Задачи

Правило суммы: если элемент А1 может быть выбран одним n1 способом, А2- другим n2 способом, А3- n3 способами, Ак - nk способами, отличными от 1-х(к-1),то выбор одного из элементов А1, А2, А3…Ак может быть осуществлен n1+n2+n3+…+nk способами.

Задача1. В ящике 300 деталей. Известно,что 150-го сорта, 120- 2-го сорта, 30- 3-го сорта. Сколько существует спосо-бов извлечения из ящика 1-ой детали 1-го или 2-го сорта? Решение: n1+n2=150+120=270

Задача2.В группе 30 человек. Надо выбрать старосту, его заместителя и профорга. Сколько способов? Решение: старостой может быть любой из 30, зам 1 из 29, профорг- один из 28, n1=30, n2=29, n3=28. По правилу произведения общее число выбора равно n1*n2*n3=30*29*28=24360.

Задача3. Распис-е одного дня состоит из 5-ти уроков. Опред-ть число вар-тов распис-я при выборе из11 дис-циплин. Решение. А₁₁⁵=11*10*9*8*7=55440.

Задача4.В шахматном турнире участв. 16 человек. Сколько партий, если между 2 участниками должна быть одна партия. Решение. Каждая партия играется 2-мя участниками из 16 и отлич. от других только составом, т.е. представляет собой сочетание из 16 по 2. С^m_n =

N(n-1)…(n-m) C^m_n=n! C²₁₆=16*15=120

1*2…m m!(n-m)! 2!

Задача5.Порядок выступления 7 участников выбирается жребием. Сколько вариантов жеребьевки(отлич. порядком участников) возможно? Решение. Каждый в-т жеребьевки отлич. порядком участников, т.е. явл. перестановк. из 7 эл--тов. Их число по ф-ле будет равно р₇=7!=7*6*5*4*3*2*1=5040.

Задача6.В конкурсе по 5 номинац. участв. 10 фильмов. Ск. вар-тов распред. призов, если по кажд. номинации уста-новл. А(разн. призы), В( один. призы).Решение. Каждый из вар-в распред. призов представл. собой комбинацию 5 из 10, отлич. от др. комбин. с-вом фильмов, порядком филь-мов по номинац. Причем повторениями из 10 по 5, причем одни и те же фильмы могут повторяться несколько раз,т.е. представляет размещение с повторениями из 10 эл-тов по 5. Их число должно быть равно А⁵₁₀=10⁵=100000. Если по кажд. номинации устан. одинак. призы, то порядок следо-вания, число вариантов распред. призов, любой фильм может получить по одной или неск. номинац. , предста-вляет собой число номинаций с повт решениями из 10, определ по ф-м

А⁵₁₀=10! Если в перестановке из общ . числа n

5!*5! есть к разл. эл-тов, при этом 1-й элемент повторяется n1 раз, 2-й-n2 раз, то n1+n2+…+n_k=n, то такие перестановки наз перестановки с повторениями , число перестановок с повторениями из n элементов

P_n(n1,n2,…n_k)=n!

n1!n2!… n_k!

Задача7.Ск сущ-ет 7- знач чисел, состоящ чисел 4,5,6, в которых цифра 4 повторяется 3 раза, а 5 и 6- по 2 раза?Решение.Кажд. 7-знач число отлич др. от др. порядком следования цифр (n1=3,n2=2,n3=2), а их сумма=7, т.е. является перестан с повторениями из 7-ми элементов. Эти числа по формуле равны

Р₇(3,2,2)=7! =210

3!2!2!

Задача8.Буквы Т,Е,И,Я,Р,О написаны на отдел карточках. Ребенок берет и складывает: а-3,б-6 карточек. Какова вер-ть того, что полученное слово а- ТОР, б- ТЕОРИЯ. Реш-е. А- пусть событие А- получение ТОР. Разл. комбинации 3 букв из 6 представл. размещения, т.к. могут отличаться с-вом букв, порядком их след-ния, т.е число случаев n=А³₄, из кот. благопр. событию А m=1 случай.

P(A)=m= 1= 1 =1

N A³₆6*5*4 120

Б- пусть В-получение ТЕОРИЯ. Разл. комбинации 6 из 6 представл. собой перестановки, т.к. отличаются только порядком след-я, т.е. общее число случаев=n=P₆=6!,ктр благопр. м=1,P(B)=m\n=1\6!=1\120

Задача9.Куб разделили на 1000 кубиков. Опред вер-ть, ск. будет кубиков с окраш гранью: а-3,б-1,в- не окрашена. Реш-е:p1=8/1000, p2=384/1000(1 стор окраш), p3=96/1000 (2 гран окраш), p4=8³/1000.

