Теорема Котельникова
Для цифровой обработки аналогового сигнала s(t), прежде всего, необходимо преобразовать его в дискретный сигнал. Взяв
определенный шаг дискретизации t можно получить |
|
дискретный сигнал sn |
по формуле |
sn s( tn ), |
tn n t |
(56) |
|
|
Проблема восстановления непрерывного (аналогового) сигнала по заданному дискретному сигналу решается теоремой отсчетов.
В отечественной литературе эта теорема известна как теорема Котельникова, а в зарубежной – как теорема
Найквиста или теорема Шеннона.
42
Теорема 2. (Теорема отсчетов). Если сигнал s(t) имеет спектр ограниченный полосы, т.е. S(f) = 0 при f > F , то функция s(t) может быть точно восстановлена по своим значениям в точках ,
tk k t, k Z где
t 2F |
(57) |
1 |
при помощи формулы.
|
sin(2 F (t k t)) |
|
s(t) sk |
2 F (t k t) |
(58) |
|
||
k |
|
Введенная здесь частота F называется частотой Найквиста.
43
Доказательство. Выразим сигнал через его спектр
F
s(t) S( f ) ei 2 f t d f S( f ) ei 2 f t d f
F
Тогда с использованием формул (56, 57) получаем выражение для дискретного сигнала
F |
i |
k |
f |
|
|
|
s(k t) S( f ) e |
F |
d f |
(60) |
|||
|
|
|||||
|
|
|
|
F
44
Спектр S(f) , принимающий ненулевые значения только на отрезке f [-F, F] , периодически продолжим (с периодом 2F) на всю ость частот, и полученную в результате периодическую функцию SD ( f ) представим в виде комплексного ряда Фурье.
|
|
|
i |
k |
f |
|
|||
SD ( f ) ck e |
|
|
|
|
|||||
|
F |
|
(61) |
||||||
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
F |
|
i |
k |
f |
|
||
cn |
S( f ) e |
|
d f |
||||||
|
|
|
|
F |
|||||
|
|
F |
|
|
|
|
|
||
|
2F |
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь учтено, что на интервале [-F, F] спектр S(f) и спектр
совпадают. Сравнивая поученную запись с выражением для s(k t) (60), видим, что
ck |
1 |
s( k t) |
(62) |
|
2F |
||||
|
|
45 |
||
|
|
|
Тогда получаем
|
|
|
1 |
|
i |
k |
f |
|
SD ( f ) |
s( k t) e |
F |
||||||
|
|
|||||||
|
|
|
2F k |
|
|
|
||
|
1 |
|
|
|
|
(63) |
||
|
|
|
|
|
||||
|
s(k t) e i 2 k t f |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|||||
|
2F k |
|
|
|
|
|||
Здесь при переходе от первой суммы ко второй была совершена замена
k k
46
Берем формулу для сигнала (59) и заменяем в ней спектр S(f) на спектр SD ( f ) (63)
F
s(t) SD ( f ) ei 2 f td f |
|
(64) |
|||||
|
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
F |
|
|
|
|
|
|
|
s(k t) e |
i 2 f t |
|
|||
|
|
|
|
i 2 k t f |
|
||
|
|
|
e |
|
d f |
||
2F |
|
||||||
|
F |
|
k |
|
|
|
|
Меняя в последнем выражении порядок интегрирования и суммирования, имеем
|
1 |
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
i 2 f ( t k t ) |
(65) |
s(t) |
|
s(k t) |
e |
|
d f |
|
|
2F k |
|
F |
|
|
|
47
Отсюда, учитывая, что интеграл в (65) равен
F |
i 2 f ( t k t ) |
|
|
sin(2 F (t k t)) |
|
|
e |
d f |
|
(66) |
|||
|
2 F (t k t) |
|||||
|
|
|
|
|||
F |
|
|
|
|
получаем утверждение теоремы.
! Доказать справедливость формулы (66).
48
Итак, шаг дискретизации t позволяет точно восстановить аналоговый сигнал, если его спектр ограничен условием
max |
|
f |
|
F |
|
1 |
(67) |
|
|
||||||
|
|
|
|||||
|
|
|
|
max |
|
2 t |
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда, окончательно, критерий для выбора шага дискретизации аналогового сигнала при известной максимальной частоте Fmax спектрального представления принимает следующий вид.
t |
1 |
(68) |
2F |
max |
49 |
|
Это условие можно записать через частоту Найквиста F
F Fmax |
(69) |
|
Другими словами, при дискретизации аналогового сигнала частоту Найквиста надо выбирать большей максимальной частоты спектра аналогового сигнала.
! Написать программу в пакете MATLAB для восстановления сигнала с помощью ряда Котельникова . Проведя интегрирование, доказать справедливость формулы (58).
50