1.Ф-ция распред-я случ. Вел-ны и ее св-ва.

Вспомним; что дискр. случ. вел-на м.б. задана перечнем всех ее возм. знач-й в-тей. Такой способ задания не явл. общим, он неприменим, напр, для непрерывн. случ.вел-н. Действит-но, рассм-м случ. вел-ну X, возм. знач-я к-рой сплошь заполняют интервал (а,b) .Можно ли сос-тавить перечень всеx возм. знач-й Х. Очевидно, что этого сделать нель-зя. Этот пример указ-ет на целесообр-ть дать общ. способ задания люб. типов случ. вел-н. С эт. целью и вводят ф-ции распред-я в-тей случ. вел-ны. Пусть х—действит. число. В-ть соб-я, состоящего в том, что Х примет знач-е, меньшее х т. е. в-ть соб-я Х < х, обозначим ч-з F (х). Разумеется, если х изменяется, то изм-ся F(х), т. е. F(x)—ф-ция от х. Ф-цией распред-я наз. ф-цию F (х), опре­-щую в-ть того, что случ.вел-на Х в рез. испыт-я примет знач-е/меньшее х, т. е. F(x)=P(X<x).

Геом-ки это рав-во можно истолковать так:F(x) есть в-ть того, что случ. вел-на примет знач-е, к-рое изображается на числ. оси точкой, лежащей левее точки х. Иногда вместо термина «ф-ция распред-я» тользуют термин «интегральн. ф-я». Теперь можно дать более точн. опред-е непрер. случ.й вел-ны: случ. вел-ну наз. непрер., если ее ф-ция распред-я есть непрер., кусочно-дифференцируемая ф-ция с непрер. производной. Св-ва ф-ции распред-я: Св-во№1 знач-я ф-ции распред-я принадлежат отрезку (0;1): ________________________ Д-во: св-во вытекает из опред-я ф-ции распред-я как в-ти: вер-ть всегда есть неотр. число, не превышающее ед-цы. Св-во№2: F(х) – неубывающая ф-ция, т.е. _____________________________ Д-во: пусть х2>х1. Соб-е, сост-ее в том, что Х примет знач-е, меньшее х2, можно подразделить на след. два не совместных соб-я: 1) Х примет знач-е, меньшее х1, с в-тью Р(Х<х1); 2) Х примет знач-е, удовл-ее нер-ву ____________________, с в-тью ______________________________ По теореме слож-я имеем

Отсюда

Или

Так как любая вер-ть есть число неотр., то_____________________ или _____________, ч.т.д. Следствие 1:Вер-ть того, что случ. Вел-на примет знач-е, закл-ное в интервале (а,b), равна приращ-ю ф-ции распред-я на эт. интервале

Это важн. следствие вытекает из фор-лы (*), если положить х2=b и х1=а. Следствие2: вер-ть того, что непрерывн. случ. Вел-на Х примет одно опред. знач-е, равна нулю. Действ-но, положив в ф-ле (**) ______________________ имеем

Устремим _____ к нулю. Так как Х- непрер. случ. Вел.на, то ф-ция F(х) непрерывна. В силу непрер-ти F(х) в точке х1 разность _____________ ____________ также стремится к нулю; =>, Р(Х=х)=0. Используя это положение, легко убедиться в справедл-ти рав-в:

Напр, равво______________________________________ доказывается так:

Т.о., не представляет интереса говорить о в-ти того, что непрер. случ. вел-на примет одно опред. знач-е, но имеет смысл рассм-ть вер-ть по-падания ее в интервал, пусть даже сколь угодно малый. Этот факт полн-ю соотв-ет требованиям практич. Задач. Напр, интересуются вер-тью того, что р-ры деталей не выходят за дозвол. границы, но не ставят вопроса о в-ти их совпадения с проектным размером. Заметим, что было бы неправильным думать, что рав-во нулю вер-ти Р(Х=х1) означает, что соб-е Х=х1 невозможно (если, конечно, не ограни-чиваться клас. опред-ем в-ти). Действ-но, в рез. исп-я случ. вел-на обяз-но примет одно из возм. знач.; в част-ти, это знач-е может оказа-ться равных х1. Св-во№3: если возм. знач-я случ. вел-ны принадлежат интервалу (а; b), то: 1) F(x) =0 при______ 2) ) F(x) =1 при______ Д-во:1) пусть _________. Тогда соб-е _______ невозм-но ( так как знач-й, меньших х1, вел-на Х по усл. не принимает) и, =>, вер-ть его равна ну-лю. 2) пусть ________ Тогда соб-е ________ достоверно (так как все возм. знач-я Х меньше х2) и, =>, вер-ть его равна ед-це. Следствие: если возм. знач-я непрер. случ. вел-ны расположены на всей оси х, то справедливы след. предел. соотн-ниея:

