- •Приложения п1. Связь между проекциями вектора в различных системах координат п1.1. Прямоугольная, цилиндрическая и сферическая системы координат
- •П2.2. Дифференциальные операции первого порядка
- •П2.3. Дифференциальные операции второго порядка
- •П3. Интегральные теоремы, используемые при анализе электромагнитных полей
Приложения
Приложения п1. Связь между проекциями вектора в различных системах координат п1.1. Прямоугольная, цилиндрическая и сферическая системы координат
При расчете электромагнитного поля приходится решать задачи, имеющие различную симметрию. В соответствии с этим необходимо так выбрать систему координат, чтобы ее вид соответствовал симметрии задачи. Так, например, если рассматривается излучение точечного источника, то задача имеет сферическую симметрию и расчет величин, характеризующих электромагнитное поле, целесообразно проводить в сферической системе координат. Анализ набора задач, решаемых при исследовании электромагнитных полей в свободном пространстве и в линиях передачи, работающих в СВЧ, микроволновом и оптическом диапазоне, показывает, что большая их часть имеет либо прямоугольную, либо цилиндрическую, либо сферическую симметрию. В соответствии с этим и задача решается в этих системах координат. При правильном выборе системы координат упрощаются уравнения, описывающие связь между интересующими нас величинами, и они значительно легче решаются.
Электромагнитное поле описывается рядом скалярных и векторных величин. Проведя расчет, например, в сферической системе координат, часто приходится распространить результаты на другие системы. Чтобы выполнить эту операцию, нужно знать формулы перехода из одной системы координат в другую.
Скалярные величины не изменяются при любых преобразованиях систем координат.
Векторные величины описываются в трехмерном пространстве тремя числами - проекциями на координатные оси. В каждой системе координат этот набор из трех чисел свой. Задача преобразования системы координат из одного вида в другой сводится к определению проекций вектора во второй системе, если они известны в первой.
Рассмотрим подробно выбранные системы координат. Каждая из них содержит три координатные поверхности:
x= 0, у = 0,z= 0 – для прямоугольной,
= 0, = 0,z= 0 – для цилиндрической,
r= 0,= 0,= 0 – для сферической систем.
Каждая пара координатных поверхностей, проходящих через фиксированную точку М, образует в пересечении координатную линию, которая может быть прямой или кривой (рис.Π1.1, П1.2). Система координат называетсяпрямолинейной, если все координатные линия прямые. Если хотя бы одна координатная линия не прямая, система координат называетсякриволинейной.Прямоугольная система координат прямолинейная, а цилиндрическая и сферическая криволинейные.
Координатную систему называют ортогональной, если в любой точкеΜ касательные к координатным линиям образуют прямоугольный трехгран-ник.Все три системы координат ортогональны.
Если в точке Μ (рис.П1.2) задан некоторый вектор (например, вектор электрического поля), то его принято обозначать прямой, берущей начало в точкеΜсо стрелкой. Не следует забывать, что этот вектор характеризует, например, электрическое поле в точкеΜ, а прямая со стрелкой – лишь удобный способ графического отображения характеристик векторного поля в точке. Чтобы определить его проекции в нелинейной системе координат необходимо найти направление координатных осей в этой точке. Они определяются как касательные к координатным осям. На рис.Π 1.2 это прямыеr , 'и' для сферической и, ,иzдля цилиндрической систем координат. Оси последней условно перенесены в точкуО, чтобы не загромождать чертеж.
Если же вектор (рис.Π 1.2) изображает путь, проходимый точкой, то его проекции в различных системах координат находятся иначе.
1) в прямоугольной
dℓx=dx,dℓy=dy, dℓz=dz;(Π1.1)
2) в цилиндрической
dℓ=d,dℓ=d, dℓz=dz;(Π1.2)
3) в сферической
dℓr = dr, dℓ = r sin d,
dℓ = r d. (П1.3)
Чтобы найти общее в этих трех координатных системах, запишем скаляр – квадрат бесконечно малого перемещения точки. Для этого воспользуемся соотношениями (П1.1) – (П1.3). В ортогональной системе координат квадрат вектора определяется как сумма квадратов его проекций.
Для прямоугольной системы координат
dℓ2 = dx2 + dy2 +dz2,
для цилиндрической
dℓ2 = d2 + (d)2 +dz2;
для сферической
dℓ2 = dr2 + (r sin d)2 +(rd)2.
Эти соотношения схожи тем, что в правой части каждого из них стоит сумма квадратов приращений координат, причем каждое слагаемое умножено на некоторый коэффициент, иногда равный единице. Запишем эти три слагаемых в обобщенном виде, обозначая координатные линии буквами u, v, w, а коффициенты уравнения hu, hv, hw.
dℓ2 = (hudu)2 + (hvdv)2 + (hwdw)2 . (П1.4)
Коэффициенты hu, hv, hw, связывающие приращения ортогональных координат и отрезки пути по этим координатам, проходимые точкой, заданной в этих координатах, при бесконечно малом перемещении в пространстве называют коэффициентами Ляме. В таблице П1.1 приводится значения коэффициентов Ляме и приращение по координатам.
Таблица П1.1
Системы координат | |||||||
Обобщенная |
Прямоугольная |
Цилиндричес-кая |
Сферическая | ||||
Координа-та |
Коэфф. Ляме |
Коор-дина-та |
Коэфф. Ляме |
Коор-дина-та |
Коэфф. Ляме |
Кoордината |
Коэфф. Ляме |
u |
hu |
x |
hx =1 |
|
h =1 |
r |
hr = 1 |
v |
hv |
y |
hy =1 |
|
h = |
|
h = r sin |
w |
hw |
z |
hz =1 |
z |
hz =1 |
|
h = r |
П1.2. Связь между проекциями вектора в прямоугольной, цилиндрической и сферической системах координат
П2. Некоторые алгебраические и дифференциальные операции над векторами и полями
П2.1. Алгебраические операции над векторами в прямоугольной системе координат
Два вектора можно сложить, вычесть и умножить скалярно или векторно. Вычитание можно рассматривать как сложение первого вектора со вторым, у которого направление изменено на обратное. Поэтому вычитание можно рассматривать, как частный случай сложения.
Чтобы сложить два вектора достаточно сложить их проекции. Пусть , тогда Сх=Ах+ Вх, Су=Ау+ Ву.
Скалярным произведениемдвух векторовиназывают такой скалярS, который находится по следующим правилам:
При перестановке сомножителей, образующих скалярное произведение результат не изменяется.
Векторным произведениемдвух векторовиназывают такой вектор, перпендикулярный исходным двум, проекции которого можно найти по следующему правилу.
Пусть ,и – единичные векторы по координатным осямx, y и z. Тогда векторыиможно записать через проекции:
;
;
а вектор найти из определителя
.
Если изменить порядок сомножителей, образующих векторное произведение, то изменяется знак результата.
Иногда при анализе электромагнитных полей приходится пользоваться тройным векторным произведением. Существует формула, позволяющие упростить его.