Первое, на что следует обратить внимание, это то, что изменилось число нулей и полюсов. Если внимательно рассмотреть рисунок, то можно увидеть 10 полюсов и 10 нулей.
Второе, численные значения нулей и полюсов изменились. |
43 |
Проектирование дискретных фильтров
Под проектированием (или синтезом) цифровых фильтров понимается выбор таких наборов коэффициентов {an} ,{bn} основного уравнения фильтра, при которых характеристики получающегося фильтра удовлетворяют заданным требованиям.
Существует большое количество различных методов синтеза дискретных фильтров. Мы рассмотрим некоторые наиболее популярные методы.
44
Синтез рекурсивного фильтра по аналоговому про
Напомним, что если хотя бы один коэффициент an отличен
от нуля, то фильтр называется рекурсивным фильтром. Рекурсивный фильтр – это фильтр с обратными связями.
Рекурсивные фильтры могут быть как КИХ – фильтрами, так и БИХ – фильтрами. КИХ – фильтры это фильтры с конечной импульсной характеристикой, БИХ – фильтры это фильтры с бесконечной импульсной характеристикой.
При проектировании дискретного фильтра с заданными характеристиками одним из методов является метод, когда за основу берется похожий аналоговый фильтр.
Аналоговый фильтр в этом случае принято называть фильтром-прототипом (на английском языке Referenced
Filter).
45
При проектировании дискретного фильтра по аналоговому прототипу необходимо совершить переход из s - области в z - область. Другими словами, необходимо преобразовать функцию передачи Ha (s) аналогового фильтра в функцию передачи Hd (z) дискретного фильтра.
Вспомним некоторые основные соотношения теории аналоговых и дискретных фильтров.
Сначала рассмотрим аналоговые фильтры.
46
Основным уравнением аналогового фильтра является следующее дифференциальное уравнение.
a |
d n y |
a |
|
d n 1 y |
a |
d y |
a |
|
y(t) |
|
||
n dt n |
|
dt n 1 |
|
|
(14) |
|||||||
|
|
n 1 |
|
1 dt |
|
0 |
|
|
||||
|
|
b |
d m x |
b |
d m 1 x |
b |
dx |
b x(t) |
||||
|
|
|
m 1 dt m 1 |
|
||||||||
|
|
|
m dt m |
|
|
|
1 dt |
0 |
||||
Аналоговый фильтр описывается также функцией времени h(t) -
импульсной характеристикой. Импульсная характеристика определяется из уравнения, которое связывает входящий x(t) и выходящий y(t) сигналы.
h(t) 0, |
t 0 |
(15) |
|
|
|
y(t) h(t ) x(t t ) d t x(t ) h(t t ) d t
|
|
47 |
Уравнение (15) означает, что выходящий сигнал является сверткой импульсной характеристики и входящего сигнала.
y(t) h(t) x(t)
Передаточная функция H(s) аналогового фильтра является изображением Лапласа импульсной характеристики h(t).
H (s) h(t) e s t dt (16)
0
Здесь s - комплексное число
48
Если заданы коэффициенты bn , an основного уравнения, то передаточная функция определятся следующей формулой.
|
b sm b |
|
sm 1 b s b |
|
||
H (s) |
m |
m 1 |
1 |
0 |
(17) |
|
a sn a |
|
sn 1 a s a |
|
|||
|
n |
n 1 |
|
1 |
0 |
|
|
|
|
||||
Разложив числитель и знаменатель передаточной функции (17) на элементарные множители, мы получаем передаточную функцию в следующем виде.
H (s) k |
(s zm )(s zm 1 ) (s z1 ) |
(18) |
||||
(s p |
n |
)(s p |
n 1 |
) (s p ) |
||
|
|
|
1 |
|
||
Здесь k = bm /an - коэффициент усиления, zi – нули передаточной
функции, pi - полюсы передаточной функции.
49
Комплексный коэффициент передачи фильтра является преобразованием Фурье импульсной характеристики.
|
i t |
|
|
K( ) h(t) e |
d t |
(19) |
|
|
|
АЧХ и ФЧХ аналогового фильтра определяются формулами.
A( ) K( ) ,
(20)
( ) arg K( )
Анализ формул (16) и (19) показывает, что комплексный коэффициент передачи фильтра и передаточная функция
H(s) связаны простым соотношением.
K( ) H (i ) (21)
50
Теперь рассмотрим дискретные фильтры.
Основное разностное уравнение линейного дискретного фильтра имеет вид.
M |
N |
y(n) am y(n m) bk x(n k) (22) |
|
m 1 |
k 0 |
Дискретный фильтр описывается также импульсной характеристикой h(n). Импульсная характеристика определяется из уравнения, которое связывает входящий дискретный сигнал x(n) и выходящий дискретный сигнал y(n).
|
|
|
y(n) h(k) x(n k) x(k) h(n k) (23) |
|
|
k 0 |
k 0 |
51 |
|
|
|
Уравнение (23) означает, что выходящий сигнал является сверткой импульсной характеристики и входящего сигнала.
y(n) h(n) x(n) |
(24) |
Передаточная функция H(z) дискретного фильтра является Z
– образом импульсной характеристики h(n).
|
|
H (z) h(n) z n |
(25) |
n 0
52