2. Точечн. Оценка числ. Хар-к. Осн. Опред-я. Метод моментов.

Точечной наз. оценку, к-рая определяется одним числом.

Оценка генер. дисперсии по исправленной выборочной.

Пусть из генер. совок-ти в рез-те n независ. наблюдений над количественным признаком X извлечена повторная выборка объема n:

знач-я признака х₁х₂ х_к

частоты n₁n₂ n_к

При этом n₁+n₂+ +n_k=n

Требуется по данным выборки оценить неизвестную генеральную дисперсию D_r. Если в кач. оценки генер. дисперсии принять выбоочную дисперсию, то эта оценка будет приводить к систематическим ошибкам, давая заниженное знач-е генер. дисперсии. Объясняется это тем, что, как можно доказать, выборочная дисперсия явл. смещенной оценкой D_r, др. словами, мат.ожидание выборочной дисперсии не равно оцениваемой генер. дисперсии, а равно

M[D_в]=((n-1)/n)D_r

Получим исправленную дисперсию, которую обычно обозначают ч-з s²

см.стр.212

Исправленная дисперсия явл., конечно, несмещенной оценкой генер. дисперсии. Действительно

Итак, в кач. оценки генер. дисперсии принимают исправленную дисперсию

Для оценки же среднего квадратического отклонения генер. совок-ти исп-ют “исправленное” ср. квадратическое отклонение, к-рое равно квадратному корню из исправленной дисперсии:

Подчеркнем, что s не явл. несмещенной оценкой; чтобы отразить этот факт, мы будем писать так: “исправленное” ср. квадратичное отклонение.

Метод моментов.

Метод моментов, предложенный Пирсоном основан на том, что начальные и центральные эмперические моменты являются состоятельными оценками соответственно начальных и центральных теоретических моментов того же порядка. Достоинство метода - сравнительная его простота. Метод моментов точечной оценки неизвестных парам-ров заданного распред-я состоит в приравнивании теоретических моментов рассматриваемого распред-я соответствующим эмпирическим моментам того же порядка.

А.Оценка одного парам-ра: для оценки одного парам-ра достаточно иметь олно ур-е относительно этого парам-ра. Следуя методу моментов, приравняем, напр, начальный теоретический момент перв. порядка к начальному эмпирическому моменту перв. порядка:

стр.227

(1)

МО М(Х), как видно из соотн-ниея

есть ф-я от ,поэтому (1) можно рассм-ть как ур-е с одним неизвестным . Решив это ур-е относительно праметра , тем самым найдем нго точесную оценку ¹, к-рая явл. ф-цией от выборочной ср., => и от вариант выборки:

Б.Оценка 2-х парам-ров: для отыскания 2-х парам-ров необходимы 2 ур-я относительно этих парам-ров

=========================================================

Билет 29. 1.Интервальная оценка числ. хар-к. Доверительный интервал. Осн. опред-я. Точечной наз. оценку, к-рая определяется одним числом. При выборке малого объема точечн. оценка может значительно отличаться от оцениваемого парам-ра, т.е. приводить к грубым ошибкам. По этой причине при небольшом объеме выборки следует пользоваться интервальными оценками.Интервальной наз. оценку, к-рая определяется 2-мя числами - концами интервала. Интервальные оценки позволяют установить точ-ть и надеж-ть оценок.

Пусть найденная по данным выборки статистическая хар-ка служит оценкой неизвестного парам-ра .Будем считать постоянным числом. Если >0 и < , то чем меньше , тем оценка точнее. Таким образом, полож. число хар-ет точ-ть оценки.

Однако статистические методы не позволяют категорически утверждать, что оценка удовлетворяет нер-ву ; можно лишь говорить о в-ти , с к-рой это рав-во осущ-ся.

Надеж-тью (доверительной в-тью) оценки по наз. в-ть , с к-рой осущ-ся нерав-во . Обычно надеж-ть оценки задается наперед, причем в кач. берут число, близкое к ед-це.Наиб. часто задают надеж-ть равную 0.95; 0.99; 0.999.

Пусть в-ть того, что равна :

см.стр213

Заменив нерав-во равносильным ему двойным нерав-вом или имеем

Это соотн-ниее следует понимать так: в-ть того, что интервал заключает в себе неизвестный парам-р , равна .

Доверительным интервалом наз. интервал , к-рый покрывает неизвестный парам-р с заданной надеж-тью . От выборки к выборке будут меняться концы доверительного интервала, т.е. доверительные границы сами являются случайными вел-нами.

