Глава 3элементы статистической физики

В предыдущей главе мы рассматривали поведение микрочастиц в различных условиях, но всякий раз имели в виду один электрон. Однако плотность твердого тела имеет порядок 10²⁸ м^-3, и если хотя бы один атом из ста миллиардов освободит свой электрон, то концентрация электронов составит 10¹⁷ м^-3! Тогда в кубическом миллиметре (средний размер полупроводникового чипа ИС) будет находиться 10¹¹ электронов. Необходимо описать их поведение.

В классической механике поведение тел описывают с помощью уравнений динамики. Этот подход в нашем случае не устраивает в силу нескольких обстоятельств. Решение уравнений для такого количества частиц невозможно и по техническим причинам, и в принципе, поскольку частицы взаимодействуют и между собой, и с узлами кристаллической решетки. Для таких случаев часто используют термодинамическое или статистическое описание.

3.1. Термодинамическое и статистическое описание коллектива. Функция распределения

С этими способами описания систем Вы уже знакомы из курсов физики и математической статистики. Здесь мы лишь напомним основные законы и рассмотрим их особенности в применении к нашим задачам.

При термодинамическомподходек описанию свойств коллектива, состоящего из огромного числа частиц, его рассматривают как макроскопическую систему, не интересуясь природой тех частиц, из которых он состоит. Такую систему называюттермодинамической. Это основное понятие термодинамического подхода.

По возможности обмена с окружающей средой энергией и веществом различают открытые,закрытыеиизолированныесистемы.

В частности, изолированная система, по определению, не обменивается с окружающей средой ни энергией, ни веществом. Приблизительным аналогом такой системы является закрытый термос в определенный момент времени. Понятно, что самый хороший термос теряет тепло за продолжительный период. Открытая система, подобно стакану с кипятком, обменивается и энергией, и веществом (пар) с окружающей средой. Промежуточный вариант – закрытый стакан с кипятком – может служить иллюстрацией закрытой системы. Вода в нем остывает, но пар из него не выходит.

Изолированная система может находится в состоянии, которое называют равновесным. Такое состояние замечательно тем, что может продолжаться сколь угодно долго. Тогда состояние системы однозначно определяется параметрами системы, такими как давление, температура, плотность заряда. Выбор параметров зависит от свойств системы. Кроме того, если система включает подсистемы, например, области с различными носителями заряда, необходимо задать концентрацию этих зарядов. Такие системы называютгетерогенными(в отличие отгомогенных).

Всякое изменение в термодинамической системе, связанное с изменением хотя бы одного параметра состояния, вызовет термодинамический процесс. Так, разность температур обусловливает теплопередачу, разность концентраций электрических зарядов – электрический ток.

Термодинамическое описание основано на двух законах термодинамики, которые подтверждаются опытом человечества.

Первый закон термодинамики, или закон сохранения энергии, говорит опостоянстве внутренней энергии изолированной системы. Эта энергия является функцией состояния системы, т.е. не зависит от пути перехода системы в это состояние. Изменение внутренней энергии системыdUпроисходит в результате прихода или отдач теплаδQи совершения работыδAсистемой или над ней

dU =δQ +δA. (3.1)

Теплота и работа не являются функциями состояния системы, т.к. зависят от пути перехода, поэтому их изменения определяются не дифференциалом, как для энергии, а изменением. Знак работы и теплоты зависит от того, куда направлен процесс: внутрь системы или из нее. Характер работы определяется характером системы: механическая работа, работа электрических или других сил.

Второй закон термодинамикивводит новую функцию для описания системы – энтропиюS. Математически энтропию можно представить как

ΔS=ΔQ/T(3.2)

или

, (3.3)

где подынтегральная функция называется элементарной приведенной теплотой в равновесном процессе.

Если в термодинамической системе совершается какой-либо процесс, то первое начало термодинамики ответит на вопрос о соотношении энергии, теплоты и работы, но не сможет дать ответ на вопрос, каково направление протекания этого процесса. На этот, зачастую очень важный, вопрос отвечает второй закон термодинамики, который говорит о невозможности убывания энтропии в изолированной системе, т.е.

dS ≥ 0. (3.4)

Иначе говоря, энтропия необратимыхпроцессов в системе возрастает, а энтропияобратимыхпроцессов неизменна. Напомним, что к обратимым процессам относится цепь равновесных состояний. Следовательно, можно говорить о том, что равновесному состоянию термодинамической системы соответствует максимальное значение энтропии. С учетом вышесказанного, для системы, совершающей работу расширения, выражение (3.1) можно представить в виде:

dU=TdS -PdV, (3.5)

где P– давление в системе;

dV– приращение ее объема.

