2.3. Разделение переменных во второй паре уравнений Максвелла. Волновые уравнения и уравнения Гельмгольца

Вторую пару уравнений Максвелла (2.1.2 и 2.1.4) не всегда удобно использовать из-за того, что в оба вектора и входят и в первое, и во второе уравнение пары. Преобразуем их так, чтобы вектора разделились. Это преобразование можно проделать во временной области и для комплексных амплитуд. В первом случае уравнения называют волновыми, а во втором – уравнениями Гельмгольца.

Получим волновое уравнение. Считаем, что среда однородна, а электрическая и магнитная проницаемости постоянны. Запишем вторую пару уравнений Максвелла (см. 1.3.4):

(2.7)

Если от обеих частей первого уравнения взять ротор, а затем в правой части вместо rotподставить его значение из второго уравнения, то получим соотношение, содержащее только вектор. Проделаем эти операции.

rot rot= rot+rot+_Э rot

Для того, чтобы упростить выражение, воспользуемся известным тождеством векторной алгебры (см. приложение)

rot rot = grad div–.

Вместо rotподставим его значение из первого уравнения (1.3.4).

grad div –= rot+ () +

+_Э()

Перенесем все слагаемые, содержащие магнитное поле влево и получим уравнение для вектора.

––(_Э +_М)–_Э_М– grad div =

= – rot +_Э+ (2.8)

Воспользовавшись принципом перестановочной двойственности, получим аналогичное уравнение для электрического вектора

––(_Э +_М)– _Э_М– grad div=

= rot +_М+ (2.9)

Эти соотношения называют волновыми уравнениями для векторов магнитного и электрического полей. В частном случае, когда исследуются процессы распространения электромагнитных волн и сторонние токи и заряды, возбуждающие поле, находятся за пределами анализируемой части пространства, неоднородные волновые уравнения переходят в однородные. Если к тому же не учитывать потери, связанные с конечной проводимостью, то уравнения упрощаются и принимают следующий вид:

- = 0, (2.10)

- = 0. (2.11)

Комплексная форма волновых уравнений получила название - уравнения Гельмгольца.Запишем неоднородные уравнения Гельмгольца. Переходя в (2.8, 2.9) к комплексным амплитудам и вводя обозначение

, (2.12)

получим

+ ²= - rot+ i+ grad; (2.13)

+ ²= rot+ i+ grad. (2.14)

2.4. Плотность потока мощности электромагнитного поля. Вектор Пойнтинга

Электромагнитное поле способно накапливать и переносить энергию. Законы изменения, сохранения и распространения энергии можно получить из уравнений Максвелла. Воспользуемся для этого второй парой уравнений Максвелла в дифференциальной форме (см.1.3.4).

Преобразуем эти уравнения следующим образом. Умножим скалярно первое на , а второе на и вычтем из второго первое

.

Воспользуемся известной формулой векторного анализа. Для двух векторов ивыполняется тождество (см. П2.17):

.

Тогда в левую часть равенства можно заменить дивергенцией от векторного произведения на .(2.15)

Проинтегрируем полученное выражение сначала по бесконечному, а затем по конечному объему. Тогда в первом случае получим полную энергию системы зарядов, токов и электромагнитного поля, а во втором можно проанализировать динамику изменения энергии в объеме.

Проинтегрируем (2.15) по всему бесконечному объему, полагая, что проводимость отсутствует (_Э= 0,_М= 0 ). Электромагнитная энергия не преобразуется в тепловую и убыли энергии у электромагнитного поля нет.

. (2.16)

Рассмотрим три полученных интеграла. Интеграл слева равен нулю. Действительно, используем теорему Остроградского-Гаусса и преобразуем интеграл по объему от дивергенции вектора в интеграл по охватывающей его поверхности от потока вектора.

.

Ограничивающая объем поверхность находится на бесконечности и никогда не будет достигнута электромагнитным полем. Поток вектора через нее отсутствует.

Рассмотрим первый интеграл в правой части (2.15). Ток связан с движением заряженных частиц, а значит и с изменением их энергии. Рассчитаем скорость изменения кинетической энергии частицы массой mдвижущейся со скоростьюv.