2. Система случ. вел-н. Корреляционный момент и коэффициент корреляции, их свойства.

Для описания системы двух случ. вел-н кроме мат.ожиданий и дисперсий составляющих исп-ют и др. хар-ки; к их числу относятся корреляционный момент и коэффициент корреляции. Корреляционным моментом μ_xy случ. вел-н X и Y наз. матем. ожидание произведения отклонений этих вел-н: μ_xy = М{[X-M(X)][Y-M(Y)]}

Для вычисления корреляционного момента дискр. вел-н исп-ют ф-лу

См. стр.176

А для непрер. вел-н – ф-лу

См стр. 176.

Корреляционный момент служит для хар-ки связи между вел-нами X и Y. Корреляционный момент будет равен нулю, если X и Y независимы; =>, если корреляционный момент не равен нулю, то X и Y – зависимые случ. вел-ны.

Теорема 1. Корреляционный момент двух независ. случ. вел-н X и Y равен нулю.Доказательство: т.к. X и Y – независимые случ. вел-ны, то их отклонения X-M(X) и Y-M(Y) также независимы. Пользуясь свойствами мат.ожидания (мат.ожидание произведения независ. случ. вел-н равно произведению мат.ожиданий сомножителей) и отклонения (мат.ожидание отклонения равно 0), получимμ_xy =M{[X-M(X)][Y-M(Y)]}=M[X-M(X)]M[Y-M(Y)]=0

Из опред-я корреляционного момента следует, что он имеет размерность, равную произведению размерностей вел-н X и Y. Такая особ-ность корреляционного момента явл. недостатком этой числовой хар-ки, поскольку сравнение корреляционных моментов различных систем случ. вел-н становится затруднительным. Для того, чтобы устранить этот недостаток, вводят новую числовую хар-ку – коэффициент корреляции.

Коэффициентом корреляции r_ху случ. вел-н X и Y наз. отн-ниее корреляционного момента к произведению средних квадратических отклонений этих вел-н: см. стр. 178

Так как размерность μ_xy равна произведению размерностей вел-н X и Y, σ_х имеет размерность вел-ны Х, σ_у имеет размерность вел-ны У, то r_ху - безразмерная вел-на. Таким образом, вел-на коэффициента корреляции не зависит от выбора единиц измерения случ. вел-н. В этом состоит преимущество коэффициента корреляции перед корреляционным моментом.

Очевидно, коэффициент корреляции независ. случ. вел-н равен 0 (так как μ_xy=0)

Теорема 2.Абсолютная вел-на корреляционного момента двух случ. вел-н X и Y не превышает среднего геометрического их дисперсий: │ μ_xy │≤ √D_хD_у.

Доказательство: Введем в рассмотрение случ. вел-ну Z₁=σ_уX-σ_хY и найдем ее дисперсию D(Z₁)=M[Z₁-m_Z1]². Выполнив выкладки, получим

D(Z₁)=см.стр.178

Любая дисперсия неотрицательна, поэтому см.стр.179

Отсюда μ_xy≤σ_хσ_у (2)

Введя случ. вел-ну Z₂=σ_уX+σ_хY, аналогично найдем μ_xy≥-σ_хσ_у (3)

Объединим (2) и (3): -σ_хσ_у ≤ μ_xy ≤ σ_хσ_у или │ μ_xy│≤ σ_хσ_у (4)

Итак, │ μ_xy │≤ √D_хD_у

Теорема 3:Абсолютная вел-на коэффициента корреляции не превышает единицы:

│ r_ху│≤ 1

Доказательство: Разделим обе части двойного нерав-ва (4) на произведение положительных чисел σ_хσ_у: -1≤ r_ху≤1

Итак, │ r_ху│≤1

==================================================

Билет№25

(1)Теоремы Чебышева и Бернулли.

Теорема Чебышева дает одну из наиб. возм. форм закона больших чисел. Она устанавливает связь между средним арифметическим и ее математическим ожиданием наблюденных знач-й случ. вел-ны.

Y_n=( X₁ + X₂ + …. + X_n) * 1/n = 1/n

M[Yn] = i/n = 1/n *= 1/n * n * m_x = m_x

Мат ожидание среднего не зависит от n

Теорема Чебышева устанавливает в точной количественной форме это свойство устойчивости среднего арифметического.

