Если заданы коэффициенты bn , an основного уравнения, то передаточная функция определятся следующей формулой
|
N |
|
|
bk z k |
|
H (z) |
k 0 |
(26) |
M |
|
|
1 am z m |
|
|
m 1
Разложив числитель и знаменатель передаточной функции (26) на элементарные множители, мы по аналогии с аналоговым фильтром получаем передаточную функцию в следующем виде.
53
H (z) k |
(1 z |
m |
z 1 )(1 z |
m 1 |
z 1 ) (1 z z 1 ) |
|
||
|
|
1 |
(27) |
|||||
(1 p |
n |
z 1 )(1 p |
n 1 |
z 1 ) (1 p z 1 ) |
||||
|
|
|
|
|
1 |
|
||
Здесь k = b0 - коэффициент усиления, zi – нули передаточной функции, pi - полюсы передаточной функции.
Частотная характеристика фильтра является преобразованием Фурье импульсной характеристики
Поэтому можно представить в виде ряда.
|
|
|
K( ) h(n) e |
i n t |
(28) |
|
|
n 0
54
Здесь t - шаг дискретизации, который связан с частотой Найквиста F формулой.
F |
1 |
(29) |
|
2 t |
|||
|
|
АЧХ и ФЧХ дискретного фильтра определяются формулами.
A( ) |
|
K( ) |
|
, |
(30) |
|
|
|
|||||
( ) arg K( ) |
||||||
|
||||||
Анализ формул (25) и (28) показывает, что частотная характеристика фильтра и передаточная функция H(z) связаны простым соотношением.
K( ) H (ei t ) (31)
55
Сравнение формул для аналогового фильтра и дискретного фильтра показывает, что они во многом близки. Но имеются и различия, например, частотная характеристика дискретного фильтра, является периодической функцией с периодом 4 F .
Вдальнейшем, чтобы отличать характеристики дискретного
ианалогового фильтра, будем обозначать аналоговый фильтр значком « a » , а дискретный фильтр значком « d ». Так как частотная характеристика дискретного фильтра обладает свойством периодичности, то это будет обозначаться следующим образом
Kd ( 4 F) Kd ( ) (32)
56
При проектировании дискретного фильтра по
аналоговому прототипу необходимо совершить переход из s - области в z - область. Другими словами, необходимо преобразовать функцию передачи Ha(s) аналогового фильтра в функцию передачи Hd(s) дискретного фильтра.
Получающийся дискретный фильтр не может быть полностью идентичен аналоговому прототипу по своим характеристикам. Можно говорить только об определенном соответствии характеристик аналогового и дискретного фильтров.
57
Метод билинейного - преобразования
Данный метод позволяет синтезировать рекурсивный дискретный фильтр по частотной характеристике аналогового прототипа.
В данном методе предлагается следующее билинейное преобразование (bilinear transformation).
s |
2 |
|
z 1 |
(33) |
||
t |
|
z 1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
Далее будем предполагать, что передаточные функции дискретного и аналогового фильтров связаны соотношением.
58
H d (z) H a (s) |
(34) |
|
где s определяется билинейным преобразованием (33). Отсюда получаем искомую формулу перехода от аналогового фильтра- прототипа к дискретному фильтру.
H d (z) H a ( |
2 |
|
z 1 |
) (35) |
t |
|
|||
|
|
z 1 |
||
Частотная характеристика дискретного фильтра выражается через передаточную функцию следующим образом.
Kd ( ) H d (e |
i t |
) |
(36) |
|
|||
|
|
|
59
Объединяя формулы (35) и (36) получаем.
|
i t |
|
2 |
ei t 1 |
|
||
Kd ( ) H d (e |
|
|
|
|
i t |
|
(37) |
|
|
|
|
||||
|
) H a |
t |
e |
1 |
|
||
|
|
|
|
|
|||
Используя формулу Эйлера, получаем.
ei t 1 |
|
t |
(38) |
||
|
|
i tg |
|
|
|
ei t 1 |
2 |
|
|||
|
|
|
|||
Подставляя выражение (38) в формулу (37) записываем частотную характеристику дискретного фильтра в следующем виде.
60
|
|
|
|
2 |
|
t |
|
|
K |
d |
( ) H |
i |
|
tg |
|
|
(39) |
|
|
|||||||
|
|
a |
t |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Наконец используем связь между комплексным коэффициентом передачи и передаточной функцией аналогового фильтра.
Ka ( ) H a (i ) |
(40) |
|
Окончательно, объединяя формулы (39) и (40) находим связь между частотными характеристиками дискретного и аналогового фильтров.
|
|
|
2 |
|
t |
|
|
K |
d |
( ) K |
|
tg |
|
|
(41) |
|
|
||||||
|
a |
t |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
61 |
|||
На двух рисунках показаны АЧХ аналогового фильтра Чебышева первого рода с частотой среза 0 = 1 рад/с , и АЧХ дискретного
фильтра рассчитанная по формуле (41). Частота Найквиста взята
равной F = 0.5 Гц .
A( ) of Chebyshev type I filter
1
0.8
0.6
0.4
0.2
00 |
|
|
|
5 |
10 |
15 |
62