Задача10. Ск. 3-знач чисел можно составить из 1,2,3, если кажд. цифра входит в изображ-е числа только 1 раз. Ответ: 6 чисел.

Задача11.Ск. можно составить из 8 флажков сигналов, взятых по 2.Ответ:А⁸₂=7*8=56

Задача12.В партии из 10 –7 стандарт. Опред вер-ть того,из 6 взятых-4 станд.Реш-е:Общ. число возм. исходов испытания=числу способов, ктр можно извлечь 6 дет из 10, т.е. числу сочетаний С⁶₁₀. Опред число исходов, благоп-х событию А (из 6 дет-4 станд), 4 станд детал можно взять из 7 станд. С⁴₇ способами. При этом 6-4=2 дет должно быть нест. Взять же 2 нест детали из 10-7=3 можно С²₃ способами, число благопр. исходов= С⁴₇*С²₃. Искомая вер-ть = отн-ю числа исходов, благоп событию, к числу всех элем исходов

P(A)=C⁴₇*C²₃/C⁶₁₀=7!3!6!4!/4!3!2!10!=1/2

Задача13.Набирая номер, абонент забыл 2 последн. цифры и помня лишь, что эти цифры различны, набрал наугад. Найти вер-ть того, что набраны нужные цифры. Реш-е: Обозначим соб-е В - набраны нужные цифры. Всего можно набрать столько разл. цифр, ск. может быть размещений из 10 цифр по 2, т.е. А²₁₀= 10*9=90-число элем исходов=90. Эти исходы несовм-ы, разновозможны и образуют полную группу. Благопр-т событию В лишь 1 исход. Иском. вер-ть = числу исходов к числу общ исхо-дов.P(B)=1/90

Задача14.в ящике 3 бел и 3 черн шара. Из ящика 2 раза выним по 1 шару. Найти вер-ть появл-я бел шара во 2 разе.Реш-е.Если в 1 испыт-и был извлечен черн шар (соб А), то после 1-го испыт-я осталось 5 шаров, из них 3 бел. P_a(B)=3/5.Этот рез-т можно получить по ф-муле Р_А(В)= Р(АВ)/Р(А)(Р(А)=0). Действительно, вер-ть появл-я бел шара в 1м испыт---и Р(А)=3 /6=1/2. найдем вер-ть того, что в 1-м исп-и появл черн шар , а во 2-м –бел. Общ. число исходов совм появл-я 2х шаров( безразл какого цвета)= числу размещенийА²₆=6*5=30. Из этого числа исходов, благопр АВ равно 3*3=9.,Р(АВ)=3/90=3/10 Иском усл В- Р_А(В)=Р(АВ)/Р(А)=3/10:1/2=3/5

Получим прежн рез-т=3/5. исходя из клас опр вер-ти , 5 форм-у (1) можно док-ть . Это обст-во служит основанием для общего опред-я.

Задача15.У сборщика 3 конусн и 7 эллипт валика. Он взял 1 валик, затем 2-й. Найти вер-ть 1-го конус,2-эллипт.Реш-е: 1-конус.2-эллипт.- соб-е А. Р(А)=3/10 вер-ть того, что 2-й (соб В) Р_А(В)=7/9. По теореме умн-я , искомая вер-ть = Р(А,В)=Р(А)Р_А(В)=3/10*7/9=7/30. сохранив обоз-я, найдем Р(В)=7/10, Р_В(А)=3/9, Р(В)Р_В(А)=7/30

Задача16.В ящике 5 бел и 4 черн, 3 син шара. Кажд испыт-е состоит в том, что вынимают 1 ш. Найти вер-ть того,что при 1-м испыт-и появится бел шар (соб А), при 2-м черн ( соб В), при 3-м- син ( соб с). Реш-е: В-ть появл-я бел шара= 5/12. р(А)=5/12, Р_А(В)=4/11, Р_А,В(С)=3/ 10. если в 1-м исп-ии бел шар, то Р_А(В)=4/11, если во 2-м черн шар, то Р_А,В(С)=3/10. иском. вер-ть Р(А,В,С)= Р(А)*Р_А(В)*Р_А,В(С)=1/22

Задача17 найти вер-ть совместного появл-я герба при 1 броске 2х монет. Реш-е . вер-ть появл-я герба 1 монеты – соб-е а Р(А)=1/2. В-ть появл-я герба 2-й монеты- соб В. Соб. В и А – независимы, иском. вер-ть по теореме умножения Р(АВ)= Р(А)*Р(В)=1/4.

