4.4. Кусочно-полиномиальная интерполяция

Интерполяция многочленом Лагранжа или Ньютона на отрезке с использованием большого числа узлов приводит к увеличению степени интерполяционного многочлена, что затрудняет вычисления и увеличивает погрешность. Для решения этой проблемы отрезокразбивают на части и на каждой из них приближенно заменяют функцию многочленом некоторой, обычно не слишком большой степени. Такой подход к решению задачи интерполяции называется кусочно-полиномиальной интерполяцией. Одним из видов кусочно-полиномиальной интерполяции является интерполяцией с помощью сплайн-функций.

Сплайн-функцией или сплайном называют кусочно-полиномиальную функцию, определенную на отрезке и имеющую на нем некоторое число непрерывных производных. Слово«spline» означает гибкую линейку, используемую для проведения гладких кривых через заданные точки плоскости. Преимущество сплайнов перед обычной интерполяцией заключается в том, что их сходимость к функции осуществляется быстрее. Более того, использование сплайнов повышает устойчивость процесса вычислений. Рассмотрим распространенный в вычислительной практике случай, когда сплайн определяется с помощью многочленов степени .

Интерполяционным сплайном порядка , соответствующим данной функции и данным узлам , называется функция, удовлетворяющая следующим условиям:

1. на каждом из отрезков она является многочленом степени();

2. на отрезке она имеет непрерывные производные до порядка;

3. , при

Если , то для единственностиследует задать дополнительно ещеусловий, которые обычно задаются на концах отрезкалибо произвольно, либо из дополнительной информации о поведении .

При получаем так называемый метод ломаных (каждая точка соединяется с соседними прямой линией). Очевидно, что равномерно сходится к непрерывной на отрезкефункции . Равномерная сходимость имеет место для квадратичного и кубического сплайна , причем скорость сходимости повышается вместе с увеличением порядка сплайна и повышением гладкости функции .

Рассмотрим построение кубического сплайна . На каждом из отрезков, где , будем искать функцию в виде многочлена третьей степени

. (4.19)

Здесь , , а , , и – коэффициенты, подлежащие определению. Выясним смысл введенных коэффициентов, для чего вычислим первые три производные функции (4.19):

Отсюда для получим

. (4.20)

Сучетом условия получим, что для

. (4.21)

Доопределим, кроме этого, . Таким образом, коэффициентыопределены.

Требование непрерывности функции приводит к условиям при

(4.22)

Из выражения (4.22)с учетом выражений (4.18), получаем при уравнения

. (4.23)

Обозначив перепишем в виде

, для . (4.24)

Условия непрерывности первой производной для , приведут к уравнениям

, для , (4.25)

а из условий непрерывности второй производной получим

, для . (4.26)

Объединяя уравнения (4.24)-(4.26), получим систему уравнений относительнонеизвестных , , (при ). Два недостающих условия получают, задавая те или иные граничные условия для . Пусть длявыполняются условия, тогдаили и , т.е. получаем два уравнения

и . (4.27)

Заметим, что условие совпадает с уравнением (4.26) при .

Таким образом, для определения неизвестных коэффициентов приходим к к замкнутой системе уравнений:

(4.28)

Систему уравнений (4.28) можно решать различными методами, однако путем преобразований ее можно свести к решению СЛАУ с трехдиагональной матрицей:

(4.29)

а

(4.30)

где . Отметим, что систему уравнений (4.29) можно решать с помощью метода прогонки.