=====================================================

Билет№15

(1) Закон распред-я Пуассона; пуассоновское распред-е как преде-льное для биноминального. Пусть производится п независ. исп-й, в кажд. из к-рых в-ть появл-я соб-я А равна р. Для опред-я в-ти k появл-й соб-яв этих исп-ях исп-ют ф-лу Бернулли. Если же п велико, то польз-ся асимптотич. ф-лой Лапласа. Однако эта ф-ла непригодна, если в-ть соб-я мала (p^O.l). В эт. случаях (n велико, р мало) прибегают к асимптотич. ф-ле Пуассона. Итак. поставим перед собой задачу найти в-ть того, что при оч. больш. числе исп-й, в кажд. из к-рых в-ть соб-я оч. мала, соб-е наступит ровно k раз. Сделаем важн. допущение: Про­изв-е nр сохраняет постоян. знач-й, а именно ________. Как будет следовать из дальнейш.это означает, чти ср. число появлений соб-я в разл. сериях исп-й, т. е. при разл. знач-ях n, остается неизм-м. Воспользуемся ф-лой Бернулли для вычисл-я интересующей нас в-ти:

Так __________то ______ =>,

Приняв во внимание, что n имеет оч. большое знач-е, вместо _________ найдем ___________При этом будет найдено лишь приближ. знач-е отыскиваемой вер-ти: n хотя и велико, но конечно, а при отыскании

предела мы устремим п к бесконеч-ти. Заметим, что скольку произведение пр сохраняет постоян. знач-е, то при ________ вер-ть _________. Итак

|

К Т.о. (для простоты записи знак приближения рав-ва опущен),

Эта ф-ла выраж. закон распр-я Пуассона вер-тей массов.( n –велико) и редких (р мало) соб-й

Когда требуется спрогнозировать ожидаемую очередь и разумно сбалансир-ть число и производит-ть точек обслуж-я и время ожидания в очереди. Пуассоновским наз. закон распред-я дискр. случ. вел-ны Х числа появл-я некот. соб-я в n-независ. опытах если в-ть того, что соб-е появится ровно m раз определяется по ф-ле.

a=np

n-число проведенных опытов

р-в-ть появл-я соб-я в кажд. опыте

В теории массов.обслуж-я парам-р пуас-кого распред-я опред-ся по ф-ле

а=λt , где λ – интенсив-ть потока сообщений t-время

Необх-мо отметить, что пуас-кое распред-е явл. предел. случаем бином-го, когда исп-й стремится к бесконеч-ти, а в-ть появл-я соб-я в кажд. опыте стремится к 0.

Пуас. распр-е явл. единичн. распр-ем для к-рого такие хар-ки как МО и дисперсия совпадают и они равны парам-ру этого закона распред-я а.

=====================================================

Билет 14.