Задача18. 3 ящ по 10 дет в 1 ящ- 8, во 2- 7, 3- 9 станд дет. Из кажд ящика выним по 1 дет. Найти вер-ть того, что 3 дет- станд-е. Реш-е: В-ть того, что из 1-го ящика вынут станд деталь Р(А)=8/10=4/5=0,8 ,Аналогично Р(В)=0,7, Р(С)= 0,9. Т,к. соб А,В,С.-независим в совокупн, то искомая вер-ть Р(А,В,С)= 0.7*0.8*0.9=257/500

Задача19 вар-ты попадания в цель из 3-х оруд таковы : ½ стрелок р1=0.8, р2=0.7,р3=0.9. найти вер-ть хотя бы 1-го попад при 1 залпе из всех орудий. Реш-е найдем вер-ть попад 1 залпа из всех оруд. Вер-ть соб А кажд орудием не зависит от рез-в, рассм-тся событ. А1( попад 1 орудия), А2(2-го , А3-3-го-независим в совок-и. Вер-ть событ, противопол событм А1,А2,А3, т.е. вер-ти промахов равны: q1=1-p=1-0.8=0.2;q2=1-0.7=0.3;q3=1-0.9=0.1, Иском. вер. Р(А,А2,А3)=0,006

Задача20. В типографии 4 машины. Для кажд. машины в-ть того. что она работает в дан момент= 0.9. найти вер-ть того, что в дан момент работает хотя бы 1 машина. Реш-е Соб. (машина раб или не раб) противоп., сумма В=1(p+ +q=1). Отсюда вер-ть того , что машина в дан. момент не работает q=1-p=1-0.9=0.1иском. вер-ть Р(А)=1-q⁴=0.9999

Задача 21В-ть того, что при 1-и выстреле стрелок попадает в цель= 0.4, ск. должно быть выстрелов, чтобы с в-тью 0.9 он попал в цель хотя 1 раз. Реш-е . Обозначим А (n- выстрелов-1 попад) события. Сост в попад в цель 1, 2 и т.д. выстрелах, применима теорема Р(А)= 1-qⁿ, заметив, что по условию, Р(А)>=0.9, p=0.4, q=1-0.4=0.6, 1-0.6ⁿ>=0.9

0.6ⁿ<=0.1.nlg0.6<=ln 0.1,n<=ln0.1/lg0.6

Задача22Вер-ть того, что потр-ль увидит рекламу опред-го продукта по каждому из 3-х каналов= 0.05. Предполагает-ся, что эти события- независимые. Чему= вер-ть, что потр-ль увидит рекламу хотя бы по 1-му из этих каналов. Реш-е: Р(А)- вер-ть увидеть рекл. по 1му, Р(В)-по 2му, Р(С)- по 3му. Р(А)= Р(В)= Р(С)=0.05. Вер-ть (1- Р(А))- вер-ть того, что он увидит рекл. по 1-му каналу, т.е. 0.95, (1-Р(А))(1-Р(В))(1-Р(С))-вер-ть того, что он не увидит рекл. ни по 1-му каналу. 1-(0.95)³=1-0.857375

Задача23некая фирма претендует на выполнение 2х контрактов от 2х корпораций. Вер-ть контракта от от 1 корп=0.5. какова вер-ть для фирмы получить оба контракта. Если известно, что после заключ-я контракта с 1 корп вер-ть закл-я со2-й=0. 9. Решение:0.5*0.9=0.45

Задача24.В студ группе 20 чел. Среди них 8 отличников. По списку группы наудачу отобраны 5 чел. Найти в-ть того, что среди них 2 отличника. Реш-е :Вер-ть отобрать 5 чел, среди ктр 2 отл= отн-ю Р(А)Р(В)/Р(С),где Р(А)-число спосо-бов, где выбрать 3х неотл из 12,Р(В)-число способов вы-брать 2х отл из 8,Р(С)- число способов выбрать 5 чел из 20.С³₄С²₈/С⁵₂₀.

Задача25.Студент знает 24 вопроса из 30. Найти вер-ть того, что он сдаст зачет, если для этого нужно отв-ть на 2 вопр из 3. предполагается, что вопросы задаются поочередно. Студент сдает зачет в след усл:а-3 хор вопр подряд,б-2-хор,1-плох,в-1й-хор,2-й –плохой,3-й хор,г-1й-плох,2а-хор. Решение : Р(а)=24/30*23/29*22/28, P(б)=24/30*23/29*6/28, Р(в)=24/30*6/29*23/28, Р(г)=6/30*24/29*23/28.

