Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
48
Добавлен:
27.04.2015
Размер:
871.42 Кб
Скачать

Приложения

Приложения п1. Связь между проекциями вектора в различных системах координат п1.1. Прямоугольная, цилиндрическая и сферическая системы координат

При расчете электромагнитного поля приходится решать за­дачи, имеющие различную симметрию. В соответствии с этим необ­ходимо так выбрать систему координат, чтобы ее вид со­ответствовал симметрии задачи. Так, например, если рассматривается излу­чение точечного источника, то задача имеет сферическую симметрию и расчет величин, характеризующих электромагнитное поле, целе­сообразно проводить в сферической системе координат. Анализ набора задач, решаемых при исследовании электромагнитных полей в свободном пространстве и в линиях передачи, работающих в СВЧ, микроволновом и оптическом диапазоне, показывает, что большая их часть име­ет либо прямоугольную, либо цилиндрическую, либо сферическую симметрию. В соответствии с этим и задача решается в этих сис­темах координат. При правильном выборе системы координат упро­щаются уравнения, описывающие связь между интересующими нас ве­личинами, и они значительно легче решаются.

Электромагнитное поле описывается рядом скалярных и век­торных величин. Проведя расчет, например, в сферической системе коор­динат, часто приходится распространить результаты на другие системы. Чтобы выполнить эту операцию, нужно знать формулы пере­хода из одной системы координат в другую.

Скалярные величины не изменяются при любых преобразованиях систем координат.

Век­торные величины описываются в трехмерном пространстве тремя числами - проекциями на координатные оси. В каждой системе ко­ординат этот набор из трех чисел свой. Задача преобразования системы координат из одного вида в другой сводится к определе­нию проекций вектора во второй системе, если они известны в первой.

Рассмотрим подробно выбранные системы координат. Каж­дая из них содержит три координатные поверхности:

x= 0, у = 0,z= 0 – для прямоугольной,

 = 0,  = 0,z= 0 – для цилин­дрической,

r= 0,= 0,= 0 – для сферической систем.

Каждая пара координатных поверхностей, проходящих через фиксированную точку М, образует в пересечении координатную линию, которая может быть прямой или кривой (рис.Π1.1, П1.2). Система координат называетсяпрямолинейной, если все координатные линия прямые. Если хотя бы одна координатная линия не прямая, система координат называетсякриволинейной.Пря­моугольная система координат прямолинейная, а цилиндрическая и сферическая криволинейные.

Координатную систему называют ортогональной, если в любой точкеΜ касательные к координатным линиям образуют прямоугольный трехгран-ник.Все три системы координат ортогональны.

Если в точке Μ (рис.П1.2) задан некоторый вектор (например, вектор электрического поля), то его принято обозначать прямой, берущей начало в точкеΜсо стрелкой. Не следует забывать, что этот вектор характери­зует, например, электрическое поле в точкеΜ, а прямая со стрелкой – лишь удобный способ графического отображения характеристик векторного поля в точке. Чтобы определить его проекции в нелинейной системе координат необходимо найти направление координатных осей в этой точке. Они определяются как касательные к координатным осям. На рис.Π 1.2 это прямыеr , 'и' для сферической и, ,иzдля цилиндриче­ской систем координат. Оси последней условно перенесены в точкуО, чтобы не загромождать чертеж.

Если же вектор (рис.Π 1.2) изображает путь, проходимый точкой, то его проекции в различных системах координат находятся иначе.

1) в прямоугольной

dℓx=dx,dℓy=dy, dℓz=dz;(Π1.1)

2) в цилиндрической

dℓ=d,dℓ=d, dℓz=dz;(Π1.2)

3) в сферической

dℓr = dr, dℓ = r sin d,

dℓ = r d. (П1.3)

Чтобы найти общее в этих трех координатных системах, запишем скаляр – квад­рат бесконечно малого перемещения точки. Для этого воспользуемся соотношени­ями (П1.1) – (П1.3). В ортогональной системе координат квадрат вектора определяется как сумма квадратов его проекций.

Для прямоугольной системы координат

dℓ2 = dx2 + dy2 +dz2,

для цилиндрической

dℓ2 = d2 + (d)2 +dz2;

для сферической

dℓ2 = dr2 + (r sin d)2 +(rd)2.

Эти соотношения схожи тем, что в правой части каждого из них стоит сумма квадратов приращений координат, причем каждое слагаемое умножено на некоторый коэффициент, иногда равный единице. Запишем эти три слагаемых в обобщенном виде, обоз­начая координатные линии буквами u, v, w, а коффициенты уравнения hu, hv, hw.

dℓ2 = (hudu)2 + (hvdv)2 + (hwdw)2 . (П1.4)

Коэффициенты hu, hv, hw, связывающие приращения орто­гональных координат и отрезки пути по этим координатам, про­ходимые точкой, заданной в этих координатах, при бесконечно малом перемещении в пространстве называют коэффици­ентами Ляме. В таблице П1.1 приводится значения коэффициентов Ляме и приращение по координатам.

Таблица П1.1

Системы координат

Обобщенная

Прямоугольная

Цилиндричес-кая

Сферическая

Координа-та

Коэфф.

Ляме

Коор-дина-та

Коэфф.

Ляме

Коор-дина-та

Коэфф.

Ляме

Кoордината

Коэфф.

Ляме

u

hu

x

hx =1

h =1

r

hr = 1

v

hv

y

hy =1

h =

h = r sin

w

hw

z

hz =1

z

hz =1

h = r

П1.2. Связь между проекциями вектора в прямоугольной, цилиндрической и сферической системах координат

П2. Некоторые алгебраические и дифференциальные операции над векторами и полями

П2.1. Алгебраические операции над векторами в прямоугольной системе координат

Два вектора можно сложить, вычесть и умножить скалярно или векторно. Вычитание можно рассматривать как сложение первого вектора со вторым, у которого направление изменено на обратное. Поэтому вычитание можно рассматривать, как частный случай сложения.

Чтобы сложить два вектора достаточно сложить их проекции. Пусть , тогда Схх+ Вх, Суу+ Ву.

Скалярным произведениемдвух векторовиназывают такой скалярS, который находится по следующим правилам:

При перестановке сомножителей, образующих скалярное произведение результат не изменяется.

Векторным произведениемдвух векторовиназывают такой вектор, перпендикулярный исходным двум, проекции которого можно найти по следующему правилу.

Пусть ,и – единичные векторы по координатным осямx, y и z. Тогда векторыиможно записать через проекции:

;

;

а вектор найти из определителя

.

Если изменить порядок сомножителей, образующих векторное произведение, то изменяется знак результата.

Иногда при анализе электромагнитных полей приходится пользоваться тройным векторным произведением. Существует формула, позволяющие упростить его.

Соседние файлы в папке Пособие