2.5. Модификации метода Ньютона

Модификации метода Ньютона направлены в основном на исключение из итерационных процедур вычисления производной. При этом итерационные методы решения нелинейных уравнений, предлагаемые в этом параграфе (безусловно, не все), по существу используют некоторую процедуру линеаризации.

Упрощенный метод Ньютона. Допустим, некоторым методом, например методом дихотомии, найдена достаточно малая окрестность решения уравнения (2.1). Если производная в этой окрестности непрерывна, то ее значение вблизи корня практически постоянно. Поэтому можно лишь однажды вычислить производную только в точке начального (или какого угодно) приближения, а затем заменить в формуле (2.21) на значение . В результате получается расчетная формула упрощенного метода Ньютона

. (2.25)

Упрощение вычислений достигается за счет резкого падения скорости сходимости.

Метод секущих. Производную функции в точке приближенно можно заменить ее дискретным аналогом – конечными разностями. Так как предел последовательности приближений решения нелинейного уравнения стремится к точному решению и функция непрерывна, то и . Следовательно, приближенно производную можно заменить следующим образом:

. (2.26)

В этом случае итерационная формула метода секущих будет иметь вид

. (2.27)

Метод секущих, в отличие от предыдущих, является двухшаговым: для нахождения следующего приближения необходимо знание двух предыдущих значений; соответственно для начала вычисления требуется задать два начальных приближения. Метод получил свое название из-за того, что приближение является результатом пересечения прямой, соединяющей точки с координатами и , что иллюстрирует Рис.2.5.

Метод ложного положения. В упрощенном методе Ньютона используем производную, вычисленную лишь в одной точке. Если в методе секущих вместо приближения взять некоторое постоянное значение , то вычислительная процедура нахождения решения нелинейного уравнения (2.1) существенно упрощается. При этом, безусловно, значение должно быть выбрано таким образом, чтобы оно находилось вблизи корня уравнения. Расчетное соотношение принимает вид

. (2.28)

Метод становится одношаговым: требуется лишь одно начальное приближение, однако при этом, конечно, скорость сходимости уменьшается.

Рис.2.5. Метод секущих

Задачи для самостоятельного решения

Графически локализовать корни уравнений и вычислить их с точностью методами а) дихотомии и б) хорд, составить алгоритм и написать программу.

2.1

2.2

2.3

2.4

2.5

Графически локализовать корни уравнений и вычислить их методом простой итерации с точностью

2.6

2.7

2.8

2.9

2.10

Графически локализовать корни уравнений и вычислить их с точностью методами а) Ньютона, б) модифицированным методом Ньютона, в) секущих, г) ложного положения. Для пунктов б), в), г) составить алгоритм и написать программу.

2.11

2.12

2.13

2.14

2.15

3. Решение систем линейных алгебраических уравнений

В вычислительной линейной алгебре обычно выделяют четыре основных типа задач:

1. решение систем линейных алгебраических уравнений;

2. нахождение собственных значений и собственных векторов;

3. вычисление определителей;

4. нахождение обратных матриц.

В основе решения этих задач лежит анализ системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), которая имеет следующий вид

(3.1)

Ее можно представить в матричном виде

, (3.2)

где

, ,,

при этом предполагается, что .