Р(сдаетзачет)=Р(а)+Р(б)+Р(в)+Р(г)=24*23*22+24*23*18/30*29*28.

Задача26. 1 из 100 электроламп произв с дефектом. Опред-ть, что 1 из 2х извлечен-х случ образом электро-ламп будет с дефектом. Решение: Вследствие случ отбора предполагается, что соб-я независимы. Р=0.01, Р(А)-вер-ть , что одна электролампа с деф, 1- Р(В),где Р(В)- вер-ть .что обе хорошие. 1-(0.99)²= 0.0199

Задача27О 2х акциях А и В известно, что они выпущены 1й и той же отраслью. Вер-ть того, что акция А поднимет-ся завтра в цене= 0.2. вер-ть того, что обе акции А и В поднимутся завтра в цене =0.12. Предположим, А-подним-ся в цене завтра. Чему равна вер-ть того, что и акция В завтра поднимется в цене.Реш-е: Р(А\В)=Р(АВ)\Р(А)=0.12\0.2=0.6

Задача28.Вер-ть того, что в библиотеке необх-ая книга студенту свободна= 0.3. Составить з-н распред-я числа библиотек, ктр посетит студент, если он собирается посетить не более 4х человек. Решение Р(1библиотека)= 0.3,Р(2 библ)=0.7*0.3,Р(3библ)=0.7²*0.3, Р(4 библ)=0.7²*0.3,

Р=1-0.3-0.7*0.3-0.7²*0.3-0.7³*0.3= 0.2401

Задача29Для фирмы, занимающейся обслуж-ем комп тех-ки вер-ть получения контракта от комп А=0.3, от В=0.5. вер-ть того, что контракты будут заключены с обеими комп=0.15. какова вер-ть того, что фирма получит контракт хотя бы от 1 комп. Реш-е Р(А\В)= Р(А)+Р(В)- Р(АВ)= 0.3+0.5-0.3*0.15=0.65

Задача30 в банке 5 отдел. Ежедневно с вер-ю 0.3 кажд отделение независимо о др. может заказать круп. сумму. В конце раб. дня 1 из вице-президентов знакомится с заявками. Найти вер-ть того, что поступили 2 заявки. Рещение Р=0.3 С²₅*Р²(1-р³)=10*0.9(1-0.3)³=1\10*0.9*0.343= 0.3087

Задача31Вер-ть того.что потр-ль увидит рекламу=0.04. Вер-ть того, что потр-ль увидит рекламу того же продукта на стенде=0.06. оба соб независимы. Чему равна вер-ть того, что потр-ль увидит хотя бы 1 рекламу. Решение: Р(А)=0.04, 1-0.96*0.94=1-0.9024=0.0976.

Задача32В фирме раб 7 раб и 3 техника. Для выполн-я работы из картотеки взяты 2 случ номера.Найти в-ть того, что все номера _ рабочим. Реш-е.С²₁₀С²₇ -хорош . С²₇/С ²₁₀=30/90=1/3

Задача33 Некто приобретает акции 2-х компаний, при этом фикс.стабильность этой комп. в теч. этого года оценивается экспертами. 1-на ур-не 80% 2-90% Решение: 0,9/0,8=0,72

Задача34.некто преобр акции 2х компаний. При этом фин стабиль-ть этих комп оценивается экспертами.1- на уровне 80%,2-90%. Решение 0.8*0.9=0.72

Задача35статистика запросов кредитолв в банке такова: 10%-гос органы, 15%-др. банки, остальные- физ лица. Вер-ть того, что взятый кредит не будет возвращен сост.: 0.02, 0.05 и 0.2 соот-но. Опред-ть, какая доля кредита в среднем не возвращ-ся. Решение: 0.1*0.2+0.15*0.05+0.75*0.2=0.227

Задача36.Что вероятнее-выиграть в бильярд у равносильного противника 3 партии из4х или 5 из 8. Решение: Вер-ть выиграть 3 из 4 будет= С³₄=(1\2)³*1\2=1\4;5 из 8:С⁵₈ (1\2)⁵ (1\2)³=1

Задача37.пок-ль мож. приобрести акции 2х компаний. На-деж-ть 1й на ур-не 90 %, 2й—80%.Чему= вер-ть того. что в теч. года наступит хотя бы 1 банкр-во. Решение: Ни одного бакнр-ва=0.9*0.8=0.72, хотя бы одно банкр-во:1-0.72=0.28.

