2.3. Метод простой итерации

Если от уравнения (2.1) перейти к эквивалентному уравнению

, (2.9)

то возможно использование итерационной процедуры нахождения корня уравнения. При этом функцию часто называют итерационной.

Процедура нахождения корня достаточно проста: выберем какое-либо начальное приближение и подставим его в уравнение (2.9). В результате получим первое приближение , которое опять подставим в уравнение. Продолжая этот процесс неограниченно, получим последовательность приближений к корню, вычисляемую по формуле

. (2.10)

Очевидно, что если существует предел последовательности и функция непрерывна, то получим равенство

, (2.11)

а это значит, что – корень уравнения (2.9). Отметим, что метод простой итерации является одношаговым.

Геометрическая интерпретация метода представлена на Рис.2.3. Из рисунка видно, что метод простой итерации может приводить как к сходящейся к решению процедуре, так и к расходящейся.

Для использования этого метода необходимо установить критерий его сходимости. Будем считать, что в итерационной формуле (2.10)

(2.12)

где и – отклонения -го и ()-го приближения от корня . Если процесс уточнения осуществляется вблизи корня , то функцию приближенно можно представить в виде первых двух членов разложения в ряд Тейлора. Используя выражение (2.11), получаем

. (2.13)

Принимая во внимание равенство (2.11), имеем

. (2.14)

Для обеспечения сходимости итерационного процесса необходимо потребовать, чтобы , что приводит к условию , откуда

. (2.15)

Если , то имеет место односторонняя сходимость к решению (Рис.2.3,а); если же выполняется условие , то сходимость будет двухсторонней (Рис.2.3,б). В случае, когда или (Рис.2.3,в и 2.3,г), итерационный процесс расходится.

а

б

в

г

Рис.2.3 Метод простой итерации

Зная условие сходимости итерационного процесса (2.15), можно разработать процедуру перехода от уравнения (2.1) к уравнению (2.9) так, чтобы итерационный процесс сходился наиболее эффективным образом. Для этого умножим обе части равенства (2.1) на некоторую константу и прибавим , получим

. (2.16)

Таким образом, искомая функция будет иметь вид

. (2.17)

Произвольный параметр выбирается так, чтобы было обеспечено условие сходимости. Наиболее удобно выбрать этот параметр из условия для обеспечения двухсторонней сходимости, при этом критерий окончания итерационного процесса будет наиболее простым

. (2.18)

Наибольшая скорость сходимости будет, когда , то есть .

2.4. Метод Ньютона

Одним из наиболее эффективных методов нахождения корней уравнения (2.1) является метод Ньютона, расчетное соотношение которого можно получить, используя два различных подхода.

Метод касательных. Допустим, найдено некоторое начальное приближение к решению уравнения. В точке с координатами проводим касательную к графику функции , затем находим точку пересечения этой касательной с осью абсцисс – это будет первое приближение (Рис.2.4). Строя касательную в точке и находя точку ее пересечения с осью , определяем второе приближение . Продолжая этот процесс, получаем последовательность приближений ,,..., ,... к корню уравнения (2.1).

Уравнение касательной, проведенной к графику функции в точке , будет иметь вид

. (2.19)

Согласно описанной последовательности следующее приближение получается при , т.е. из уравнения

. (2.20)

Откуда

. (2.21)

Именно благодаря такой геометрической интерпретации этот метод иногда называют методом касательных.

Рис.2.4. Метод Ньютона

Метод линеаризации. Если определена некоторая достаточно малая область нахождения решения, то любую сложную кривую в этой области приближенно можно заменить на прямую, т.е. провести линеаризацию функции в данной области. Используя эту процедуру, можно свести решение исходного нелинейного уравнения к последовательному решению линейных уравнений.

Пусть приближение найдено, тогда, представляя функцию в окрестности точки в виде разложения в ряд по формуле Тейлора, получаем

, (2.22)

где – некоторая точка отрезка . Заменяя функцию ее главной линейной частью, находим решение (2.1) в виде аналогичном (2.21), согласно предыдущему анализу это будет приближение.

Метод Ньютона можно рассматривать как один из вариантов метода простой итерации. В самом деле, если принять

, (2.23)

итерационная формула (2.21) совпадет с итерационной формулой (2.10). При этом вопрос о сходимости метода Ньютона будет вытекать из сходимости метода простой итерации. Необходимо отметить, что из всех итерационных формул метод Ньютона обладает наибольшей скоростью сходимости. Критерий окончания итерационного процесса также будет определяться соотношением (2.18).

К сожалению, метод Ньютона, отличаясь простотой, логической стройностью и высокой скоростью сходимости, имеет ряд существенных недостатков. К наиболее важным из них относятся два. Во-первых, для реализации метода необходимо на каждом шаге вычислять производную. Часто сделать это аналитически весьма непросто, а определять приближения с требуемой точностью достаточно трудно. Во-вторых, метод Ньютона обладает локальной сходимостью. Это означает, что областью его сходимости является только некоторая (иногда достаточно малая) окрестность решения. Если начальное приближение выбрано плохо, то в некоторых случаях возможно появление расходящейся последовательности приближений.

Для преодоления первого недостатка используют некоторые модифицированные методы, избегая непосредственного вычисления производной. Чтобы расширить область возможных начальных приближений, метод Ньютона используют совместно с медленно сходящимися методами, но дающими гарантированную сходимость (например, методом дихотомии).

Алгоритм

1. Локализуем корень.

2. Выбираем начальное приближение .

3. Вычисляем производную в точке .

4. Вычисляем следующее приближение по формуле (2.21).

В качестве примера программной реализации возьмем уравнение (2.3). Будем искать решение с точностью не более на отрезке , где, как было показано, находится только один корень. С учетом соотношение (2.21), получим следующую итерационную формулу:

. (2.24)

Программа 2.2.

x0=0.5;

eps=1.e-6;

dx=1;

while dx>eps

x=x0+(4*(1-x0^2)-exp(x0))/(8*x0+exp(x0));

dx=abs(x-x0);

x0=x;

end;

x0

dx

end.

В результате вычислений найдем значение корня с точностью .