6.2. Уравнения непрерывности
Известно, что изменение концентрации неравновесных носителей может происходить в результате диффузии и дрейфа носителей, за счет градиента концентрации и электрического поля, генерации носителей и их рекомбинации. Можно установить некоторую закономерность изменения концентрации неравновесных носителей во времени и по объему полупроводника.
Для того, чтобы определить изменение концентрации неравновесных носителей, необходимо учесть все вышеперечисленные факторы:
Дn
,
(6.22)
где Е– напряженность поля.
В случае если неравновесным носителями заряда являются дырки, уравнение непрерывности примет вид:
Др
(6.23)
В общем случае, когда концентрация электронов зависит от всех трех координат, уравнение непрерывности имеет вид:
,
(6.24)
где
.
(6.25)
Уравнения (6.22) и (6.23) описывают влияния всех перечисленных факторов на концентрацию носителей и, если какие-либо факторы отсутствуют, уравнения непрерывности упрощаются. Так, например, если Е=const, первый член уравнения равен нулю, еслиЕ=0, то два первых члена обращаются в нуль и т.д. При условии отсутствия всех факторовdn/dt=0, что говорит о постоянстве концентрации носителей.
Рассмотренные уравнения (6.22) и (6.23) относятся к легированным полупроводникам, гдеn>>pилиp>>n, а Δn<<n0, Δp<<p0. В этом случае Δn=Δpи объемный заряд в полупроводнике отсутствует. Однако в случае полупроводников с проводимостью, близкой к собственной, в большинстве случаев это условие не выполняется. Всобственныхполупроводниках неравновесная концентрация обычно соизмерима с равновесной, и это приводит к нарушению условия электронейтральности. В полупроводнике появляется объемный заряд и связанное с ним электрическое поле.
В этом случае приближение Δp =Δnможет быть сохранно для всех членов уравнения непрерывности, за исключением того, который содержитdE/dx. Этот член должен учитывать изменение электрического поля, вызванное объемным зарядом. Используя уравнение Пуассона, получим выражение:
.
(6.26)
Проведя еще некоторые преобразования, можно получить уравнение непрерывности для данного случая в виде:
Д
,
(6.27)
где Д*− эффективный коэффициент диффузии;
µ*− эффективная подвижность носителей заряда.
Д
Д
Д
,
(6.28)
.
(6.29)
Таким образом, в случае, когда необходимо учитывать объемный заряд, создаваемый неравновесными носителями, вид уравнения непрерывности остается прежним, однако подвижность и коэффициент диффузии носителей заряда становятся переменными величинами.
6.3. Фотоэлектрические явления в полупроводниках
Рассмотрим особенности работы одного из возможных ионизирующих факторов в полупроводниках. Это электромагнитные излучения оптического диапазона, его видимой, инфракрасной и ультрафиолетовой областей.
Направим на полупроводниковую пластину поток света мощностью W0. Если свет не является монохроматическим и имеет некоторый частотный диапазон, то часть потока отразится от поверхности полупроводника, вторая часть потока пройдет сквозь пластину без потерь энергии и третья часть будет поглощаться в полупроводнике:
,
(6.30)
где α− коэффициент поглощения.
Очевидно, что степень поглощения, отражения и пропускания света определяется частотным диапазоном. Если частота света такова, что он взаимодействует с кристаллом полупроводника, то только такой свет может быть электрически активнымт.е. служить в качестве ионизирующего фактора.
Рассмотрим природу различных механизмов электрически активного поглощения света.
Собственное поглощениевызывает возбуждение электрона из валентной зоны в зону проводимости полупроводника. Согласно закону сохранения энергии, такое возбуждение возможно, только если энергия поглощаемого кванта не меньше ширины запрещенной зоныEg:
.
(6.31)
Из этого условия можно определить длину волны λmaxмаксимального собственного поглощения:
.
(6.32)
Для германия, например, имеющего Еg=0,67 эВ,λmax≈1,9 мкм.
Анализ процесса фотоионизации показывает, что кроме закона сохранения энергии должен выполняться закон сохранения импульса, т.е. импульс системы до ионизации должен быть равен импульсу системы после нее:
,
(6.33)
где
– импульс электрона в зоне проводимости;
– импульс дырки;
– импульс фотона.
Проведенные оценки импульсов показывают, что обычно импульс фотона много меньше импульса электрона или дырки и им можно пренебречь. Тогда можно считать, что при оптических переходах импульс электрона практически не изменяется:
(6.34)
или
.(6.35)
На энергетической диаграмме такие переходы изображаются вертикальными стрелками (рис. 6.2, а). Такие переходы называются прямыми, а полупроводники −прямозонными. Максимум потолка валентной зоны и минимум дна зоны проводимости в прямозонных полупроводниках имеют одно значение волнового вектора. К таким полупроводникам относятся арсенид галлия, антимонид индия и др.
а) б)
Рис. 6.2. Оптические переходы в полупроводниках: а) прямые;б) непрямые
Если абсолютные экстремумы зоны проводимости и валентной зоны не совпадают, то энергетически более выгодным оказывается непрямойпереход (рис. 6.2,б). Однако, как видно на рисунке, в этом случае:
,
(6.36)
т.е. закон сохранения импульса для электрона не выполняется. Такой переход возможен лишь в том случае если в нем участвует третья частица − фонон, имеющая импульс Рфон. Тогда законы сохранения импульса и энергии примут вид:
,
(6.37)
.
(6.38)
Знак плюс означает поглощение, знак минус − испускание фонона. Вследствие того, что вероятность протекания процессов с участием трех частиц много меньше вероятности двухчастичных процессов, вероятность для непрямых переходов много меньше, чем для прямых. Полупроводники, где преобладают непрямые оптические переходы, называютнепрямозонными, и их использование в оптоэлектронике ограничено. К таким полупроводникам относятся германий и кремний.
Примесное поглощение относится также к электрически активным процессам. Оно возникает в примесных полупроводниках, когда поглощение фотона приводит к возбуждению электрона с донорного уровня в зону проводимости или из валентной зоны на акцепторный уровень (рис. 6.3). В этом случае растет концентрация носителей одного сорта, дырок или электронов. Условие примесного поглощения:
,
(6.39)
или
,
(6.40)
где ∆E− энергия ионизации примеси.
– длина волны максимального примесного
поглощения.
В полупроводнике возможны и электрически пассивныепроцессы поглощения света. К ним относятся экситонное, решеточное поглощение и поглощение свободными носителями (см. рис. 6.3). Эти механизмы не приводят к изменению концентрации носителей заряда.
Экситонное поглощение. При поглощении фотона образуется пара электрон-дырка, однако эта пара образует связанную систему − экситон. Подобно атому водорода, экситон электронейтрален. После образования экситон некоторое время мигрирует по кристаллу. При взаимодействии с фононами или иными рассеивающими центрами экситон либо рекомбинирует, либо “разрывается”, образуя пару носителей электрон-дырка. В последнем случае концентрация неравновесных носителей увеличивается.
Решеточное поглощение(см. рис. 6.3) возникает в ионных кристаллах или в кристаллах, где часть связей является ионной (InSb,GaAs). Такие кристаллы представляют собой набор диполей, которые могут поглощать энергию электромагнитного излучения.
Поглощение свободными носителями. Поглощение света может быть связано с переходами носителей внутри зон в случае большой их концентрации. Поглощение плавно возрастает с ростом длины волны или концентрации носителей.
λ
α
—
—
—
—
а)б)
Рис. 6.3. Поглощение света в твердом теле: а) коэффициент поглощения;б) некоторые оптические переходы; 1 − собственное поглощение; 2 − примесное поглощение;