Задача38 Необх-мо принять реш-е об инвестировании нек-го капитала в один из 2х проектов: проект1 сулит прибыль в разм. 50 млн с вер-тью 0.4, проект2 сулит прибыль в разм. 80 млн с вер-тью 0.2 Какому проекту отдать предпочт-е как ниаб. прибыльному? Решение: Приб-ть=(вер-ть успеха)*(предполагаемый доход), прибыл-ть1=0.4*50=20,приб-ть 2= 0.2*80=16. В 1м случае лучше.

Задача39. Вер-ть появл-я в кажд из независ. испытаний=0,25. Найти вер-ть того, что в серии из 300 испытаний успех наступит ровно 85 раз. Решение С⁸⁵₃₀₀*р⁸⁵*(1-р)^300-85= (ф-ла Бернулли)

Задача 40 В-ть поломки в теч. 1-го дня для 1 из 4-х работающих независимо др от др станков= 0,2. Найти в-ть того, что в теч раб. дня сломаются: а) 3 станка, б) хотябы 1 станок. Решение В нашем случае р(а)=Р(в)=Р(с)=Р(д)=0.2. В-ть поломки 3х станков: С³₄*Р(а)Р(в)Р(с)Р(1-Р(д))=4*0.2³*0.8=Б-Р(х)= ((вер-ть поломки хотя бы 1-го станка) тогда 1-р(х0= ( вер-ть того, что ни один не поламается)

(1-Р(А))⁴=0.8⁴, Р(х)=1-0.8⁴

Задача 41 Вер-ть того, что нов товар будет польз-ся спро-сом на рынке,если конкурент не выпустит в продажу ана-лог. продукт,=0,67. Вер-ть того, что нов товар будет польз-ся спросом на рынке при наличии на рынке конкур. товара, = 0,42. Вер-ть того, что конкур. фирма выпустит анал. про-дукт на рынок в теч. интересующего нас периода=0,35. Че-му равна вер-ть того, что товар будет иметь успех. Реш-е: 0,67*(1-0,35)+0,42*0,35= 0,67*0,65+0,42*0,35=0,5825.

Задача42На автомобиль уст-ны сигнал-я и механ. блоки-ровка рычага переключения передач. Вер-ть того, что уго-нщик справится с сигн-ей =0,2. Вер-ть того, что сломает блокир-р,=0,1. Найти в-ть того, что угоншик справится: а) с обеими сис-мами, т.е. авто угонят, б) только с одной с-мой, а) 0,1*0,2=0,02 б) 0,8*0,9. Вер-ть 1-0,8*0,9=0,28

Задача43 Собир-ся партия исправных изделий 3-х заво-дов: 1-й поставляет 60%, 2-30%, 3-10%. Вер-ть исправной работа изделия 1-го завода 0,98, 2-0,99, 3-0,96. Опр-ть в-ть того,что изделия,прибывшие с разн. заводов исправны. Решение: р(h₁)=0,5 p(h₂)=0,3 p(h₃)=0,1 p(A/h₁)=0,98 p(A/h₂)= 0,99 p(A/h₃)=0,96 P(A)=0,6*0,98+0,3*0,99+0,1*0,96=0,981

Задача44 Собирается партия исправных изделий с 3х заводов .1й завод пост 50%,2-40%,3-10%. Вер-ть исправ работы изд-й 1-0.9,2-0.95,3-0.96 . Опр-ть вер-ть того, что в собраннукю партию исправн. изделий попали изд-я с 1 го завода. Реш-е: p(h1)=0.5,p(h2)=0.4,p(h3)=0.1;p(A/h1)=0.9, P(a/h2)=0.95,p(a/h3)=0.96.

0	1	2	3	4	5
0,168	0,36	0,309	0,133	0,028	0,02

Задача45.передается n=5 сообщений по каналам связи. Кажд. сообщ-е с в-тью р=0.3 независимо от др-х искажается. Случ. величина х -число искаж. сообщений. Построить ее ряд распределения. Решение: х-число р искаженных сообщ-й, распр-а по бином. закону. Р₀=q⁵=0.7⁵=0.168;P1=C¹₅*0.3*0.7⁴=0.36;P3=;P4=;P5=…x

Рис. График.

Задача46з-н Пуассона:P_m=a^m/m!e^-a; a=0,5

P0=0,5⁰/0*exp(-0,5)=0,6065;p1=0,5¹/1*exp(-,5)=0,3025

P2=,p3=,p4=,p5=,

Задача47-Геом. распред-е P_m=q^mp P=0.4(любое). P0=0.6⁰*0.4=0,4 и т.д., построить.

