Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
MxPM_CW.doc
Скачиваний:
12
Добавлен:
19.04.2013
Размер:
544.26 Кб
Скачать

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЯ

Кафедра прикладной математики

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине "Прикладная математика"

Выполнил: Постельник Максим Сергеевич

Институт: Информационных Систем Управления

Специальность: Математические методы исследования операций в экономике

Отделение: д/о

Курс: 3

Группа: I

Руководитель: Карпенков Николай Харламович

Дата сдачи на проверку:

Оценка:

Подпись руководителя:

Москва 2000

Содержание:

Содержание: 2

Линейное программирование. 3

Линейная производственная задача. 3

Основная задача линейного программирования. 4

Двойственная задача линейного программирования. 9

Задача «о расшивке узких мест производства». 12

Транспортная задача линейного программирования. 16

Динамическое программирование. 21

Задача динамического программирования о распределении капитальных вложений. 21

Задача динамического программирования об управлении производством и запасами. 25

Матричная игра, как модель конкуренции и сотрудничества. 29

Матричная модель производственной программы предприятия. 32

Анализ доходности и риска финансовых операций. 34

Формирование оптимального портфеля ценных бумаг. 36

Задача о кратчайшем пути на графе. 38

Список литературы: 42

1. "Математические методы принятия решений в экономике." Под ред. В.А. Колемаева/ГУУ.-М.:"Финстатинформ", 1999 42

2. Методические указания к выполнению курсовой работы по дисциплине "Прикладная математика"/Сост.: В.А. Колемаева и др.;ГУУ. М. 2000 42

3."Математические методы исследования операций в примерах и задачах" /Сост.: И.С. Карандаев и др.; ГАУ.М.1993 42

4."Исследование операций" /А.Т. Ершов и др.; МИУ.М.1990 42

5."Прикладные задачи исследования операций" / Сост.: И.С. Карандаев и др.; МИУ.М.1989 42

6."Двойственные оценки в управлении"/Сост.: И.С. Карандаев; МИУ.М.1980 42

7."Задачи транспортного типа в управлении"/В.С. Новоселков; МИУ.М.1985 42

Линейное программирование.

Многие проблемы, возникающие в экономических исследованиях и планировании, будучи сформулированы на языке математических понятий и символов, представляют собой задачи, в которых необходимо решить некоторую систему линейных уравнений или неравенств и среди всех неотрицательных решений найти то решение, при котором некоторая линейная однородная функция принимает наибольшее или наименьшее значение. Изучение методов исследования и решения математических задач указанного типа составляет содержание того раздела математики, который принято называть линейным программированием.

Линейная производственная задача.

Одной из наиболее часто встречающейся моделей линейного программирования является задача составления оптимальной производственной программы, т.е. задача о рациональном использовании производственных мощностей.

Условие задачи.

Исходные данные задачи представлены в виде:

34 32 28 36

2 4 5 3 128

3 0 4 1 130

3 5 0 2 142

Что означает следующее:

Матрица A удельных затрат каждого вида ресурсов на единицу каждого вида продукции имеет вид:

Вектор В объема каждого вида ресурсов имеет вид:

Вектор Cудельной прибыли имеет следующий вид:

Основная задача линейного программирования.

Экономико-математическая модель задачи:

Предприятие может выпускать четыре вида продукции, используя при этом три вида ресурсов.

Затраты каждого из трех видов ресурсов на производство единицы каждого из четырех видов продукции представлены матрицей A:

Имеющиеся в распоряжении объемы каждого из трех видов ресурсов представлены вектором-столбцом B:

Прибыли от производства единицы каждого из четырех видов продукции представлены вектором-строкой C:

Объем производства каждого из четырех видов продукции представлен вектором-столбцом X:

Требуется составить производственную программу, обеспечивающую предприятию наибольшую прибыль при имеющихся ограниченных ресурсах.

В матричном виде модель будет выглядеть следующим образом:

Формулировка основной задачи линейного программирования.

Сформулируем основную задачу линейного программирования с учетом нашего условия:

Требуется найти план производства продукции

при котором прибыль Zбыла бы максимальной

при имеющихся ограничениях по ресурсам:

(1.1)

и при условиях неотрицательности (по смыслу задачи):

Решение основной задачи линейного программирования симплексным методом.

Начнем решение задачи с того, что неравенства системы (1.1) превратим в равенства. Для этого введем дополнительные переменные и получим систему уравнений

(1.2)

Функция цели примет следующий вид:

А условие неотрицательности запишется в виде:

Переменные являются базисными, т.к. каждая из них входит только в одно из уравнений системы линейных алгебраических уравнений (1.2). Переменныев этом случае будут свободными.