Пусть мы имеем гетерогенную систему, о которой говорилось выше, и в системе происходит обмен частицами между фазами (подсистемами). Тогда в последнее выражение необходимо добавить член, описывающий этот процесс, и записать для каждой фазы

dU =TdS -PdV +μdN, (3.6)

где μ– химический потенциал фазы;

dN– изменение числа частиц.

Если система находится в равновесии, то dS=dV=0 и можно записать

_.(3.7)

Очевидно, химический потенциал выражает изменение внутренней энергии системы при изменении числа ее частиц на единицу в условиях постоянства объема и энтропии системы, т.е. в условиях равновесия.

Рассмотрим условие равновесия для гетерогенной системы, общее число частиц которой остается постоянным, но где частицы могут переходить из одной фазы в другую. Примером такой системы может служить кусок льда в воде или два различных металла, находящиеся в контакте. И в первом, и во втором случаях происходит переход частиц из одной среды в другую. В случае равновесия в системе (U=const),dN₁=dN₂, т.е. число частиц каждой фазы не изменяется. Тогда можно записатьусловие равновесияна границе фаз. Чтобы ни одна фаза не росла за счет другой, необходимо выполнение условия:

μ₁=μ₂. (3.8)

Это очень важное условие, и впоследствии мы им будем пользоваться не раз.

Если гетерогенная система многофазна, то для равновесия на каждой из границ должно выполняться условие (3.8).

Другим методом описания свойств коллектива состоящего из большого числа частиц, является статистическийметод. Как следует из статистической физики, коллектив, состоящий избольшогочисла частиц, является системой, качественно отличной от системы из нескольких частиц. Его поведение подчиняется иным закономерностям, которые называютсястатистическими. Для иллюстрации характера этих закономерностей обычно приводят следующие примеры.

Координата отдельной молекулы газа в объеме – величина случайная, поскольку тепловое движение хаотично. Однако, если таких частиц много, то можно с уверенностью говорить о равенстве числа частиц в равных частях этого объема. Если же таких частиц всего несколько, то всегда найдется область, в которой их совсем нет.

Скорость отдельной молекулы этого газа есть величина случайная, и определить ее заранее невозможно, но если коллектив состоит из большого числа частиц, то существует четкое распределение их по скоростям. Можно определить, какая доля молекул обладает скоростями в интервале 100–200 м/с, а какая доля – в интервале 200–250 м/с и т.д.

Такого рода закономерности и называют статистическими.

Основной особенностью статистических закономерностей является их вероятностный характер. Они позволяют предсказывать вероятность наступления того или иного состояния. И вероятность будет тем больше, чем больше число испытаний или членов коллектива. Это положение подтверждается соотношением, полученным в статистической физике:

, (3.9)

где – средняя физическая величина (например, число частиц в энергетическом интервале);

ΔА– отклонение наблюдаемой величины;

N– число частиц.

Из последнего выражения видно, что с увеличением числа частиц физическая величина испытывает все меньшие отклонения, т.е. стремится к своему среднему значению. Так, если в 1 мм³полупроводника (чип) содержится 10¹¹электронов, то относительное отклонениесоставит 3·10^-4%, а это достаточно мало.

Для больших коллективов в статистической физике принято связь между параметрами частицы (импульс, энергия) и термодинамическими параметрами коллектива осуществлять с помощью статистической функции распределения. В качестве параметров коллектива удобно использовать температуру и химический потенциал. Аргументами функции распределения являются координаты и проекции импульса.

Полной статистической функцией распределенияназывают функцию

N(E)dE=f(E)g(E)dE, (3.10)

где N(E)dE– число частиц в интервале энергии отEдоE+dE;

f(E) – среднее число частиц в данном интервале, найденное путем усреднения по многим одинаковым состояниям;

g(E)dE– число энергетических состояний в данном интервале.

Функцию f(E) обычно называют просто функцией распределения в отличие от полной функции распределения (3.10). Вид функции распределения зависит от свойств частиц, составляющих коллектив, и может изменяться с изменением параметров системы. Для расчета (3.10) необходимо определить конкретный видf(E).

Число состояний включает g(E) – плотность состояний. Конкретный вид функцииg(E) необходим и для решения уравнения (3.10), а также для решения частных случаев (3.10), например, поиска концентрации носителей в полупроводнике, теплоемкости твердого тела, энергии теплового излучения и т.д.