прямых, не имеющее аналогии на евклидовой плоскости.

Пусть прямые a и b параллельны влево. Они имеют ось симметрии s. На прямой s возьмем произвольную точку А и проведем луч d, параллельный прямой b вправо. Правее точки А на прямой s существует такая точка В, что проведенный в ней перпендикуляр ВС параллелен лучу d. Прямая ВС параллельна прямой b. Так как прямые а и b симметричны прямой s, то прямые ВС и а тоже параллельны. Таким образом, прямые а и b параллельны в одном направлении, прямые b и ВС – в другом, а прямые а и ВС – в третьем.

Фигуру, образованную прямыми а, b и BC называют вырожденным треугольником

или треугольником с бесконечно удаленными вершинами.

5.3. Эквидистанта и орицикл

5.3.1. Эквидистанта

В геометрии Евклида известен факт – ГМТ, равноудаленных от данной прямой а и лежащих по одну сторону от этой прямой, есть прямая.

33

В п.1.4. было показано, что данное утверждение является эквивалентом V постулата, следовательно, на плоскости Лобачевского это утверждение неверно. Определим соответствующее ГМТ на плоскости Лобачевского и рассмотрим его свойства.

Пусть а – некоторая прямая.

Опред. Множество точек, расположенных по одну сторону от прямой а и удаленных от неё на данное расстояние, называется эквидистантой (гиперциклом).

Прямая а – база эквидистанты, перпендикуляр, опущенный из точки эквидистанты на базу (и его длина), называется высотой эквидистанты.

Теорема 1. Никакие три точки эквидистанты не лежат на одной прямой Доказательство Пусть точки А, В, С эквидистанты принадлежат одной прямой.

аплоскости Лобачевского 

А1 В1 С1

Следствие. Любая прямая, лежащая в плоскости эквидистанты, пересекается с эквидистантой не более, чем в двух точках.

Теорема 2. Все точки эквидистанты лежат по одну сторону от прямой t, проведенной через любую точку А эквидистанты перпендикулярно к её высоте АА' (по ту же сторону, что и база а). Эта прямая является касательной к эквидистанте.

Доказательство

Теорема 3. Для того, чтобы две эквидистанты были равны, необходимо и достаточно, чтобы они имели равные высоты.

Эквидистанта обладает некоторыми свойствами, общими с прямой и окружностью. Так, прямую можно "двигать по самой себе", то есть если прямую передвинуть так, что какие-либо две её точки А и В совпадут с точками A' и B' той же прямой, то прямая во втором положении совпадет с первоначальной прямой. Аналогично с окружностью, которую можно вращать вокруг её центра, и она будет "скользить сама по себе".

Кривые, обладающие таким свойством, называются кривыми постоянной кривизны. В геометрии Евклида к таким кривым относятся только прямые и окружности. В геометрии Лобачевского этим свойством обладает также эквидистанта. Если основание А1 перпендикуляра АА1 вместе с этим перпендикуляром передвигать по прямой а, то ко-

34

нец А перпендикуляра опишет эквидистанту, при таком движении эквидистанта будет скользить сама по себе, т.е. она имеет постоянную кривизну. Эквидистанты с различной высотой не могут быть совмещены ни одним своим куском, так же как окружности разного радиуса.

Другие свойства эквидистанты:

С эквидистантой связан пучок расходящихся прямых – множество всех прямых, перпендикулярных к базе эквидистанты. Прямые этого пучка называются осями эквидистанты.

1. Эквидистанта симметрична относительно любой своей оси. Доказательство

2°. В каждой точке эквидистанты существует касательная, которая перпендикулярна к оси, проведенной через точку касания.

Хордой эквидистанты называется любой отрезок, соединяющий две точки эквидистанты.

3°. Любая прямая, содержащая хорду эквидистанты, является секущей равного наклона к осям, проходящим через концы хорды.

Доказательство Пусть АВ – хорда данной эквидистанты, а АА' и ВВ' – ее оси, где А' и В' – проекции

точек А и В на базу эквидистанты. По определению эквидистанты отрезки АА' и ВВ' равны, поэтому ABB'А' – четырехугольник Саккери: А'АВ = В'ВА. 

4°. Серединный перпендикуляр к любой хорде эквидистанты является ее осью.

5.3.2. Орицикл

Теорема 4. Каковы бы ни были параллельные прямые а и b, через всякую точку А прямой а проходит единственная секущая равного наклона к этим прямым.

Доказательство

35

Орицикл определяется пучком параллельных прямых и некоторой точкой А на одной из них. Пусть В – точка орицикла , рассмотрим орицикл ', определенный тем же пучком и точкой В. Заданные таким образом орициклы совпадают.

Теорема 5. Никакие три точки орицикла не лежат на одной прямой Доказательство

Допустим, что точки А, В, С орицикла лежат на одной прямой, тогда серединные перпендикуляры к отрезкам АВ и ВС параллельны и имеют общий перпендикуляр, что невозможно 

Свойства орицикла аналогичны свойствам окружности и эквидистанты, но есть еще одно свойство, которого нет у окружности и эквидистанты.