(1)Схема опытов Бернулли. Бином. зак. распред-я. Ф-ла Бер-нулли Если произв-ся неск. испыт-й, при­чем в-ть соб-я А в кажд. исп-и не зависит от исходов др. исп-й, то такие исп-я наз. независ-ми отн-но соб-я А.В разн. незав. исп-ях соб-е А мож. иметь либо различн. в-ти, либо одну и ту же в-ть. Будем далее рассм-ть лишь такие независ. исп-я, в к-рых соб-е А имеет одну и ту же в-ть.Ниже воспользуемся поня-тием сложн. соб-я, по­нимая под ним совмещение неск. отдельн. соб-й, к-рые наз. простым.Пусть производится n независ. исп-й, в кажд. из к-рых соб-е А мож.появиться либо не появиться. Условимся считать, что в-ти соб-я А в кажд. исп-ии одна и та же, а именно равна р. =>, в-ть ненаступл-ия соб-я А в кажд. исп-и также постоянна и равна q=1-р. Поставим перед собой задачу вычислить в-ть того, что при п исп-ях соб-е А осуществится ровно k раз и, =>, не осущ-ся n-k раз. Важно подчеркнуть, что не требуется, чтобы соб-е А повторилось ровно k раз в опред.й по=>сти. Напр, если речь идёт о появл-и соб-я А три раза в 4 исп-ях, 'тo возм-ны след. сложн. соб-я: АААА, АААА, АААА, АААА. Запись АААА означ., что в перв., втор. и третьем исп-ях соб-е А наступило, а в четверт. исп-и оно не появилось, т. е. наступило про-тивоп. соб-е А; соответственный смысл имеют и др. записи.Искомую в-ть обозначим,_________ Напр, символ Р5(3) означает в-ть того, что в пяти исп-ях соб-е появятся ровно 3 раза и, =>, не наступит 2 раза. Поставленную задачу можно решить с пом. так наз. ф-лы Бернулли. Вывод ф-лы Бернуллн. В-ть одного сложн. соб-я, сост-го в том, что в п исп-ях соб-е А наступит k раз и не наступит n—k раз, по теореме умнож-я в-тей независ. соб-й равна __________Таких сложн. соб-й м.б. столько, ск. можно составить сочетаний из п эл-тов по k эл-тов, т.е. ____. Так как эти сложн. соб-я несовместны, то по теореме слож-я в-тей несовм. соб-й иском. в-ть равна сумме в-тей всех возм. сложн. соб-й. Поскольку же в-ти всех этих сложн. соб-й одинаковы, то иском. в-ть (появл-я k раз соб-я А в п исп-ях) равна в-ти одного сложн. соб-я, умноженной на их число:

или

Полученную ф-лу наз. ф-лой БернуллиПусть производится га независ. исп-й, в кажд. из к-рых соб-е А может появиться либо не появиться. В-ть наступления соб-я во всех

исп-ях постоянна и равна р (=>, в-ть непоявл-я q ==1—р). Рассм-м в кач. дискр. случ. вел-ны X число появлений соб-я А в этих исп-ях. Поставим перед собой задачу: найти закон распред-я вел-ны X. Для ее реш-я требуется опред-ть возм. знач-я Х и их в-ти. Очевидно, соб-е А в n исп-ях мож. либо не появиться, либо появиться 1 раз, либо 2 раза, ..., либо п раз. Т.о., возм. знач-я Х таковы: ________________________________________Остается найти в-ти этих возм. знач-й, для чего достаточно восполь­з-ся ф-лой Бернулли:

(*)

где k=0, 1, 2, ..., n

Ф-ла (*) и явл. аналитич. выраж-ем иском. закона распред-я. Биномиальным наз. распред-е в-тей, опред-мое ф-лой Бернулли. Закон назван «бино­м-ым» потому, что правую часть рав-ва (*) можно рассм-ть как общ. член разложения бинома Ньютона:

Т.о., перв. член разлож-я _____ опреде­ляет в-ть наступл-я рассм-го соб-я n раз в n независ. исп-ях; втор. член ____________опред-ет в-ть наступл-я соб-я n—1 раз; ...; последн. член q" опред-ет в-ть того, что соб-е не появится ни разу.Напишем бином. закон в виде таблицы:

Бином-ым наз. законы распр-я случ. вел-ны Х числа появл-я не-кот. соб-я в n опытах если в-ть р появл-я соб-я в кажд. опыте постоянна

Сумма в-тей представляют собой бином Ньютона

Для опред-я числ. хар-к в биномиальное распред-е подставить в-ть к-рая определяется по ф-ле Бернули.

При биномиальном распределении дисперсия равна мат. Ожиданию умноженному на в-ть появл-я соб-я в отдельном опыте.

2.Интервальн. оценка числ. хар-к. Доверительн. интервал. Осн. опред-я.Точечной наз. оценку, к-рая опред-ся одним числом. При выборке малого объема точечн. оценка мож. значит-но отличаться от оцениваемого парам-ра, т.е. приводить к грубым ошибкам. По этой причине при небольш. объеме выборки следует польз-ся интервальн. оценками.

Интервальной наз. оценку, к-рая определяется 2-мя числами - концами интервала. Интервальные оценки позволяют установить точ-ть и надеж-ть оценок. Пусть найденная по данным выборки статистич. хар-ка служит оценкой неизвестн. парам-ра .Будем считать постоян. числом. Если >0 и < , то чем меньше , тем оценка точнее. Т.о., полож. число хар-ет точ-ть оценки.

