4.1. Постановка задачи интерполяции

Пусть на отрезке задана сеткаи в ее узлах заданы значения функции, равные. Требуется построитьинтерполянту – функцию , совпадающую с функциейв узлах сетки:

, (4.1)

где – некоторые неизвестные параметры.

Основная цель – получить быстрый (экономичный) алгоритм вычисления значений для, не содержащихся в таблице данных. Основным вопросом интерполяции является выбор интерполянтыи оценка погрешности интерполяции, т.е. величины. Фактически он заключается в определении неизвестных параметров. По числу используемых узлов сетки будем называть интерполяцию одноточечной, двухточечной и т.д.

Если нелинейно зависит от параметров, то интерполяция называется нелинейной. Рассмотрим линейную зависимость функцииот параметров, т.е. будем считать, что она представима в виде обобщенного многочлена

. (4.2)

Известные, заранее заданные, функции должны быть линейнонезависимыми, иначе число членов в сумме и параметров можно уменьшить. На систему функцийнеобходимо наложить еще одно ограничение. Подставив (4.2) в (4.1), получим следующую систему линейных алгебраических уравнений для определения неизвестных коэффициентов:

. (4.3)

Чтобы задача (4.3) имела единственное решение, надо, чтобы для любого расположения узлов (лишь бы среди них не было совпадающих), определитель системы уравнений (4.3) был отличен от нуля:

(4.4)

для . Система функций, удовлетворяющая требованию (4.4), называется чебышевской. Таким образом, для линейной интерполяции необходимо строить обобщенный полином по какой-либо чебышевской системе функций.

В качестве линейнонезависимых функций чаще всего выбирают: степенные функции(тогда– полином степени), тригонометрические функции(в этом случае– тригонометрический полином), экспоненциальные и другие функции. Мы рассмотрим интерполяцию полиномами и сплайн-интерполяцию – кусочно-полиномиальную интерполяцию.

Указанный способ подбора функции называется лагранжевой интерполяцией. Возможен и другой способ, в котором требуется совпадение не только самих значений функции, но и их производных. В этом случае говорят об интерполяции Эрмита.

4.2. Полиномиальная интерполяция. Формула Лагранжа

Известно, что любая непрерывная на отрезке функцияможет быть хорошо приближена некоторым полиномом^*, о чем говорит теорема Вейерштрасса: Для любого существует полиномстепени, такой, что

.

Однако эта теорема не дает ответа на вопрос о существовании хорошего интерполяционного полинома для заданного множества точек . Будем искать такой полином методом неопределенных коэффициентов с использованием степенного базиса. Представим интерполяционный полином в виде

, (4.5)

где – неопределенные коэффициенты. Приняв во внимание (4.1), для нахождения неизвестных коэффициентовполучим систему линейных алгебраических уравнений:

(4.6)

Данная система имеет единственное решение, так как ее определителем является отличный от нуля определитель Вандермонда

(4.7)

для . Отсюда следует, что интерполяционный полином (4.5) существует и единственен (форм его записи существует множество).

В качестве базиса для построения интерполяционного полинома были взяты функции . Однако более удобным для вычислений является использование коэффициентов Лагранжа

(4.8)

где индексы иизменяются отдо, или полиномов Лагранжа (принимающих аналогичные значения при)

. (4.9)

Очевидно, что полином принимает значениев узлеи равен нулю во всех остальных узлах. Отсюда следует, что интерполяционный полином

(4.10)

имеет степень не выше и. Таким образом, полином, приближенно описывающий исходную функцию, найден. Формулу (4.10) называют формулой Лагранжа. Число арифметических операций для вычисления по формуле Лагранжа пропорционально. Предположив, что функцияимеет-ю непрерывную производную, можно получить, что погрешность аппроксимации составляет

для. (4.11)