Теорема 6. Все орициклы равны Доказательство

Пусть орициклы и ' определены соответственно точками А и А' и проходящими через них осями а и а'. Тогда по аксиоме подвижности существует движение, совмещающее точки А и A' и положительные направления осей а и а', значит, и орициклы и' 

5.4. Некоторые факты геометрии Лобачевского

1. Каждый угол содержит внутри себя такие точки, через которые нельзя провести прямых, пересекающих обе стороны угла.

Т.е. если прямая, проходящая через такую точку, пересечет одну сторону угла, то она не пересечет другую его сторону.

В самом деле, утверждение, что через любую точку внутри угла всегда можно провести прямую, пересекающую обе стороны угла, является эквивалентом V постулата (Лежандр)

2. Каков бы ни был острый угол, всегда существует такой перпендикуляр к одной стороне этого угла, который не пересекает другую сторону.

3. Каков бы ни был острый угол, всегда существует перпендикуляр к одной его стороне, параллельный другой стороне.

36

4. В геометрии Лобачевского существуют треугольники, около которых нельзя описать окружность.

Утверждение, что около каждого треугольника можно описать окружность, является эквивалентом V постулата Евклида (Фаркаш Бойяи, см. п.1.4.)

Перпендикуляр к хорде эквидистанты, проведенный через её середину и являющийся ГМТ, равноудаленных от вершин хорды, есть прямая, перпендикулярная к базе этой эквидистанты.

5. Около всякого треугольника, вписанного в эквидистанту, нельзя описать окружность.

Пусть АВС вписан в эквидистанту. AA', BB' а (база эквидистанты) AA'B'B – четырехугольник Саккери,

PQ – его ось симметрии (PQ АВ и а)

Однако, эти ГМТ перпендикулярны к базе эквидистанты а, следовательно, расходятся, т.е. не имеют общих точек. Следовательно, около АВС нельзя описать окружность.

Замечание. Треугольники, вписанные в эквидистанты, не исчерпывают всех треугольников, около которых нельзя описать окружность.

6. Все полосы между параллельными прямыми равны между собой, т.е. могут быть наложены друг на друга своими точками.

7. Четырехугольники Саккери с равными верхними основаниями и равными соответственно острыми углами при них конгруэнтны.

Доказательство

Пусть в четырехугольниках Саккери ABDC и A'B'D'C' : CD = C'D' и острые углы при CD и C'D' равны.

Наложим четырехугольник A'B'D'C' на четырехугольник ABDC так, что C'D' совпадет с CD. Тогда прямая C'A' пойдет по CA. D'B' пойдет по DB. Определим расположение точек A' и В'.

37

Допустим, что они лежат "выше" точек А и В (в точках A" и B"), тогда АВ || СD и А"В" || CD, т.е. АВ || А"В". С другой стороны, они имеют общие перпендикуляры АС и BD, следовательно, они расходятся, что невозможно.

8. Два треугольника, имеющие равные дефекты и по равной стороне, равновелики.

9. Площади двух треугольников относятся, как их дефекты. Отношение площади треугольника к его дефекту есть величина постоянная, не зависящая от треугольника.

5.5.Модели геометрии Лобачевского

5.5.1.Модель Кэли-Клейна

Кэли (Cayley) Артур (1821–1895),

английский математик

1849-1863 – адвокат,

Рассматривал эту деятельность как "средство заработать деньги, чтобы заниматься математикой". За это время издал приблизительно 250 математических работ С 1863 профессор Кембриджского университета.

Основные работы: теории алгебр, квадратичных форм. Установил связь между теорией инвариантов и проективной геометрией.

Его исследования легли в основу истолкования геометрии Лобачевского Автор работ по теории определителей, дифференциаль-

ных уравнений, эллиптических функций. Занимался также сферической астрономией и астрофизикой.

Издал более 900 работ и примечаний, покрывающих почти каждый аспект современной математики.

Клейн (Klein) Феликс (1849–1925),

немецкий математик, член-корреспондент Германской АН в Берлине

С 1872 – профессор математики в Эрлангене,

с1875 – в Мюнхенской Высшей технической школе,

с– 1880 в Лейпцигском университете.

В 1886 Клейн переехал в Геттинген Основные работы по направлениям: неевклидова геомет-

рия, теория непрерывных групп, теория алгебраических уравнений, решение уравнений 5-й, 6-й и 7-й степеней, теория эллиптических функций, теория атоморфных функций, теория многогранников, интегрирование дифференциальных уравнений, абелевы функции

38

Описание модели

Модель была построена английским математиком Кэли, но он сам не усмотрел связи определённых им метрик с геометрией Лобачевского хотя и был знаком с его работами. Связь результатов Кэли с геометрией Лобачевского была установлена немецким математиком Феликсом Клейном в 1870 г.

Рассмотрим на евклидовой плоскости некоторую окружность ω с центром О радиуса r = 1, её называют абсолютом.

V

39