Теорема Чебышева: При достаточно большом числе независ. опытов ср. арифметическое наблюденных знач-й случ. вел-ны сходится по в-ти n т ее математическому ожиданию.В математической форме это означает следующее:

близко к 0

, где исколь угодно положительные числаи .

Теорема Бернулли: При неограниченном увеличении числа опытов n, частота соб-я a сходится по в-ти к его в-ти P

- (в-ть). m-произошло соб-е. n-число опытов.

Теор. Бернулли: если в кажд. из n независ. исп-й вер-ть р появл-я соб-я А постоянна, то как угодно близка к ед-це вер-ть того, что отклонение отн-ной частоты от вер-ти р по абсолютной вел-не будет сколь угодно малым, если число исп-й достаточно велико. Др. словами, если ___сколь угодно малое положит. Число. То при соблюдении условий теоремы имеет место рав-во

2.Проверка гипотез, ошибки 1-го и 2-го рода. Мощ-ть критерия.

Часто необх-мо знать закон распред-я генер. совок-ти. Если закон распред-я неиз-вестен, но имеются основания предположить, что он имеет опред. вид (назовем его А), выдвигают г-зу: ген.совок-ть распределена по закону А. Таким образом, в этой г-зе речь идет о виде предполагаемого распред-я.Возможен случай, когда закон распред-я известен, а его парам-ры неизвестны. Если есть основания предположить, что неизвестный парам-р @ равен опред.му знач-ю @₀, то выдвигают г-зу: @=@₀. Таким образом, в этой г-зе речь идет о предполагаемой вел-не парам-ра одного известного распред-я.Стат. наз. г-зу о виде неизвестного распред-я, или о парам-рах известных распред-й. Нулев. (основной) наз. выдвинутую г-зу Н₀. Конкурирующей (альтернативной) – г-зу Н₁, к-рая прот-чит нулев.. Простая - содержащая только одно предположение. Сложная – состоит из конечного или бесконечного числа простых гипотез.Критич. обл-тью наз. совок-ть знач-й критерия, при к-рых нулевую г-зу отвергают. Обл-тью принятия г-зы (обл-тью допустимых знач-й) наз. совок-ть знач-й критерия, при к-рых г-зу принимают. Основной принцип проверки стат. гипотез можно сформулировать так: если наблюдаемое знач-е критерия принад-лежит критич. обл-ти – г-зу отвергают, если наблюдаемое знач-е критерия принад-лежит обл-ти принятия г-зы – г-зу принимают.Стат. критерием наз. случ. вел-ну К, к-рая служит для проверки нулев. г-зы. Напр, если проверяют г-зу о рав-ве диспер-сий двух норм. ген.совок-тей, то в кач. критерия К принимают отн-ниее исправ-ленных выборочных дисперсий.Выдвинутая г-за может быть правильной или неправильной, поэтому возникает необх-мость ее проверки. В итоге стат. проверки г-зы в двух случаях может быть принято неправильное реш-е, т.е. могут быть допу-щены ошибки двух родов. Ошибка 1-го рода состоит в том, что будет отвергнута правильная г-за. Ошибка 2-го рода – будет принята неправильная.В-ть совершить ошибку перв. рода принято обозначать ч-з λ; ее наз. ур-нем значимости. Наиб. часто ур-нь значимости принимают равным 0.05 или 0.01. Если напр принят ур-нь значи-мости 0.05, то это означает, что в пяти случаях из100имеется риск допустить ошиб-ку перв. рода.Мощ-тью критерия наз. в-ть попадания критерия в критич. обл-ть при условии, что справедлива конкурирующая г-за. Др. словами, мощ-ть критерия есть в-ть того, что нулевая г-за будет отвергнута, если верна конкурирующая г-за. Если ур-нь значимости уже выбран, то критич. обл-ть следует строить так, чтобы мощ-ть критерия была максимальной. Выполнение этого требования должно обеспечить минимальную ошибку второго рода, что, конечно, желат-но.

============================================================

№26(1)Центральная предельная теорема, следствия (теоремы Муавра-Лапласа).