Задача47.гипергеом. распр-е P_m=P(x=m)= C^m_aC^n-m_b/Can_+b,m=0.1,…a. В шкафу нах 9 приборов: 5 нов 4 бу. Из шкафа наугад выним. 4 прибора.х=число нов приборов среди вынутых. Построить ряд распр-я случ. величин х. Выч-ть мо и дисперсию.Решение: м=0,1,2,3,4. Нах-м по формуле а=5,в=4 знаменатель С⁴₉=98765\5432=126; р₀=С⁰₅С⁴₄\126=0.08; р₁=С¹₅С³₄\126=0.1587,р2,р3,р4.

Задача48.на автом телеф. станцию поступает поток вызовов с интенсив =0.8(вызов\мин). Найти вер-ть того,что за 2 мин-а-не придет ни одного вызова,б-придет ровно 1 вызов,г-придет хотя бы 1 вызов. Решение: Случ величина х-число вызовов за 2 мин распределено по з-ну Пуассона а=т=0.8*2=1.6. Имеем, а –р₀=а⁰\0!е^-1.6= е^-1.6=0.202,

б –р₁=а¹\1е^-1.6=1.6*е^-1.6=0.3232,

в-R₁=Р(х>=1)=1-P(x=0)=1-P₀=0.798.

Задача49.В тех устройстве работает 2 блока: вер-ть безотказн. работы 1 блока=р1=0.4,2-р2=0.7. Случ величина х- число раб блоков. Найти МО, дисперсию и СКО.Решение: х-дискретн случ величина с 3 значениями: 0,1,2. Вер-ти этих знач равны Р0=Р(х=0)=0.6*0.3=0.18; Р2=р(х=2)=0.4*0.7=0.28. Вер-ть Р1=р(х=1)=… Найдем сумму др вер-тей, дополняя до ед-цы Р1=1-(0.18+0.28)=0.54.Ряд распред-я случ величины имеет вид:

0	1	2
0.18	0.28	0.54

Непосредственно из ряда распр случ-й величины Х получим МО. M_x=0*0,18+1*0,54+2*0,28=1,1.

Задача50Случ величины Х и У независимы. Найти дисперсию случ велины. Z=3x+2y, D(x)=5, D(y)=6.

Решение: Т.К. величины Х и У независимы, то незав-ы и величины 3х и 2у. Исп-ем св-во дисперсии (дисперсия сумма незав случ величин)=суммы дисперсий слаг.,постоян. Множ-ль можно вынести, возведя его в квадрат). Получим D(z) =D(3x+2y)=D(3x)+D(2Y)=9D(x)+D(y)=9*5+4*6=69

Задача52.Найти дисп-ю и СКО дискр случ вел-ны Х, зад-ой законом распр-я.

Р	-5	2	3	4
Х	0.4	0.3	0.1	0.2

Реш-е: Дисп-ю можно выч-ть , исходя из ее орпед-я, или пользуясь фор-ой:D(x)=M(X²)-(M(X))², ктр быстрее идет к цели. Найдем МО: М(х)=-5*0.4+ +2*0.3+3*0.1+4*0.2=-0..3.

Распишем з-н распределения квадрата

Х2	-25	4	9	16
р	0.4	0.3	0.1	0.2

М(х²)=-25*0.4+4*0.3+9*0.1+16*0.2=15.3

Найдем искомую дисперсию D(x)=15,3-0,09=15,21

Найдем иском. ср. квадр. отклонение G(x)=D(x)3,9

Задача53.Дискрет случ велич х задана з-м распред-я

Х	1	3
q	0,4	0,6

Задача53.Дискрет случ велич х задана з-м распред-я

Х	1	3
q	0,4	0,6

Найти нач мом-ты 1,2,3 порядка 1=М(х)=1*0.4+3*0.6=2,2,2=М(х²)=1*0.4+9*0.6=5Б83= М(х³)=1*0.4+27*0.6=16,6

Задача54Дискрет случ величина Х задана распред-м

Х	1	2	4
р	0,1	0,.3	0.6

Найти центр моменты 1,2,3,4 порядков. М1=0

Для вычисл-я центр мом-тов удобно восп-ся фор-ми, выр-ми центр мом-ты через нач-ные, поэтому предвар-но найдем нач-ые мом-ты

1=М(х)=1*0.1+2*0.3+4*0.6=3.1; 2=М( Х²)= 1*0.1+4*0.3+16*016=10.9; 3=М(х³)=40.9; 4=М(х⁴)=158.5

