8.4. Решение дифференциальных уравнений гиперболического типа

К дифференциальным уравнениям гиперболического типа приводят задачи колебания струны, движения сжимаемого газа, распространение возмущения электромагнитных полей и многие другие. Рассмотрим одномерную задачу на примере решения задачи малых колебаний натянутой струны с распределенной по длине нагрузкой :

, (8.33)

где – смещение струны относительно положения равновесия, а– константа, имеющая размерность скорости. Запишем начальные и краевые условия этой задачи (ограничимся краевыми условиями первого рода):

(8.34)

где , а.

Составим несложную, но достаточно эффективную разностную схему решения этой задачи. Выберем прямоугольную и для простоты равномерную сетку с шагом по времени равным (узел) и по координате–(узел). Введем обозначения,,и. Аппроксимируя производные конечными разностями, получим трехслойную схему

, (8.35)

или, вводя обозначение ,

. (8.36)

Здесь индекс , а граничные условия будут иметь вид

. (8.37)

Данную схему по форме шаблона называют схемой «крест»:

(i,j+1)

|

(i-1,j) — (i,j) — (i+1,j)

|

(i,j-1)

Организация вычисления по этой схеме достаточно проста. На нулевом слое решение известно из начального условия с. На первом слое решение также можно вычислить, используя второе начальное условие в виде разностного уравнения,

, (8.38)

откуда

. (8.39)

Устойчивость этой схемы для однородного уравнения исследуем методом разделения переменных. Основная идея этого метода состоит в том, что исследуется решение на слое в виде комплексной гармоники и рассматривается ее поведение. При этом если модуль множителя (коэффициента) роста гармоники больше единицы при переходе со слоя на слой, то процесс считают неустойчивым, а соответствующий алгоритм не сходится. В соответствии с этим положим

(8.40)

где – номер гармоники, – множитель роста, а – мнимая единица. Подставим выражения (8.40) в уравнения (8.35) или (8.36) и сократим на, тогда получим уравнения для определения множителя роста:

. (8.41)

Условием устойчивости является . По теореме Виета произведение корней этого уравнения. Следовательно, условие устойчивости может быть выполнено, если. Для уравнения с действительными коэффициентами это означает, что корни образуют комплексно сопряженную пару, это означает, что дискриминант уравнения не должен быть положительным:

. (8.42)

Чтобы это условие выполнялось для любых гармоник, необходимо и достаточно соблюдение условия Куранта . Таким образом, схема «крест» условно устойчива.

Построим более сложную, но хорошую схему, которая устойчива при любых значениях . В схеме решения (8.35) вторая производная по координате аппроксимирована в слое с номером , составим уравнение, в котором эта производная представлена в виде суммы с весамив слоях,и:

(8.43)

Для того чтобы все веса были неотрицательны, необходимо потребовать . В граничных узлах решение определяется из краевых условий, организация счета аналогична схеме «крест». Кроме этого, данная схема является неявной, при построении расчетов относительнополучаем систему линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей коэффициентов.

Исследуем устойчивость этой схемы методом разделения переменных. Делая подстановку (8.40), получаем уравнение для множителя роста:

, (8.44)

где

.

На основании тех же рассуждений, что и для схемы крест, можно сделать вывод: устойчивость будет только при комплексно сопряженных корнях, т.е. при . Отсюда вытекает условие устойчивости схемы:

. (8.45)

Из этого неравенства видно, что при схема – условно устойчива, а присхема – безусловно устойчива. Отметим, что присхема (8.43) переходит в схему крест.

Задания к главе 8

8.1. Методом сеток решить уравнение теплопроводности с начальным и граничными , условиями, где .

Применяя явную схему, найти распределение температуры , соответствующее различным моментам времени (в различных слоях сетки). Используя разные значения параметра , сравнить полученные результаты. Отдельно исследовать, как влияет несоблюдение условия устойчивости схемы на результаты вычислений, приняв .

Применяя неявную схему, получить систему линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей и, решая эту систему методом прогонки, последовательно получить значения функции для различных значений .

№ вар-та	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	2,5	3,0	3,5	4,0	4,5	5,0	5,5	6,0	6,5	7,0
	1,0	1,2	1,4	1,6	1,8	2,0	2,2	2,4	2,6	2,8
	1	2	-1	1	-1	2	3	-2	1	2
	2	1	2	-2	1	3	2	1	-2	5

8.2. Найти распределение потенциала внутри коробки прямоугольного сечения , если граниизаряжены до потенциала и , соответственно, а грани изаземлены.

№ вар-та	1	2	3	4	5

8.3. Решить уравнение гиперболического типа, используя схему «крест», в области .

№ вар-та	6	7	8	9	10
				1	0
			0	0
			0		0
		0			0
		0		0

* Ильин В.А., Поздняк Э.Г. Основы математического анализа: Ч.2, М.: Наука, 1980.-С.50