Симплексный метод состоит в последовательном переборе базисных решений системы (1.2), в процессе которого значение целевой функции постепенно возрастает, пока не достигнет своего максимума. Переход от одного базисного решения к другому выполняется с помощью преобразований Жордана-Гаусса.

Решим задачу симплексным методом, записав процесс решения с помощью симплексных таблиц:

C0

B0

H

С

34

32

28

36

0

0

0

a

b

X

X1

X2

X3

X4

X5

X6

X7

0

X5

128

2

4

5

3

1

0

0

128/3

0

X6

130

3

0

4

1

0

1

0

130

1/3

0

X7

142

3

5

0

2

0

0

1

142/2

2/3

Z0=0

d

-34

-32

-28

-36

0

0

0

C0

B0

H

С

34

32

28

36

0

0

0

a

b

X

X1

X2

X3

X4

X5

X6

X7

36

X4

128/3

2/3

4/3

5/3

1

1/3

0

0

128/2

2/5

0

X6

262/3

7/3

-4/3

7/3

0

-1/3

1

0

262/7

7/5

0

X7

170/3

5/3

7/3

-10/3

0

-2/3

0

1

170/5

Z0=1536

d

-10

16

32

0

12

0

0

C0

B0

H

С

34

32

28

36

0

0

0

a

b

X

X1

X2

X3

X4

X5

X6

X7

36

X4

20

0

2/5

3

1

3/5

0

-2/5

0

X6

8

0

-23/5

7

0

3/5

1

-7/5

34

X1

34

1

7/5

-2

0

-2/5

0

3/5

Z0=1876

d

0

30

12

0

8

0

6

В итоге получим следующее оптимальное решение системы уравнений (1.2) при условии неотрицательности:

При этом переменные являются базисными, а переменныебудут свободными.

Из последней симплексной таблицы видно, что оптимальная производственная программа предполагает производить продукцию первого вида в размере 34 единиц, от производства продукции второго и третьего вида отказаться совсем и продукции четвертого вида производить 20 единиц.

При данном плане производства ресурсы первого и третьего вида будут использованы полностью, а остаток ресурсов второго вида, неиспользованных в производстве, составит 8 единиц.

Функция цели, выраженная через свободные переменные примет следующий вид:

Т.к. свободные переменные не могут быть меньше нуля, то функция цели принимает наибольшее значение Z=1876,когда свободные переменные будут равны нулю. Коэффициенты при свободных переменных показывают, что если предприятие решит выпустить единицу продукции второго или третьего вида, его прибыль снизится соответственно на 30 или 12 денежных единиц, если же оно решит высвободить из производства единицу первого или третьего ресурса, его прибыль сократится на 8 или 6 денежных единиц соответственно.

Графическое решение основной задачи линейного программирования.

Т.к. (согласно оптимальному плану производства, полученному при решении задачи симплексным методом) предприятию следует производить только продукцию первого и четвертого вида, отказавшись от производства продукции второго и третьего вида, задачу можно решить графическим методом.

Сформулируем основную задачу линейного программирования с учетом того, что предприятие теперь будет производить продукцию лишь двух видов – первого и четвертого:

Требуется найти план производства продукции

при котором прибыль Zбыла бы максимальной

при имеющихся ограничениях по ресурсам:

(1.3)

и при условиях неотрицательности (по смыслу задачи):

После преобразования системы неравенств (1.3) получим следующую систему неравенств:

(1.4)

Система неравенств (1.4) описывает множество точек, лежащих в области, ограниченной прямыми

при этом сами границы включаются в область допустимых значений.

Точки пересечения прямых-границ представлены в следующей таблице:

1)

2)

3)

4)

1)

2)

(262/7;124/7)

3)

(34;20)

(118/3;12)

4)

(0;128/3)

(0;130)

(0;71)

5)

(64;0)

(130/3;0)

(142/3;0)

(0;0)

Линии уровня функции Zперпендикулярны вектору градиентуgrad(Z)=(34,36)и образуют семейство параллельных прямых. Наибольшее значение функцияZ достигает в точке (34;20). Следовательно, решением задачи является

Двойственная задача линейного программирования.

Экономико-математическая модель задачи:

Допустим, на рынке сложилась ситуация, при которой предприятию выгоднее продать все имеющиеся ресурсы, чем использовать их для производства своей продукции.

Требуется определить, при каких ценах на ресурсы, прибыль от их продажи не будет ниже, чем прибыль, полученная от продажи произведенной продукции, и предприятию имеет смысл отказаться от производства.

