Задача динамического программирования об управлении производством и запасами.

Еще одной из наиболее распространенных задач, решаемых методом динамического программирования, является нелинейная задача управления производством и запасами.

Условие задачи.

Исходные данные задачи представлены в виде:

1 2 3 2 3 1 1 2 3 1

Что означает следующее:

Объем ежемесячных заказов:

d1=1

d2=2

d3=3

Коэффициенты функции затрат на производство продукции:

a=2

b=3

c=1

Ежемесячные затраты на хранение единицы продукции:

h1=1

h2=2

h3=3

Начальный уровень запаса продукции y1=1.

Экономико-математическая модель задачи:

Предположим, некоторое предприятие, производящее продукцию определенного вида, получает заказ на несколько месяцев вперед. Размеры ежемесячных заказов распределены неравномерно, а меняются от месяца к месяцу. Возможно, в связи с этим, предприятию выгоднее произвести продукцию на несколько месяцев вперед и хранить ее на складе, чем производить каждый месяц заказанную партию продукции.

Введем обозначения:

dj - объем заказов наj-ый месяц

xj - объем производимой продукции заj-ый месяц

yj - объем продукции, оставшейся на складе к началуj-ого месяца

fj(xj, yj+1) – функция затрат на производство и хранение продукции вj-ом месяце.

Требуется составить план производства на указанный период, позволяющий предприятию удовлетворить запросы потребителей, при котором затраты на производство и хранение продукции будут минимальными.

В общем виде модель будет выглядеть следующим образом:

Формулировка задачи динамического программирования об управлении производством и запасами.

Сформулируем задачу управления производством и запасами с учетом нашего условия:

Требуется найти оптимальный план производства продукции , при котором суммарные затраты на производство и хранение продукции были бы минимальными:

При этом соблюдалось бы условие материального баланса:

и условие неотрицательности:

Решение задачи об управлении производством и запасами методом динамического программирования.

Для любого месяца j:

Величина запаса продукции к началу следующего месяца j+1должна удовлетворять ограничениям:

Объем производства продукции должен удовлетворять ограничениям:

Выполняться условия материального баланса:

Затраты на производство и хранение продукции представлены функцией:

Введем функцию состояния для этапа производства k, которая задается рекуррентным соотношением:

Выражение в фигурных скобках обозначим, как:

d1	d2	d3	a	b	c	h1	h2	h3	y1
1	2	3	2	3	1	1	2	3	1

При k=1 табулируем значение функции:

y2	x1	y1	1(x1,y2)
y2=0	x1=0	y1=1	1(0,0)=1
y2=1	x1=1	y1=1	1(1,1)=7
y2=2	x1=2	y1=1	1(2,2)=17
y2=3	x1=3	y1=1	1(3,3)=31
y2=4	x1=4	y1=1	1(4,4)=49
y2=5	x1=5	y1=1	1(5,5)=71

=y2	0 1 2 3 4 5
F1(=y2)	1 7 17 31 49 71
x1(=y2)	0 1 2 3 4 5

При k=2 табулируем значение функции:

y3	x2	y2	2(x2,y3)
y3=0	x2=0 x2=1 x2=2	y2=2 y2=1 y2=0	2(0,0)=18 2(1,0)=13 2(2,0)=16
y3=1	x2=0 x2=1 x2=2 x2=3	y2=3 y2=2 y2=1 y2=0	2(0,1)=34 2(1,1)=25 2(2,1)=24 2(3,1)=31
y3=2	x2=0 x2=1 x2=2 x2=3 x2=4	y2=4 y2=3 y2=2 y2=1 y2=0	2(0,2)=54 2(1,2)=41 2(2,2)=36 2(3,2)=39 2(4,2)=50
y3=3	x2=0 x2=1 x2=2 x2=3 x2=4 x2=5	y2=5 y2=4 y2=3 y2=2 y2=1 y2=0	2(0,3)=78 2(1,3)=61 2(2,3)=52 2(3,3)=51 2(4,3)=58 2(5,3)=73

=y3	0 1 2 3
F2(=y3)	13 24 36 51
x2(=y3)	1 2 2 3

При k=3 табулируем значение функции:

y4	x3	y3	3(x3,y4)
y4=0	x3=0 x3=1 x3=2 x3=3	y3=3 y3=2 y3=1 y3=0	3(0,0)=52 3(1,0)=42 3(2,0)=39 3(3,0)=41

=y4	0
F3(=y4)	39
x3(=y4)	2

Оптимальный план производства продукции имеет следующий вид: . Данный план производства позволяет предприятию выполнить заказы потребителей при минимальных затратах на производство и хранение продукции равным 39.