Однако стат. методы не позвол. категорич-ки утверждать, что оценка удовл. нер-ву ; можно лишь говорить о в-ти , с к-рой это рав-во осущ-ся.

Надеж-тью (доверительной в-тью) оценки по наз. в-ть , с к-рой осущ-ся нерав-во . Обычно надеж-ть оценки задается наперед, причем в кач. берут число, близкое к ед-це.Наиб. часто задают надеж-ть равную 0.95; 0.99; 0.999.Пусть в-ть того, что равна :

см.стр213

Заменив нерав-во равносильным ему двойным нерав-вом или имеем

Это соотне следует понимать так: в-ть того, что интервал заклет в себе неизвестн. парам-р , равна .

Доверительным интервалом наз. интервал , к-рый покрывает неизвестн. парам-р с заданной надеж-тью .

От выборки к выборке будут меняться концы доверительного интервала, т.е. доверит. границы сами являются случайными вел-нами.

=====================================================

Билет 12.

(1) МО дискр. Случ. Вел-ны

МО-ем дискр. случ. Вел-ны наз. сумму произведений всех ее возм. знач-й на их в-ти. Пусть случ. вел-на Х может принимать только знач-я х1, х2, …хn, вер-ти к-рых соотв-но равны р1, р2….рn. Тогда МО М(х) случ. вел-ны Х опред-ся рав-вом:

Если дискр. случ. Вели-наХ приним. счетное мн-во возм. знач-й, то

Причем МО сущ-ет, если ряд в правой части рав-ва сходится абс-но. Итак, МО числа появлений соб-я в одной испыт-и равно вер-ти этого соб-я. Св-во№1: МО постоян. вел-ны равно самой постоянной: М(С)=С. Д-во: будем рассм-ть постоянную С как дискр. случ. вел-ну, к-рая имеет одно возм. знач-е С и принимает его с вер-тью р=1. След-но: М(С)=С*1=С. Св-во№2: постоян. множ-ль можно выносить за знак МО: М(СХ)=СМ(Х). Д-во: пусть случ. Вел-на Х задана законом рас-пред-я вер-тей:

Напишем закон распр-я случ. Вел-ны СХ:

МО случ. Вел-ны СХ:

Итак:

Св-во№3: МО произв-я двух независ. случ. Вел-н равно произв-ю их матем. Ожиданий:________________________. Д-во: пусть независ. случ. Вел-ны Х и У заданы своими законами распред-я вер-тей:

Составим все знач-я, к-рые может принимать случ. Вел-на ХУ. Для этого перемножим все возм. знач-я Х на кажд. возм. знач-е У; в итоге получим ______________. Напишем закон распред-я ХУ, предполагая для простоты, что все возм. знач-я произв-я различны (если это не так, то д-во производится аналогично):

МО равно сумме произведений всех возм. знач-й на их вер-ти:

Или

Итак,

Следствие: МО произв-я неск. взаимно независ. случ. Вел-н равно произв-ю их мат. Ожиданий. Напр, для трех случ. Вел-н имеем:

Св-во№4: МО суммы двух случ. Вел-н равно сумме МО слагаемых:

Д-во: пусть случ. вел-ны Х и У заданы следующими законами расп-я:

Составим все возм. знач-я вел-ны Х+У. Для этого к кажд. возм. знач-ю Х прибавим кажд. возм. знач.е У; получим ____________________________________. Предположим для прос-тоты, что эти возм. знач-я различны, и обозначим их вер-ти соотв-но ч-з __________________ МО вел-ны Х+У равно сумме произв-й возм. знач-й на их вер-ти:

Или

Докажем, что _________________. Соб-е, состоящее в том, что Х примет знач-е х1 (вер-ть этого соб-я равна р1) влечет за собой соб-е, к-рое сост. в том. Что Х+У примет знач-е х1+у1 или х1+у2 (вер-ть этого соб-я по теореме слож-я равна р11+р12), и обратно. Отсюда и следует, что р11+р12=р1. Аналогично док-тся рав-ва

Подставляя правые части этих равенств в соотн-ниее (*) получим

Или окончательно

Следствие: мо суммы неск. случ. Вел-н равно сумме МО слагаемых. Напр для трех слагаемых вел-н имеем:

2.Выборочн. оценивание ф-лой распред-я. Гистограмма.

