Различные формы уравнений Максвелла

2. Различные формы уравнений Максвелла. Анализ уравнений

В этой главе вводится комплексная форма уравнений Максвелла и потенциалы для полей. Будут получены волновые уравнения и уравнения Гельмгольца для векторов ,и для потенциалов. Проанализированы энергетические соотношения в электромагнитном поле. Рассмотрена форма уравнений Максвелла в различных частных случаях.

2.1. Принцип перестановочной двойственности

Сравним между собой первое и второе уравнения в каждой паре 1.3.1 ... 1.3.4. Они очень похожи друг на друга. Нетрудно заметить, что если в одном из первых уравнений заменить

; -; - ; -;_Э -_{М ;}(2.1)

то получим второе уравнение той же пары, и наоборот, если во втором уравнении провести такие замены, то получим первое. В этом и состоит принцип перестановочной двойственности.

Если в одном из уравнений Максвелла произвести замены (2.1), то получим другое уравнение Максвелла. Более того, такие замены можно проводить в результатах расчета. Таким образом, посчитав, например, электрическое поле несложно получить магнитное, проведя замены (2.1).

2.2. Уравнения Максвелла для комплексных амплитуд

Уравнения Максвелла записаны для векторов ,,,, зависящих от четырех переменных – три координаты и время. Чтобы упростить решение уравнений, нужно сократить число переменных, исключив время. Это возможно, если входящие в уравнения переменные изменяются во времени по закону синуса или косинуса с известной круговой частотой. Тогда зависимость от времени можно исключить, воспользовавшись методом комплексных амплитуд.

Рассмотрим, например, в прямоугольной системе координат электрическое поле, проекции которого на координатные оси изменяются по закону косинуса:

E(x,y,z,t) = E_xcos (t+_x) + E_ycos (t+_y) + E_zcos (t+_z).

Аналогично тому, как это делалось в теории цепей, введем комплексные амплитуды проекций поля, отображающие соответствующие временные функции в комплексную область:

E_xcos (t+_x)  _x = E_x exp{i _x};

E_ycos (t+_y)  _y = E_y exp{i _y};

E_zcos (t+_z)  _z = E_z exp{i _z}.

Символ используется для того, чтобы показать взаимно однозначное соответствие временной функции и ее комплексной амплитуды. Комплексную амплитуду для вектора электрического поля можно записать так:

=_х+ _y+ _z. (2.2)

Комплексные амплитуды, используемые при изучении электромагнитных полей, величины векторные. Поэтому изобразить их в виде проекций вращающегося вектора невозможно. Векторные диаграммы для электромагнитного поля не строят. В крайнем случае, можно построить векторную диаграмму для проекций вектора.

Иногда поле изменяется по гармоническому закону вдоль какой-либо из координатных осей. Тогда можно ввести комплексную амплитуду по координатам, воспользовавшись тем же правилом.

Все операции над одномерными комплексами приложимы к векторам. Например, дифференцирование заменяется умножением на i, интегрирование делением на i.

Перепишем уравнения Максвелла в комплексной форме. Сначала преобразуем первое уравнение Гаусса для вещества (1.3.1) в интегральной форме:

. (2.3)

Здесь введена комплексная диэлектрическая проницаемость

=+= - i, (2.4)

которая позволила представить запись уравнения в компактной форме. Ее действительная часть описывает диэлектрические свойства среды, а мнимая – процессы, определяемые проводимостью, то есть потери за счет сопротивления среды.

Перевод в комплексную форму других уравнений Максвелла производится таким же образом. При преобразовании первого и третьего уравнений достаточно комплексной диэлектрической восприимчивости, а для второго и четвертого приходится вводить комплексную магнитную восприимчивость. Преобразуем, например, четвертое уравнение в дифференциальной форме (см. 1.3.4).

Вместо векторов ,и в уравнение будут входить их комплексные изображения, производная по времени заменяется умножением на i.

. (2.5)

Здесь введена комплексная магнитная проницаемость.

=+= - i. (2.6)

Преобразование остальных уравнений проведите самостоятельно. Система уравнений Максвелла в комплексном виде приведена ниже.