Оценки единицы каждого из трех видов ресурсов представлены вектором-столбцом Y:

В матричном виде модель будет выглядеть следующим образом:

Формулировка двойственной задачи линейного программирования.

Сформулируем двойственную задачу линейного программирования с учетом нашего условия:

Требуется найти двойственные оценки ресурсов

при которых общая оценка всех ресурсов Lбыла бы минимальной (т.к. покупатель будет искать на рынке ресурсы по наименьшим ценам)

а так же при условии, что прибыль от продажи ресурсов не будет ниже прибыли, полученной от производства продукции при использовании тех же самых ресурсов:

и при условиях неотрицательности (по смыслу задачи):

Решение двойственной задачи линейного программирования.

Согласно второй основной теореме двойственности для оптимальных решений пары двойственных задач необходимо и достаточно выполнение условий:

(2.1)

(2.2)

Т.к. , то системе уравнений (2.1) равносильна следующая система:

Т.к. первый и третий ресурсы используются полностью, а второй ресурс – не полностью, то из системы уравнений (2.2) следует равносильная ей система

В итоге получаем систему уравнений с двумя неизвестными:

Таким образом, получили двойственные оценки ресурсов:

При этом общая оценка всех ресурсов .

Задача «о расшивке узких мест производства».

Экономико-математическая модель задачи:

При реализации оптимальной производственной программы какие-то ресурсы используются полностью, или образуют «узкие места производства». Для увеличения объема производства продукции предприятие будет заказывать их дополнительно. При этом ввиду сложившейся ситуации на рынке, поставщики могут предоставить дополнительные ресурсы любого вида в размере не более одной трети от первоначально используемого объема.

Требуется определить объем дополнительных ресурсов, при котором прирост прибыли от производства продукции будет максимален. При этом предприятие не должно изменять структуру выпуска (т.е. по прежнему выпускать только те виды продукции, которые оно выпускало до «расшивки»).

Дополнительный объем каждого из трех видов ресурсов представлен вектором-столбцом T:

В матричном виде модель будет выглядеть следующим образом:

Формулировка задачи «о расшивке узких мест производства».

Сформулируем задачу «о расшивке узких мест» с учетом нашего условия:

Обращенный базис, определяющий оптимальный план производства выпишем из последней симплексной таблицы:

Реализация оптимальной производственной программы предусматривает использование первого и третьего ресурсов полностью. Для увеличения объема производства продукции предприятие будет заказывать их дополнительно.

Требуется найти дополнительный объем ресурсов первого и третьего вида

при котором суммарный прирост прибыли Wбыл бы максимальным

при условии (неравенство вида заменяется равносильным неравенством):

А так же при условии

Графическое решение двойственной задачи «о расшивке узких мест производства».

Перепишем условие задачи в виде системы неравенств:

После преобразования получим следующую систему неравенств

которая описывает множество всех точек, лежащих в области, ограниченной линиями (при этом сами границы включаются в область допустимых значений):

Точки пересечения прямых-границ представлены в следующей таблице:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

1)

2)

(-124/3;-12)

3)

(-128;-142)

(276;382/3)

4)

(128/3;114)

(128/3;24)

(128/3;-254/9)

5)

(-16/9;142/3)

(874/9;142/3)

(156;142/3)

(128/3;142/3)

6)

(0;50)

(0;40/7)

(0;-170/3)

(0;142/3)

7)

(-100/3;0)

(-40/3;0)

(85;0)

(128/3;0)

(0;0)

Линии уровня функции Wперпендикулярны вектору градиентуgrad(W)=(8,6)и образуют семейство параллельных прямых. Наибольшее значение функцияZ достигает в точке (128/3;24).

Таким образом, получили дополнительные объемы ресурсов

Максимальный суммарный прирост прибыли составит

Сводка результатов:

cj

34 32 28 36

B

x4+i

Y

T

aj

2 4 5 3

3 0 4 1

3 5 0 2

128

130

142

0

8

0

8

0

6

42 2/3

0

24

xj

34 0 0 20

1876

485 1/3

dj

0 30 12 0

Транспортная задача линейного программирования.

В линейном программировании термином «транспортная задача» охватывается целый класс задач, характеризующихся определенной математической структурой. Название связано с математическим происхождением задачи: первоначальная математическая формулировка, действительно, родилась из анализа экономической ситуации, связанной с перевозкой грузов. Однако многие из задач не имеют ничего общего с транспортом и перевозками. Основная цель теории транспортной задачи – решение вопросов оптимального планирования. Ряд свойств разработанных методов позволяет также использовать их параметры для целей организации и управления различными производственными процессами.