Для нагляд-ти строят разл. гр-ки стат. распред-я и , в част-ти, поли-гон и гистограмму. Полигон исп-ся для дискр. вел-н. В случае непрер. признака целесообразно строить гистограмму, для чего интервал, в к-ром заключены все наблюдаемые знач-я признака, разбивают на неск. частичн. интервалов длиной h и находят для кажд. частичн. интервала n₁ – сумму частот вариантов, попавших в I-тый интервал.

Гистограммой частот наз.ступенчатую фигуру, сост-ю из прямо-угольников, основаниями к-рых служат частичн. интервалы длиною h, а высоты равны отн-ю n_i/h (плот-ть частоты). Для построения гисто-граммы частот на оси абсцисс отклад-ют частичн. интервалы, а над ни-ми проводят отрезки, пар-ные оси абсцисс на расст. n_i/h. Площадь гис-тограммы частот равна сумме всех частот, т.е. объему выборки.

Гистограммой отн-ных частот наз. ступенчатую фигуру, основаниями к-рой служат частичн. интервалы длиною h, а высоты равны отн-нию W_i/h (плот-ть отн-ной частоты). Для построения этой гист-мы на оси абсцисс отклад-ют частичн. интервалы, а над ними проводят отрезки, пар-ные оси абсцисс на расст. W_i/h. Площадь I-го частичного п/у равна hW_i/h = W_i - отн-ной частоте вариант, попавших в I-й интервал. =>, площадь гистограммы отн-ных частот равна сумме всех отн-ных частот, т.е. ед-це.

====================================================

Билет 16.

(1)Геом. закон распред-я дискр. сл. Вел-ны. Пусть произв-ся незав. исп-я, в кажд. из к-рых в-ть появл-я соб-я А равна р (0 < р<1) и, =>, вер-ть его непоявл-я q=1-р. Исп-я заканчиваются, как только появится соб-е А. Т.о., если соб-е А появилось в k-том исп-и, то в предшеств. k-1 исп-ях она не появилось. Обозначим ч-з Х дискрет. Случ. Вел-ну – число исп-й, к-рое нужно провести до перв. появл-я соб-я А. Оче-видно, возм. знач-ями Х явл. Натур. числа: х1=1, х2=2. Пусть в перв. k-1 исп-ях соб-е А не наступило, а в k-том исп-и появилось. Вер-ть этого «сложн. соб-я», по теореме умнож-я вер-тей независ. соб-й: Р(Х=k)=q^k-1p (*). Полагая k=1,2,… в ф-ле (*), получим геом. прогрессию с перв. членом р и знаменателем q (0 < q<1): р, qp, q²p…,q^k-1p, …(**). По этой причине распред-е (*) наз. геом.. Легко убедиться, что ряд (**) сходится и сумма его равна ед-це. Действительно, сумма ряда (**) р/(1-q)=р/р=1

2.Проверка гипотез, ошибки 1-го и 2-го рода. Мощ-ть критерия.

Часто необх-мо знать закон распред-я генер. совок-ти. Если закон распред-я неизвестен, но имеются основания предположить, что он имеет опред. вид (назовем его А), выдвигают г-зу: ген.совок-ть распределена по закону А. Т.о., в этой г-зе речь идет о виде предполагаемого распред-я.Возможен случай, когда закон распред-я известен, а его парам-ры неизвестны. Если есть основания предпо-ложить, что неизвестный парам-р @ равен опред.му знач-ю @₀, то выдвигают г-зу: @=@₀. Т.о., в этой г-зе речь идет о предпо-лагаемой вел-не парам-ра одного известного распред-я.Стат. наз. г-зу о виде неизвестного распред-я, или о парам-рах извест-ных распред-й. Нулев. (основной) наз. выдвинутую г-зу Н₀. Конкурирующей (альтернативной) – г-зу Н₁, к-рая прот-чит нулев.. Простая - содержащая только одно предполож-е. Сложная – сост. из конечн. или бесконечн. числа простых гипотез.Критич. обл-тью наз. совок-ть знач-й критерия, при к-рых нулевую г-зу отвергают. Обл-тью принятия г-зы (обл-тью допустимых знач-й) наз. совок-ть знач-й критерия, при к-рых г-зу принимают. Основной прин-цип проверки стат. г-з можно сформул-ть так: если наблюдаемое знач-е критерия принадл. критич. обл-ти – г-зу отвергают, если наблюдаемое знач-е критерия принадл. обл-ти принятия г-зы – г-зу принимают.

