8.1. Решения дифференциальных уравнений первого порядка

Существует много задач о распространении частиц в веществе, например, определение теплопроводности в газах, обусловленное диффузией атомов и электронов. Такие уравнения приводят к уравнению переноса, простейшее из которых приводит к линейному дифференциальному уравнению

, (8.3)

где – скорость переноса. Для полной определенности решения зададим начальные и граничные условия

(8.4)

Построим разностную схему решения этого уравнения, которую называют схемой бегущего счета. Введем прямоугольную сетку, образованную пересечением прямых линий:

,

.

Точку будем называть узлом, а множество узлов с одним и тем же значением индекса -слоем (-тым слоем). Положим – это значение функции в узле . Проведем аппроксимацию производных в уравнении (8.3), при этом будем полагать, что , а, получим следующие численные схемы

(8.5)

где наилучшим приближением правой части (8.3) будет

. (8.6)

Будем называть шаблоном разностной схемы множество узлов, входящих в соответствующую формулу. Шаблоны этих схем представлены на рисунке 8.1.

(i,j+1) (i-1,j+1) — (i,j+1) (i-1,j+1) — (i,j+1)

| | |

(i-1,j) — (i,j) (i-1,j) (i,j)

a) б) в)

Рисунок 8.1. Шаблоны схем расчета

Формально первая из схем (8.5) является явной, а остальные две – неявными, фактически же они ведут себя как явные. Действительно, во всех этих задачах значение на следующем слое явно выражается через значения на предыдущем. Решение на нулевом слое определяется из начальных условий , на первом слое значенияизвестны в силу граничного условия, далее вычисляем все значения на первом слое. Затем, зная решение на первом слое, точно так же вычисляем его на втором слое и т.д.

Отметим, что явная схема пригодна для расчета на полу- или бесконечной прямой, неявные схемы бегущего счета к такой задаче неприменимы. Однако на практике задача для уравнения переноса в неограниченной области почти не встречается.

Исследуем устойчивость разностной схемы, используя принцип максимума. Пусть и – решения одной и той же разностной схемы, отвечающие разным начальным условиям. Разностная схема называется устойчивой (равномерно устойчивой), если выполняется условие

, (8.7)

где , а не зависит от и , при этом норма определяется как максимум модуля. Справедливо следующее утверждение. Если при всех выполняется условие

, (8.8)

где , а , то соответствующая разностная схема равномерно устойчива.

Условие (8.8) означает, что если на некотором слое имеется ошибка , то при переходе на следующий слой норма возрастет не более чем в раз. Для перехода от к надо сделать число шагов по времени, определяемое равенством . При этом ошибка возрастет не более чем в раз. Отсюда следует, что

, (8.9)

где , то есть выполняется (8.7).

Из соотношения (8.8) видно, что если константа велика, то, хотя схема формально устойчива, фактически ошибка может сильно возрастать в ходе расчетов, т.е. схема является слабо устойчивой. Очевидно, чем больше промежуток времени , на котором ищется решение, тем меньше величина обеспечивает устойчивость расчета. При больших схема будет устойчивой лишь при . Поэтому при проверке выполнения достаточного условия устойчивости обычно полагают .

Внесем для однородного уравнения явной схемы на слое j ошибку в вычисления , тогда ошибка на слое (j+1) будет определяться из уравнения

. (8.10)

Откуда

(8.11)

и получаем критерий равномерной устойчивости схемы

. (8.12)

Это так называемое условие Куранта. Так как схема является устойчивой не при всех значениях , то она является условно устойчивой. Аналогичные рассуждения для обеих неявных схем приводят к выводу о том, что они устойчивы при любых соотношениях , таким образом, эти схемы являются безусловно устойчивыми.