3.1. Основные понятия вычислительной линейной алгебры

Для решения СЛАУ и других указанных задач необходимо ввести ряд понятий. Если – приближенное решение системы (3.1), то векторназываетсяпогрешностью решения системы уравнений. Часто погрешности решения системы уравнений оценивают по вектору , называемомуневязкой. Вектор показывает, насколько правая часть системы отличается от левой, если подставить в нее приближенное решение. Очевидно, что и погрешность, и невязка решения должны быть как можно меньше, при этом они связаны очевидным равенством

.

Величины погрешностей и невязок оцениваются при помощи нормы векторов и матриц.

Нормой вектора называется вещественное число, обладающее следующими свойствами:

1. , причем тогда и только тогда, когда;

2. для любого вектора и любого числа;

3. для любых векторов и(неравенство треугольника).

Существует множество способов введения норм, однако в вычислительных методах наиболее употребительны следующие три:

, и,

которые являются частными случаями нормы общего вида

для .

Норму (при) обычно называют евклидовой, нормаполучается при.

Скалярным произведением векторов иназывается величина

.

Нетрудно установить, что .

Абсолютные и относительные погрешности вектора можно ввести как некоторую меру близости векторовив виде нормы. Отсюда абсолютная погрешность имеет вид

,

а относительная –

,

Выбор той или иной нормы в практических задачах диктуется требованиями, предъявляемыми к точности решения. Выбор отвечает случаю, когда малой должна быть суммарная абсолютная ошибка в компонентах решения; выборсоответствует малости среднеквадратичной ошибки, а выборозначает, что малой должна быть максимальная из абсолютных ошибок в компонентах решения.

При решении СЛАУ критерием сходимости решения выбирают критерий сходимости по норме. Пусть – последовательность векторов. Она сходится к векторупри(), еслипри(). Отметим, что наличие или отсутствие сходимости не зависит от вида выбранной нормы и последовательностьсходится к векторупритогда и только тогда, когда для всехимеемпри, т.е. сходимость по норме эквивалентна покоординатной сходимости.

Норма матрицы , подчиненная норме векторов, определяется величиной

.

Норма матрицы обладает теми же свойствами, что и норма вектора:

1. , причем тогда и только тогда, когда;

2. для любой матрицы и любого числа;

3. для любых матриц и,

дополнительно к этому верны следующие свойства:

4. для любых матриц и, которые можно умножать;

5. для любой матрицы и любого вектора.

Как следует из определения (3.9), каждой из векторных норм соответствует своя подчиненная норма. В частности, нормам,исоответствуют нормы,и, определяемые по формулам

,

, – собственные числа матрицы,

.

Таким образом, для получения первой нормы необходимо найти сумму модулей элементов каждого из столбцов матрицы , а затем выбрать максимальную из этих сумм. Для получения нормыаналогичным образом следует поступить со строками матрицы.

Очень часто в приложениях СЛАУ определена приближенно, т.е. имеются некоторые малые возмущения коэффициентов и коэффициентов. Рассмотрим возмущенную системуи обозначим,,. Если матрицаимеет обратную и выполнено условие

,

то матрица имеет обратную и справедлива оценка относительной погрешности решения

, (3.3)

где

представляет собой число обусловленности матрицы , характеризующее пристепень зависимости относительной погрешности решения от относительной погрешности правой части. Если матрицаблизка к вырожденной, то числобудет велико, и в этом случае матрицаплохо обусловлена.

Эффективность вычислений в линейной алгебре существенно зависит от умения использовать структуру и свойства матриц. Некоторые важные типы матриц приведены ниже.

Квадратная матрица называетсядиагональной, если элементы при, а элементы, отличные от нуля, располагаются на главной диагонали. Диагональную матрицу, у которой все элементы главной диагонали равны единице, называютединичной и обозначают :

, .

Важную роль в вычислительной линейной алгебре играют треугольные матрицы. Квадратную матрицу называютнижней треугольной, если все ее элементы расположены ниже главной диагонали (для). При равенстве нулю всех элементов матрицы, расположенных выше главной диагонали (для), матрицу называютверхней треугольной. Нижняя и верхняя треугольные матрицы имеют соответственно следующий вид

, .

Определитель треугольных матриц легко вычисляется по формуле

.

Квадратная матрица называетсясимметричной, если она совпадает со своей транспонированной матрицей , т.е.. Очевидно, что диагональная и единичная матрицы являются симметричными. При этом значения квадратичной формы положительно определенной симметричной матрицы() лежат в пределах

,

где и– минимальное и максимальное собственные значения матрицы.

Различные прикладные задачи часто приводят к матрицам, в которых число ненулевых элементов много меньше общего числа элементов матрицы, такие матрицы принято называть разреженными. Одним из источников таких матриц являются математические модели технических устройств, состоящих из элементов, связи между которыми локальны. Примером разреженной матрицы служит ленточная матрица, все ненулевые элементы которой расположены на ближайших к главной диагоналях. Простейшим представителем ленточной матрицы является трехдиагональная матрица

.