Стат. критерием наз. случ. вел-ну К, к-рая служит для проверки нулев. г-зы. Напр, если проверяют г-зу о рав-ве дисперсий двух норм. ген. совок-тей, то в кач. критерия К принимают отн-ниее исправленных выборочн. дисперсий.Выдвинутая г-за м.б. правильной или неправ-ой, поэтому возникает необх-мость ее проверки. В итоге стат. проверки г-зы в двух случаях м.б. принято неправ. реш-е, т.е. м.б. допущены ошибки двух родов. Ошибка 1-го рода сост.в том, что будет отвергнута прав. г-за. Ошибка 2-го рода – будет принята неправ-я.В-ть совершить ошибку перв. рода принято обозначать ч-з λ; ее наз. ур-нем значи-мости. Наиб. часто ур-нь значим-ти приним. равным 0.05 или 0.01.Если напр принят ур-нь значимости 0.05, то это означает, что в пяти случаях из100имеется риск допустить ошибку перв. рода.Мощ-тью критерия наз. в-ть попадания критерия в критич. обл-ть при условии, что спра-ведлива конкурирующая г-за. Др. словами, мощ-ть критерия есть в-ть того, что нулевая г-за будет отвергнута, если верна конкурирующая г-за. Если ур-нь значимости уже выбран, то критич. обл-ть следует стро-ить так, чтобы мощ-ть критерия была максимальной. Выполнение эт. требования должно обесп-ть миним. ошибку втор. рода, что, конечно, желательно.

=====================================================

№18(1) МО непрер. сл. вел-ны и его свойства. (стр. 125) МОм непрер. случ. Вел-ны Х, возм. знач-я к-рой принадлежат отрезку (а;б), наз. опред. интеграл

Если возм. знач-я принадлежат всей оси Ох, то

Предполагается, что несобственный интеграл сходится абсолютно, т.е. сущ-ет интеграл _______________________. Если бы это требование не выполнялось, то знач-е интеграла зависело бы от скорости стремления ( в отдельности) нижнего предела к _________, а верхнего к _______________.

№18(2) Сравнение исправленной выборочной дисперсии с гипотетической генер. дисперсией норм. совок-ти. Пусть генер. совок-ть распределена нормально, причем генер. дисперсия хотя и неизвестна, но имеются основания предполагать, что она равна гипотет. (предполагаемому) знач-ю _____ (стр. 293). На прак­тике ___ устанавливается на осн. предшествую-|щег6 опыта иди теор-ки. Пусть из генер. совок-ти извлечена выборка объема ___ и по ней найдена исправленная выборочная дисперсия __________________ степенями свободы. Требуется по исправленной дисперсии при заданном ур-не значи­мости проверить рулевую г-зу, состоящую в том, что генер. дисперсия рассм-мой совок-ти равна гипотет. знач-ю _____. Учитывая, что S² явл. несмещенной оценкой генер. дисперсии, нулевую г-зу можно записать так:

Итак, требуется проверить, что МО исправленной дисперсии равно гипотет. »иачению генер. дисперсии. Др. словами, тре­буется, установить, значимо или незначимо различаются исправленная выборочная и гипот. генер. дисперсии. На' практике рассм-мая г-за проверяется, если нужно Проверить точ-ть приборов, инструментов, станков, методов исследования и уст-ть тех. процессов. Напр, если известна допустимая хар-ка рассеяния контролируемого размера деталей, изготавливаемых станком-автоматом, равная ______ найденная по выборке окажется значимо больше _______ станок требует подналадки. В кач. критерия проверки нулев. г-зы примем случ. вел-ну ___________. Эта вел-на случ., потому что в разных опытах S² принимает различные, наперед неизвестные знач-я. Поскольку можно доказать, что она имеет распред-е _______________степенями свободы, обозначим

ч-з ____.Итак, критерий проверки нулев. г-зы

Критическая обл-ть строится в зависимости от вида конкурирующей г-зы. Первый случай. Нулевая г-за _______________ Конкурирующая г-за __________________

