Анализ доходности и риска финансовых операций.

Рассмотрим четыре финансовых операции, доходы от которых представляют собой случайные величины, заданные дискретными рядами распределения:

Q1:

q	0	4	10	14
p	1/4	1/4	1/4	1/4

M(Q1)=7

D(Q1)=29

Q2:

q	2	6	12	20
p	1/4	1/4	1/4	1/4

M(Q2)=10

D(Q2)=46

Q3:

q	0	4	5	20
p	1/2	1/4	1/5	1/20

M(Q3)=3

D(Q3)=20

Q4:

q	2	6	8	22
p	1/2	1/4	1/5	1/20

M(Q4)=5.2

D(Q4)=20.96

Вполне разумно предположить, что среднее квадратическое отклонение является количественной мерой риска операции.

Нанесем средние ожидаемые доходы и риски на плоскость:

В нашем случае трудно сказать, какая операция лучшая, а какая худшая, т.к. ни одна из четырех точек не является доминирующе.

Для нахождения наилучшей операции воспользуемся взвешивающей формулой :

Принимая во внимание полученные значения взвешивающей формулы для всех операций, можно сказать, что в нашем случае наилучшей операцией является операция Q2, а наихудшей– операцияQ3.

Формирование оптимального портфеля ценных бумаг.

Рассмотрим портфель, состоящий из трех видов ценных бумаг, один из которых – безрисковые ценные бумаги.

Требуется распределение или доли капитала, вложенные в покупку ценных бумаг всех трех видов.

По условию задачи имеем:

Для рисковых ценных бумаг:

Необходимость в переформировании портфеля возникает, когда x<0. Это возможно при.

В результате решения задачи получаем следующее распределение долей капитала:

На покупку безрисковых ценных бумаг:

На покупку ценных бумаг первого вида:

На покупку ценных бумаг второго вида:

Где - ожидаемая эффективность портфеля.

Задача о кратчайшем пути на графе.

Задан следующий граф:

Требуется найти длину самого короткого пути из узла x1 в узелx8.

Введем для каждой вершины графа переменную и зададим ей начальные значения:

Для дуг , для которых, пересчитываем значение переменной в вершинеxjпо формуле

Кратчайший путь примет следующий вид: .

Его длина L=12.

Задан следующий граф:

Требуется найти длину самого короткого пути из узла x1 в узелx8.

Составим таблицу:

В центр клетки, находящейся на пересечении i-ой строки и j-ого столбца запишем длину дуги, соединяющей вершиныXi и Xj.

	1	2	3	4	5	6	7	8
1		5 5	4 4		2 2				U1=0
2				2 0					U2=5
3				1 1	2 -2	3 3			U3=4
4			1 -1			7 2		6 5	U4=5
5			2 2			5 5	8 8		U5=2
6			1 -3	4 -2	4 -5			3 3	U6=7
7								5 0	U7=10
8									U8=10
	V1=0	V2=5	V3=4	V4=5	V5=2	V6=7	V7=10	V8=10

Положим V1=0 и U1=0.

Посчитаем для j=2,..,8 значения Vj и Uj по следующей формуле:

Для каждой заполненной клетки, стоящей на пересечении i-ой строки иj-ого столбца, в правом нижнем углу запишем значение разности .

Т.к. для каждой заполненной клетки , то условие оптимальности выполняется при всех iиj.

Найдем кратчайшее растояние между вершиной X1 и вершинойX8. Для этого двигаясь из вершиныX8 к вершине X1, и проверяя выполнение равенства , находим все промежуточные вершины:

X1 - X3 - X6 - X8

X1 - X5 - X6 - X8

X1 - X5 - X3 - X6 - X8

Длина кратчайшего пути = 10.