Найдем центр. моменты: М2=2-1² =10.9-3.1²=1.29

М3=3-3₁₂+2³₁= М4=₄-4₃₁+6₂²₁-3⁴₁=2.7777

Задача54.Самолет производит бомбометание по насыпи, ширина ктр= 20 м. Направл-е полета перп-но насыпи. Прицеливание производится. Систематич ошибки прицел не дает. Вер-ое отклонение напр-я полета В=25 м. Найти вер-ть попадания в насыпь. Решение: Т.к. прицел не дает систем-й ошибки, центр рассм-я совпадает с т прицел-ния. Задача сводится к опред-ю вер-ти попад-я Х продольного отклон-я. Полагая формулу Р(\х-м\<e)=Ф(е\Е),l=10м, E=B0=25м. Вер-ть попадания Р=Ф(10\25)=0.2127

Задача55.Имеется с.в.Х ,распр-ная нормальная с пар-ми m,. Найти вер-ть того, что с.в.х отклонится от своего т.о. m> чем на 3. Решение: Р(\х-м\>3)=1-P(/x-m/<3), по формуле раскроем Р(/x-m/<l)=2Ф(l/),l-любое, Полагаем, что l=/ рез-те находим Р(\х-м\>3)= 2Ф(3\)=2Ф(3)=0.9973 Р(\х-м\>3)=1-0/9973=0/0027

Задача56. Завод изготавл. шарики для подшибников, номин-й диаметр=10 мм, а фактический диаметр случаен и распределен по случ з-ну с м=10 мм и СКО =0.4. При ктр бракуются все шарики, не проходящие через круглое отверстие с d=d1=10,7 мм. И все , проходящие через кругл отверстие с d2=9.3 мм. Найти % шариков, ктр будут брако-ваться. Решение: Вер-ть того, что шарик будет забракован P(\x-m\>0.7)=1-p(\x-m\<0/7) P(\x-m\<l)=2Ф(l\)

P(\x-m\<0.7)=2Ф(0.7\0.4)=2Ф(1.75)=

Задача57.С.В. х распр-на по норм з-ну МО и СКО этой вел-ны= 30 и 10. Найти в-ть того, что х примет знач-е, принадл-е интервалу (10,50).Реш-е: =10,=50,а=30,=10.

Р(10<x<50)=

Ф((50-30)\10)-Ф((10-30)\10)=2Ф(2)=2*0.4773=0.9544.

Задача58Найти вер-ть того, что соб А наступит 70 раз в 243 испыт-х, если вер-ть появл-я этого соб-я в кажд испы-тании=0.25. Реш-е: По усл., n=243, k=70, p=0.25, q=0.75. Т.к. n=243- достаточно больш число, воспользуемся локал. теоремой Лапласа P_n(k)=1/npq, (x),Где х= (к-np)/npq. Найдем знач-е х=(k-np)/npq=1.37.

P₂₄₃(70)=1/6.75*0.1561=0.0231/

Задача59.Вер-ть появ-я соб в кажд. из 625 испытаний=0.8. найти вер-ть того, что относит. частота появл-я соб-я от-клонится от его вер-ти по абс. величине не более, чем на 0.04. Реш-е: n=625,p=0.8,q=0,2,=0,04. Требуется найти вер-ть: Р(\м/625-0.8\<=0.04.Восп-емся ф-лой:

Р(\m/n-p\<=)=2Ф(n/pq).

Имеем Р(\m/625-0.8\<0.04)= 2Ф(2.5)

