Возможные варианты состояний

Объекты	Коллективы
	вырожденный	невырожденный
Классические	Нет	Да
Квантовые	Да	Да

Для решения задачи с полной функцией распределения (3.10) необходимо определить плотность или число состояний.

Эта задача решается в предположении о минимальной ячейке в, так называемом, фазовом пространстве.

Под фазовым пространством понимают шестимерное пространство, где кроме геометрических координат частицу характеризуют составляющие импульса p_х, p_y, p_z. В таком пространстве координаты отображают не только геометрическое, но и энергетическое состояние частицы.

Если частица обладает волновыми свойствами и подчиняется соотношениям Гейзенберга, то в фазовом пространстве для нее существует минимальный объем, равный h³. Опуская математические выкладки, приведем решение задачи для числа состояний в фазовом пространстве:

, (3.13)

где V– геометрический объем.

Это и есть число состояний микрочастицы в интервале от ЕдоE+dE. Из выражения (3.13) следует, что плотность состояний в энергетическом интервале описывается функцией

. (3.14)

Согласно постулату Паули, в минимальной энергетической ячейке возможно существование двух фермионов с различными спинами. Тогда правые части (3.13) и (3.14) в случае микрочастиц-фермионов (например, электронов) необходимо удвоить.

3.3. Функция распределения Максвелла-Больцмана Химический потенциал

Функция распределения для невырожденного коллектива, или функция Максвелла-Больцмана, имеет вид

. (3.15)

Выражение (3.15) здесь приводится без вывода, который приведен, например, в [9].

Из выражения (3.15) видно, что функция распределения зависит от температуры и химического потенциала. Используя условие нормировки функции распределения, можно получить выражение для химического потенциала невырожденного газа:

, (3.16)

где N– число частиц в системе.

Если подставить последнее выражение в (3.15), то получим формулу

. (3.17)

На рис. 3.2 представлены функции распределения (3.15) и (3.17) для различных температур.

Из анализа графиков можно сделать, по крайней мере, два вывода, которые понадобятся нам позднее. Во-первых, функция распределения f_Mимеет “хвост”, который простирается в область больших энергий. Это означает, что какая-то часть микрочастиц имеет большую энергию, способна выйти из состояния равновесия (п. 1.1) и образовать структурный дефект по Шоттки или по Френелю.

а)б)

Рис. 3.2. Функции распределения Максвелла-Больцмана

Во-вторых, анализ графика (см. рис. 3.2, б) позволяет сделать вывод об увеличении средней энергии микрочастиц при возрастании температуры системы.

В дополнение к сказанному можно привести два полезных соотношения, которые пригодятся нам позднее. Условие невырождения системы в этом случае принимает вид

, (3.18)

где N_C–эффективная плотность состояний, приведенная к энергииЕ= 0.

Выражение (3.10) для компоненты скорости υ_хможно записать в следующем виде:

. (3.19)