Известно, что нормально распределенные случ. вел-ны широко распространены на практике. Чем это объясняется? Ответ на этот вопрос был дан выдаю­щимся русским математиком А. М. Ляпуновым (централь­ная предельная теорема): если случ. вел-на Х пред­ставляет собой сумму оч. большого числа взаимно независ. случ. вел-н, влияние' каждой из к-рых на всю сумму ничтожно мало, то Х имеет рас-пред-е, близкое к нормальному.Пример. Пусть производится измерение нек-рой физической вел-ны. Любое измерение дает лишь приближенное знач-е измеряемой вел-ны, так как на результат измерения влияют оч. многие независимые случ. факторы (температура, колебания прибора, влажность, и др.).-Каждый из этих факторов порождает ничтожную «частную ошибку». Однако, поскольку число этих факторов оч. велико, их совокупное действие порождает уже заметную «суммар­ную ошибку».Рассматривая суммарную ошибку как сумму оч. большого числа взаимно независ. частных ошибок, мы вправе заключить, что суммарная ошибка имеет распред-й, близкое к нормальному. Опыт подтверждает справедливость такого заключения.Приведем формулировку центральной Предельной тео­ремы, к-рая устанавливает условия, при к-рых сумма большого числа слагаемых имее распред-е, близкое к нормальному. Пусть Х1, Х2, …. Хn – по=>сть независ. случ. вел-н, каждая из к-рых имеет конечные матем. Ожидание и дисперсию:

Введем обознач-е:

Обозначим ф-цию распред-я нормированной суммы ч-з:

Говорят, что к по=>сти Х1 , Х2…. Применима цент. Предельная теорема, если при любом х ф-я распред-я нормированной суммы при _______ стремится к норм. ф-ции распред-я:

В частности, если все случ. Вел-ны Х1, Х2 … одинаково распределены, то к этой по=>сти применима центр. Предел. Теорема, если дисперсии всех вел-н ________________ конечны и отличны от нуля. Ляпунов доказал, что если для _______ при _________ отн-ниее Ляпунова

Стремиться к нулю (условие Ляпунова), то к по=>сти Х1, Х2 …. Применима ц.п.т. Сущность условия Ляпунова состоит в требовании, чтобы каждое слагаемое суммы ____________ оказывало на сумму начтожное влияние.

Теоремы Муавра-Лапласа.

Локальная теорема Лапласа и дает асимтотическую ф-лу, к-рая позволяет приближенно найти в-ть появл-я соб-я ровно k раз в n исп-ях, если число исп-й достаточно велико. Для частного случая р=1/2, асимтотическая ф-ла была найдена в 1730г. Муавром, в 1783 Лаплас обобщил ее для произвольного р, отличного от 0 и 1. Д-во этой ф-лы довольно сложно, поэтому мы его не приводим. Локальная теорема Лапласа. В-ть того, что в n независ. исп-ях в кажд. из к-рых в-ть появл-я соб-я А равно р причем 1>р>0, то это соб-е наступает ровно m раз приблизительно равна знач-ю ф-ции:

Имеются таблицы в к-рых помещены знач-я ф-ции ___________________________ , соответствующие положительным знач-ям аргумента х. Для отриц. Знач-й аргумента пользуются теми же таблицами, как как ф-я ______ четна, т.е. _____________. Итак в-ть того, что соб-е А появится в n независ. исп-ях ровно k раз, приближенно равна:

Интегральная теорема Лапласа. Предположим, что производится n исп-й, в кажд. из к-рых в-ть появл-я соб-я А постоянна и равно р( от 0до 1). Как вычислить в-ть Р_n (k_1, k₂) того, что соб-е А появится в n исп-ях не менее k₁ и не более k₂. На этот вопрос отвечает интегр. Теорема Лапласа (д-ва опускаем). Теорема: раз в-ть того, что в n независ. исп-ях в кажд. из к-рых в-ть появл-я соб-я А равно р, причем 1>р>0, то соб-е А наступит не менее m₁ раз и не более m₂ раза приблизительно равно

При решении задач, требующих применения инт. Теоремы, пользуются спец. Таблицами, так как неопред. интеграл ___________ не выражается ч-з элемен-тарные ф-ции. В ней даны знач-я ф-ции _______ для положит. Знач-й х и для х=0, для х<0 пользуются той же табл.й (т.к. ф-я ______ нечетка). Ф-цию _______ часто наз. Ф-ей Лапласа. Вер-ть того, что соб-е А появится в n исп-ях от к1 до к2 раз:

