2.5. Лемма Лоренца

Лемма Лоренца устанавливает связь между полями, возбуждаемыми в пространстве двумя независимыми системами сторонних токов. Чтобы воспользоваться методом комплексных амплитуд, обе системы токов должны иметь одинаковую частоту. Для простоты не будем учитывать потери.

Первая совокупность гармонических токов исоздает электромагнитное поле с комплексными амплитудамии, которые удовлетворяют системе уравнений Максвелла

(2.30)

Вторая совокупность исоздает поля с комплексными амплитудамии .

(2.31)

Преобразуем эти уравнения примерно так же, как мы поступали в предыдущем разделе. Для этого умножим второе уравнение системы (2.31) на, а первое уравнение системы (2.30) на -и сложим их. Учтем, что для любой пары векторови

Тогда слева получим дивергенцию от векторного произведения и, а справа комбинацию произведений токов и полей.

- (i+ +i+ ). (2.32)

Аналогично, умножим первое уравнение системы (2.31) на , а второе (2.30) на (-) и сложим их.

- (i+ + i+ ). (2.33)

После вычитания из (2.32) выражения (2.33) получим соотношение, которое и называют леммой Лоренца в дифференциальной форме.

-=- + - . (2.34)

Векторные произведения иможно интерпретировать как взаимные векторы Пойнтинга двух независимых электромагнитных процессов.

Чтобы получить интегральную форму, проинтегрируем (2.34) по объему, в который включены интересующие нас токи, и преобразуем левую часть в интеграл от потоков взаимных векторов Пойнтинга по ограничивающей объем поверхности, воспользовавшись теоремой Остроградского-Гаусса.

(- + - )dV(2.35)

Лемма Лоренца широко используется при анализе процессов возбуждения электромагнитных волн.

6. Потенциалы электромагнитного поля

Во многих задачах необходимо знать численное значение амплитуды и фазы электромагнитного поля. Это задачи излучения электромагнитных волн, возбуждения электромагнитных волн в резонаторах и волноводах, подвода энергии к линии передачи. Такие задачи можно решать с помощью волновых уравнений (2.8, 2.9) и неоднородных уравнений Гельмгольца (2.13, 2.14). Однако эти уравнения очень громоздки и содержат в правой части производные. Целесообразно ввести новые векторные функции такие, которые были бы связаны с и простыми соотношениями, а уравнения для них не содержали бы дифференциальные операции в правой части. Такие функции, называемые потенциалами, существуют. Их вводят, пользуясь не уравнениями Гельмгольца, а уравнениями Максвелла.

Введем комплексную амплитуду для потенциалов, воспользовавшись комплексной формой уравнений Максвелла (2.1.3, 2.1.4). Будем анализировать линейный процесс, для которого выполняется принцип суперпозиции и каждое из уравнений можно разбить на два. Одно будет содержать в правой части электрический заряд, или ток, а второе – магнитный. Объединим уравнения с электрическими зарядами и токами в одну систему, а с магнитными зарядами и токами в другую. Тогда из (2.1.3, 2.1.4) получим две системы уравнений. Уравнения с электрическими источниками:

;;

, (2.36)

и уравнения с магнитными источниками:

;;

. (2.37)

Если будет найдено решение одной системы, то решение другой несложно получить, используя принцип перестановочной двойственности.

Электрические потенциалы поля получим, решая первую систему (2.36). Сначала рассмотрим два уравнения с нулевой правой частью. В первом из них воспользуемся векторным тождеством, которое выполняется для любого вектора :

divrot= 0.

Тогда можно утверждать, что есть ротор какого-то вектора, то есть

=rot; = rot, (2.38)

где - произвольный вектор, которыйназывают векторным электрическим потенциалом.Ротор векторного электрического потенциала определен равенством (2.38), а дивергенция может быть произвольной. В дальнейшем мы используем произвольностьdivдля того, чтобы упростить уравнения, описывающие векторный потенциал.

Теперь рассмотрим другое уравнение системы (2.36) с нулевой правой частью. Если вместо подставить его выражение через векторный потенциал из (2.38), то получим:

.

Учтем то обстоятельство, что ротор – это дифференциальный оператор, а производная от суммы равна сумме производных. Тогда последнее соотношение можно переписать в виде:

rot (+i) = 0.

Воспользуемся известным векторным тождеством, которое утверждает, что для любого скаляра 

rotgrad= 0.

Тогда можно ввести скалярный электрический потенциал , для которого выполняется равенство

+ i= - grad , = - i- grad . (2.39)

Итак, электрическое и магнитное поле легко посчитать, используя электрический и магнитный потенциалы. Это пока почти произвольный вектор и скаляр, но эту произвольность можно устранить, воспользовавшись второй парой уравнений (2.36). Потенциалы будут выражены через электрический заряд и ток. Возьмем последнее уравнение системы (2.36)

и подставим в него вместо и их выражение через потенциалы. Тогда получим первое уравнение для потенциалови. :

rot rot+ igrad – ² =. .(2.40)

Умножим уравнение на и воспользуемся тождеством

rot rot = grad div– .

Тогда (2.40) преобразуется к виду:

grad div - + i grad - ² =.

В выражение входит два слагаемых с градиентом. Объединим их и используем обозначение для (2.12)

-  +grad(div + ) - ²= . (2.41)

Теперь воспользуемся произвольностью в выборе divи выберем ее так, чтобы выражение в скобках было равно нулю.

div+ = 0;div= –. (2.42)

Соотношение (2.42) называют калибровкой Лоренцадля потенциалов. Воспользуемся калибровкой Лоренца для упрощения выражения (2.41).

 + ²= - . (2.43)

Это соотношение называют уравнением Гельмгольца для векторного потенциала.

Воспользуемся оставшимся уравнением в системе (2.36)

и получим аналогичное соотношение для скалярного электрического потенциала. Подставим выражение через потенциалы из (2.39)

div (– i– grad ) = _Э

и, раскрывая скобки, воспользуемся калибровкой Лоренца и выражением для дивергенции от градиента.

 +²= –. ( 2.44)

Итак, получены уравнения для расчета электрических потенциалов через токи и заряды (см.2.43, 2.44) и расчета электрического и магнитного полей через потенциалы (см. 2.38, 2.39).

Магнитные потенциалы поля и выражения для расчета полей через эти потенциалы можно получить из системы (2.37) или воспользоваться принципом перестановочной двойственности. Воспользуемся этим принципом и из (2.43, 2.44, 2.38, 2.39) получим.

+ ²= -;

 + ² = -; (2.45)

= –rot;= - i- grad .

Связь между векторным и скалярным потенциалом задается соотношением, которое можно получить из (2.42).

div= – . (2.46)

Здесь в дополнение к (2.1) использованы замены ,  .

Таким образом, действие электрических и магнитных зарядов можно описать с помощью потенциалов. Зная потенциалы, можно рассчитать электрическое и магнитное поле. Эти поля рассчитываются отдельно для электрических и магнитных токов и зарядов. Полное поле можно получить, складывая отдельные составляющие. Потенциалы рассчитываются с помощью уравнений Гельмгольца для двух скалярных и двух векторных величин.