Условие задачи.

Исходные данные задачи представлены в виде:

34 32 4 36

60 2 4 5 3

50 3 0 4 1

48 3 5 0 2

Что означает следующее:

Вектор-столбец A объемов производства имеет вид:

Вектор-строка В объемов потребления имеет вид:

Матрица транспортных издержек Cимеет следующий вид:

Экономико-математическая модель задачи:

Имеется три поставщика однородной продукции. Ее запасы описываются вектором A

Эта продукция используется четырьмя потребителями, запросы которых представлены вектором B:

Затраты на перевозку продукции определяются матрицей C:

Требуется составить такой план перевозок продукции от поставщиков к потребителям, при котором полностью удовлетворялись бы запросы всех потребителей, а суммарные расходы на перевозки были бы минимальными.

Объем продукции, который планируется перевезти представлен матрицей X:

В общем виде модель будет выглядеть следующим образом:

Формулировка транспортной задачи линейного программирования.

Сформулируем основную задачу линейного программирования с учетом нашего условия:

Требуется найти план перевозки продукции:

при котором расходы на перевозку были бы минимальными:

при этом должны полностью удовлетворяться запросы потребителей:

при имеющихся ограничениях по запасам продукции:

и при условиях неотрицательности (по смыслу задачи):

Решение транспортной задачи линейного программирования методом потенциалов.

Наша модель транспортной задачи является открытой, т.к. объем производства больше объема потребления. Для сведения задачи к замкнутой модели введем дополнительного (5-го) фиктивного потребителя, запросы которого составляют. При этом будем считать, что все поставщики равноправны и безразлично, у кого из них останутся излишки продукции. Все тарифы на поставки продукции к фиктивному потребителю положим равными нулю.

Составим таблицу, в первой строке которой запишем объемы потребления, а в первом столбце - объемы производства. В правых верхних углах клеток запишем затраты на перевозку единицы продукции. Объемы поставок будем записывать в центрах клеток. Для построения начального базисного допустимого решения воспользуемся правилом «северо-западного» угла. Обозначим через p – потенциалы поставщиков, а черезq– потенциалы потребителей. Используя следующее условие: оценочные коэффициенты для базисных неизвестных равны нулю, и полагая, найдем значения потенциалов для всех строк и столбцов. Затем, с помощью рассчитанных потенциалов, для каждой свободной клетки таблицы рассчитаем оценочные коэффициенты, значения которых запишем в правом нижнем углу клетки. Находим максимальную оценку из всех положительных оценочных коэффициентов. Для найденной свободной клетки (2;1) строим цикл пересчета: цикл с вершинами в клетках (2;1)-(1;1)-(1;2)-(2;2).

b1=34

b2=32

b3=4

b4=36

b5=52

P

a1=60

2

34

0

4

26

0

5

-4

3

-5

0

-3

p1=0

a2=50

3

2

7

6

0

4

4

0

1

36

0

0

4

0

p2=3

a3=48

4

1

6

1

6

-2

2

-1

0

48

0

p3=3

q

q1=2

q2=4

q3=1

q4=-2

q5=-3

В результате пересчета объема поставок по вершинам цикла клетка (2;1) становится базисной, а клетка (2;2) – свободной. В итоге получаем второе базисное решение. Полагая , рассчитываем потенциалы для всех строк и столбцов. Используя значения найденных потенциалов, определяем оценки для всех свободных клеток. Т.к. среди полученных оценок нет ни одной положительной, можно сделать вывод, что полученное решение является оптимальным.

b1=34

b2=32

b3=4

b4=36

b5=52

P

a1=60

2

28

0

4

32

0

5

-2

3

-3

0

-1

p1=0

a2=50

3

6

0

7

-2

4

4

0

1

36

0

0

4

0

p2=1

a3=48

4

-1

6

-1

6

-2

2

-1

0

48

0

p3=1

Q

q1=2

q2=4

q3=3

q4=0

q5=-1

Оптимальный план перевозки продукции будет следующим:

при этом расходы на перевозку составят:

Согласно найденному оптимальному плану перевозок, первый потребитель получит 28 единиц продукции от первого производителя и 6 единиц – от второго, второй потребитель получит 32 единицы продукции от первого производителя, третий потребитель получит 4 единицы продукции от второго производителя, четвертый потребитель получит 36 единиц продукции от второго производителя. Остаток невостребованной продукции у второго поставщика составит 4 единицы, а третий поставщик будет и вовсе не задействован в процессе перевозок, и вся его продукция в размере 48 единиц так и не покинет пределов склада.

Соседние файлы в предмете Прикладная математика