=====================================================

(2) Сравнение исправленной выборочной дисперсии с гипотетической генер. дисперсией норм. совок-ти. Пусть генер. совок-ть распределена нормально, при-чем генер. дисперсия хотя и неизвестна, но имеются основания предполагать, что она равна гипотет. (предполагаемому) знач-ю _____ (стр. 293). На прак­тике уста-навливается на основании предшествую-|щег6 опыта иди теоретически. Пусть из генер. совок-ти извлечена выборка объема ___ и по ней найдена исправленная выборочная дисперсия __________________ степенями свободы. Требуется по исправленной дисперсии при заданном ур-не значи­мости проверить рулевую г-зу, состоящую в том, что генер. дисперсия рассматриваемой совок-ти равна гипотет. знач-ю _____. Учитывая, что S² явл. несмещенной оценкой генер. дисперсии, нулевую г-зу можно записать так:

Итак, требуется проверить, что матем. ожидание исправленной дисперсии равно гипотет. »иачению генер. дисперсии. Др. словами, тре­буется, установить, значимо или незначимо различаются исправленная выборочная и гипотетическая генер. дис-персии. На' практике рассм-мая г-за проверяется, если нужно Проверить точ-ть при-боров, инструментов, станков, методов исследования и уст-ть тех. процессов. Напр, если известна допустимая хар-ка рассеяния контролируемого размера деталей, изго-тавливаемых станком-автоматом, равная ______ найденная по выборке окажется значимо больше _______ станок требует подналадки. В кач. критерия проверки ну-лев. г-зы примем случ. вел-ну ___________. Эта вел-на случ., потому что в разных опытах S² принимает различные, наперед неизвестные знач-я. Поскольку можно доказать, что она имеет распред-е _______________степенями свободы, обозначим

ч-з ____.Итак, критерий проверки нулев. г-зы

Критическая обл-ть строится в зависимости от вида конкурирующей г-зы. Первый случай. Нулевая г-за _______________ Конкурирующая г-за __________________

В этом случае строят правостороннюю критич. обл-ть, исходя из требования, чтобы в-ть попадания критерия в эту обл-ть в предположении справедливости нулев. г-зы была равна принятому ур-ню значимости:

Критич. точку ___________ находят по табл. критич. точек распред-я ______, тогда правосторонняя критическая обл-ть определяется нерав-вом _________, а обл-ть принятия нулев. г-зы - нерав-вом _______________. Обозначим знач-е критерия, вычисленное по данным наблюдений, ч-з __________ и сформулируем правило проверки нулев. г-зы. Правило 1. Для того чтобы при заданном ур-не значимости проверить нулевую г-зу _____________ о рав-ве неизвестной генер. дисперсии норм. совок-ти гипотет. знач-ю при конкурирующей г-зе _______________ надо вычислить наблюдаемое знач-е критерия ________________ и по табл. критич. точек распред-я заданному ур-ню значимости __ и числу степеней свободы __________критич. точку ________.

Если ____________ - нет оснований отвергнуть нулевую г-зу. Если ____________ - нулевую г-зу отвергают. Второй случай. Нулевая г-за ______________.Конкурирующая г-за ___________________.

В этом Случае строят двустороннюю критич. обл-ть, исходя из требования, чтобы в-ть попа­дания критерия в эту обл-ть в предположении справед­ливости нулев. г-зы была равна принятому ур-ню

значимости ____. Критич. точки—левую и правую границы критич. обл-ти—находят, требуя, чтобы в-ть по­падания критерия в каждой из двух интервалов критич. обл-ти была равна __/2:

В табл. критич. точек распред-я ____ ука­заны лишь «правые» критич. точки, поэтому возни­кает кажущееся затруднение в отыскании «левой» критич. точки. Это затруднение легко преодолеть, если принять во внимание, что соб-я ___________________________ противоположны и, =>, сумма их в-тей равна ед-це:

Отсюда

Мы видим, что левую критич. точку можно искать как правую (и значит, ее можно найти по табл.), исходя из требования, чтобы вер-ть попадания критерия в интервал, расположенный правее этой точки, была равна ____________. Правило 2 для того чтобы при заданном ур-не значимости ____ проверить нулевую г-зу о рав-ве неизвестной генер. дисперсии ____ норм. совок-ти гипотет. знач-ю ______ при конкурирующей г-зе _______________, надо вычислить наблюдаемое знач-е критерия ________________ и по табл. найти левую критич. точку __________________ и правую критич. Точку ______________. Если ________________________ - нет оснований отвергнуть нулевую г-зу. Если ________________ или ____________________ - нулевую г-зу отвергают. Третий случай: конкурирующая г-за ______________. Правило 3: при конкурирующей г-зе _______________ находят критич. точку _____________. Если ________________________ - нет оснований отвергнуть нулевую г-зу. Если ________________ или ____________________ - нулевую г-зу отвергают.

===================================================