. (2.17)

В правой части стоит произведение импульса частицы на производную от скорости, то есть на ускорение. Это ускорение можно определить из уравнения движения частицы. Уравнение движения частицы массой m с зарядомe, которая находится в электромагнитном поле с напряженностью электрического поля и магнитного поля , можно записать так:

. (2.18)

Подставим (2.18) в (2.17) и получим для одной частицы:

.

Второе слагаемое в правой части равно нулю из-за свойств скалярного произведения. Теперь запишем это равенство для Nчастиц и вспомним, что.

. (2.19)

Слагаемые и - это производные от кинетической энергии движения электрических и магнитных зарядов в поле – то есть мощность электрического и магнитного токов. Учитывая это (2.16) можно записать так:

=(2.20)

Таким образом, в бесконечном объеме, в котором существуют электромагнитное поле и частицы, сохраняется величина, стоящая в скобках. Е_к– кинетическая энергия частиц, следовательно

- энергия электромагнитного поля. Величину

. (2.21)

называют плотностью энергии электромагнитного поля.

Проинтегрируем (2.15) по конечному объему.Интеграл по объему от дивергенции заменим интегралом по поверхности от потока вектора

. (2.22)

В выражение (2.22) входит мощность электромагнитного поля в объеме (второе слагаемое), мощность электрических и магнитных токов в объеме (третье слагаемое), мощность потерь в объеме (четвертое слагаемое). Вероятно, и первое слагаемое должно описывать какую-то мощность. Это поток мощности электромагнитного поля через ограничивающую объем поверхность. Равенство (2.22) – закон сохранения энергии для электромагнитного поля и системы зарядов в нем в том случае, когда существует обмен энергией между выделенным объемом и остальным пространством. Вектор плотности потока мощности электромагнитного поля называют вектором Пойнтинга.

(2.23)

Запишем дифференциальную форму равенства (2.22). Для этого заменим интеграл от потока вектора Пойнтинга через замкнутую поверхность интегралом от дивергенции этого вектора по объему. Ввиду произвольности объема запишем равенство для подынтегральных выражений.

(2.24)

Вектор Пойнтинга возникает тогда, когда уменьшается энергия электромагнитного поля, энергия заряженной частицы или уменьшаются потери в выбранной точке.

Если электромагнитное поле изменяется во времени гармонически, то вектор Пойнтинга можно выразить через комплексные амплитуды полей. Снова воспользуемся второй парой уравнений Максвелла, но теперь уже в комплексной форме (см. 2.1.4).

; (2.25)

.

Возьмем комплексное сопряжение от второго равенства

. (2.26)

Помножив (2.25) скалярно на, а (2.26) на и вычитая из первого результата второй, получим

. (2.27)

Это равенство называют теоремой Пойнтинга в дифференциальной форме для комплексных амплитуд векторов поля. Получим интегральную форму равенства, проинтегрировав его по всему объему, содержащему источники. Слева будет стоять интеграл от дивергенции векторапо объему. Используя теорему Остроградского-Гаусса преобразуем его в поток этого вектора через ограничивающую объем поверхность.

В левой части равенства находится комплексный вектор Пойнтинга , который содержит действительную и мнимую часть. Действительная часть описывает поток активной, а мнимая – поток реактивной мощности. В правой части первое слагаемое комплексное и имеет действительную и мнимую часть, второе чисто действительное, а третье – чисто мнимое. Выделим поток активнойРи реактивнойQмощности. При этом учтем, что мощность находится через действующие значения, а комплексный вектор Пойнтинга рассчитан через амплитудные. Действующее значение в корень из двух раз меньше.

(2.28)

Электрическое и магнитное поле изменяется в течение периода, и, чтобы найти среднее значение мощности, нужно проводить усреднение за период. Выражение (2.28) записано для усредненной за период мощности.

Анализируя (2.28) можно заметить, что мощность потерь за счет электрической и магнитной проводимости всегда активная. Мощность электрических и магнитных токов смещения всегда реактивная и имеет противоположные знаки. Мощность, связанная с движением заряженных частиц в поле, имеет и реактивную, и активную составляющую.