В этом случае строят правостороннюю критич. обл-ть, исходя из требования, чтобы в-ть попадания критерия в эту обл-ть в предположении справедливости нулев. г-зы была равна принятому ур-ню значимости:

Критич. точку ___________ находят по табл. критич. точек распред-я ______, тогда правосторонняя критическая обл-ть определяется нерав-вом _________, а обл-ть принятия нулев. г-зы - нерав-вом _______________. Обозначим знач-е критерия, вычисленное по данным наблюдений, ч-з __________ и сформулируем правило проверки нулев. г-зы. Правило 1. Для того чтобы при заданном ур-не значимости проверить нулевую г-зу _____________ о рав-ве неизвестной генер. дисперсии норм. совок-ти гипотет. знач-ю при конкурирующей г-зе _______________ надо вычислить наблюдаемое знач-е критерия ________________ и по табл. критич. точек распред-я заданному ур-ню значимости __ и числу степеней свободы __________критич. точку ________.

Если ____________ - нет оснований отвергнуть нулевую г-зу. Если ____________ - нулевую г-зу отвергают. Второй случай. Нулевая г-за ______________.Конкурирующая г-за ___________________.

В этом Случае строят двустороннюю критич. обл-ть, исходя из требования, чтобы в-ть попа­дания критерия в эту обл-ть в предположении справед­ливости нулев. г-зы была равна принятому ур-ню

значимости ____. Критич. точки—левую и правую границы критич. обл-ти—находят, требуя, чтобы в-ть по­падания критерия в каждой из двух интервалов критич. обл-ти была равна __/2:

В табл. критич. точек распред-я ____ ука­заны лишь «правые» критич. точки, поэтому возни­кает кажущееся затруднение в отыскании «левой» критич. точки. Это затруднение легко преодолеть, если принять во внимание, что соб-я ___________________________ противоположны и, =>, сумма их в-тей равна ед-це:

Отсюда

Мы видим, что левую критич. точку можно искать как правую (и значит, ее можно найти по табл.), исходя из требования, чтобы вер-ть попадания критерия в интервал, расположенный правее этой точки, была равна ____________. Правило 2 для того чтобы при заданном ур-не значимости ____ проверить нулевую г-зу о рав-ве неизвестной генер. дисперсии ____ норм. совок-ти гипотет. знач-ю ______ при конкурирующей г-зе _______________, надо вычислить наблюдаемое знач-е критерия ________________ и по табл. найти левую критич. точку __________________ и правую критич. Точку ______________. Если ________________________ - нет оснований отвергнуть нулевую г-зу. Если ________________ или ____________________ - нулевую г-зу отвергают. Третий случай: конкурирующая г-за ______________. Правило 3: при конкурирующей г-зе _______________ находят критич. точку _____________. Если ________________________ - нет оснований отвергнуть нулевую г-зу. Если ________________ или ____________________ - нулевую г-зу отвергают.

======================================================== Билет 17.

(1) Опред-е непрер. с.в. Плот-ть распред-я и ее св-ва. Непрерывную случ. Вел-ну можно задать используя ф-цию плот-ти распред-я или плот-ти вер-ти. Плот-ть распред-я вер-тей непрер. случ. вел-ны Х наз. ф-цию f(х) – перв. производную от ф-ции распред-я F(х):_______________. Из этого опред-я следует, что ф-я распред-я явл. первообразной для плот-ти распред-я. Св-ва: св-во№1: плот-ть распр-я неотриц. Ф-я ______. Д-во: ф-я распр-я неубывающая ф-я, =>, ее производная ___________ ф-я неотриц-ая. Геом-ки это св-во означает, что точки, принадл-щие гр-ку плот-ти распр-я, располо-жены либо над осью Ох, либо на этой оси. Гр-к плот-ти расп-я наз. кривой распред-я. Св-во №2: несобственный интеграл от плот-ти распр-я в пределах от ____________ равен ед-це:

Д-во: несобствен. Интеграл _______________ выражает вер-ть соб-й, состоящего в том, что случ. вел-на примет знач-е, принадл-щее интервалу __________. Очевидно, такое соб-е достоверно, =>, вер-ть его равна ед-це. Геом-ки это означает, что вся площадь криволин. трапеции, ограниченной осью Ох и кривой распр-я равна ед-це. В част-ти, если все возм. знач-я случ. вел-ны принадлежат интервалу (а,b), то