=============================================

6.3. Приведены данные о динамике объема выкупа некоторой продукции за 5 лет. Т / 1 2 3 4 5 Млрд.руб/5,7 6,7 5,2 3,2 3,7 Найти ур-ие линейн. тренда, выражающего осн. тенден-цию изм-я объема выпуска рассм-емой продукции за 5 лет. Решение: Получим таблицу: Xi Yi X2i XiYi 1 5.7 1 5.7 2 6.7 4 13.4 3 5.2 9 15.6 4 3.2 16 12.8 5 3.7 25 18.5 EXi = 15 EYi = 24.5 EX2i = 55 EXiYi = 66 Pxy = (5*66-15*24.5) / (5*55-152) = B = (55*24.5-15*66) / (55*5-15) = Pxy = -0.75; b = 7.15 8.3. При исслед-и нек. хим. реакции через кажд. мин. опре-делялось кол-во А вещ-ва, образ-еся в сис-ме. Найти лин. зав-ть А - кол-ва вещ-ва в граммах от t- времени после начала реакции в минуту. Рез-ты измерения приведены в таблице. T 1 2 3 4 5 Кол-во гр. 5,9 6,9 5,4 3,4 3,9 Решение: Xi Yi Xi2 XiYi 1 5.9 1 5.9 2 6.9 4 13.8 3 5.4 9 16.2 4 3.4 16 13.6 5 3.9 15 19.5 X = 15 25.5 55 69 1.2. Вер-ть появл-я герба в кажд. бросании монеты р=1/2, след-но, вер-ть непоявл-я герба q = 1-1/2 = ½. При двух бросаниях монеты герб может появиться либо 2 раза, либо 1 раз, либо совсем не появиться. Т.о., возможные знач-я х таковы: х1 = 2, х2 = 1, х3 = 0. Найдем вер-ти этих возм. значений по формуле Бернулли: Р2(2) = С22Р2 = (1/2)2 = 0,25 Р2(1) = С12pq = 2 (1/2)*(1/2) = 0,5 Р2(0)=С02q2 = (1/2)2 = 0,25 Напишем искомый закон распределения: X 2 1 0 P 0.25 0.5 0.25 Контроль: 0.25+0.5+0.25 = 1

2.3.Сл.вел. х имеет ряд распред-я. X -5 0 5 10 p 0.1 0.2 0.5 0.2 Составить ряд распр-я сл.вел. y=x2. Найти МО и дисп-ю сл. вел. y=x2. Решение: Y=x2 5 0 25 100 p 0.1 0.2 0.5 0.2 M(Y) = 5*0.1+25*0.5+100*0.2=0.5+12.5+20=33 [Y1-M(Y)]=[5-33]2 = 784; [Y2-M(Y)]2=[0-33]2 = 1089 [Y3-M(Y)]2 = [25-33]2 = 64; [Y4-M(Y)]2 = [100-33]2 = 4489 D(Y) = 784*0.1+1089*0.2+64*0.5+4489*0.2=1226 29. Найти мин. объем выборки, при кот. c надеж-ю 0,95, точ-ть оценки МО норм распр-я генеральн сов-ти по вы-борочн ср. равна 0,3, если известно СКО = 1,2.Решение: P(\x-a.\<t*ср.кв./ корень n) = 2Ф(t)=y T * ср.кв. / корень n <=0.3; 2Ф(t) = 0.95>t>=1.96 1/корень n<=0.3/1.2*1.96 корень n>=u*1.96 n>=61,u+n = 62. 33. Сл.вел. х распред. по зак.Пуассона с парамром а = 2. Опред. вер-ти p{x=2}, p{x>1}, p {0<x<3}Распр-е Пуассона: P(x=k) = e-a*ak/k!; a) = p(x=2) = e-2*22/2! = 2e-2 b) = p(x>1)= 1-p(x=0)-p(x-1)=1-e-2(1+2!/1!)= c) = p(0<x<3)=p(x=1)+p(x=2)=e-2(21/1!+22/2!)=4e-2 d) px>0(x=1)=p(x=1)/p(x>0) = p(x=1)/1-p(x=0) = e-2*21/1!/1-e-2 = 2e-2/1-e-1 5.3. a0 = 950, L = 0.05, n =49, xв = 948, ср.квадр. 20 Решение: Z = x-a0/ср.квадр. : квадрат n = 948-950/20:7= -7/10 |0.7| < 1.98 гипотезу принимаем а = а0 u набл. = (x-a0) корень n / ср.квадр. Ф(u кр)=(1-L)2 Если u набл. > u кр. нулевую гипотезу отвергали. 185. Ср. число заказов такси, поступающих на пульт в одну мин, равен 3. Найти вер-ть того, что за 2 минуты поступит: а) 4 вызова, б) менее 4, в) не менее 4. Решение: по усл. L=3, T=2, K=4 Восп-ся формулой Пуассона. Pt(k)= (Lt)k*e-Lt/k! a) p2(4) = 64*e-6/4! = 1296*0.0025/24 = 0.135 b) если наступит одно из след. несовм. событий: 1)поступило 3 вызова, 2) 2 вызова, 3) поступил 1 вызов., 4) не поступило ни одного вызова. P2(k<4) = p2(3)+p2(2)+p2(1)+p2(0)=63*e-6/3!+62*e-6/2!+6e-6/1!+e-6 = e-6(36+18+6+1) =0.0025*61 = 0.1525 c) событие поступило не менее 4 вызовов  p(k>=4) = 1-P(k<4) = 1-0.1525=0.8475