Интеграл в формуле (19) вычислим, используя интегрирование по частям
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
s (t)t s(t) d t |
t d s2 |
(t) |
||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
(20) |
2 t s2 (t) |
|
|
|
2 |
s2 |
(t) d t |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Первый член в правой части формулы (20) обращается в ноль.
1 |
t s |
2 |
(t) |
|
|
0 |
(21) |
|
|||||||
|
|
||||||
2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
11
Это следует из следующих соображений. В нашем доказательстве мы предполагаем, что существует конечный интеграл (10), который определяет ширину импульса.
t |
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
t |
s |
(t) d t |
(22) |
|||||
|
||||||||
|
|
|
|
Из математического анализа известно, что в этом случае существуют пределы
lim (t2 s2 (t)) 0, |
lim (t2 s2 (t)) 0 |
(23) |
n |
n |
|
12
Из пределов (23) вытекает, что существуют также пределы
lim (t s2 (t)) 0, |
lim (t s2 (t)) 0 (24) |
n |
n |
Отсюда видно, что выполняется формула (21).
Интеграл в правой части формулы (20) равен единице, потому что по формуле (1) этот интеграл равен энергии сигнала E . Мы в доказательстве предполагаем, что сигнал у нас нормированный и его энергия равна единице.
Поэтому формула (20) принимает следующий вид.
|
|
1 |
|
|
s (t) t s(t) d t |
|
(25) |
||
2 |
||||
|
|
|
|
13 |
|
Подставляем формулу (25) в неравенство (19) , в результате получаем выражение
f |
2 |
t |
2 |
|
|
1 |
|
1 |
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(26) |
||
|
|
2 |
2 |
2 |
4 |
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Извлекаем квадратный корень из левой и правой частей формулы (26), и получаем
f t |
1 |
(27) |
4 |
||
|
|
! Доказать, что для ненормированного сигнала неравенство (27) принимает вид.
f t |
E |
(28) |
|
4 |
|||
|
|
14
Спектр дискретного сигнала
Напомним, что дискретный сигнал получают из непрерывного сигнала (аналогового сигнала) с помощью дискретизации.
sn |
s( tn ), |
tn n t |
(29) |
здесь t |
- шаг дискретизации, а числа sn называют |
||
отсчетами сигнала. |
|
|
|
На рисунке показано как из непрерывного сигнала получают дискретный сигнал.
15
Analog Signal
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0.8 |
0.6 |
0.4 |
0.2 |
0 |
0.2 |
0.4 |
0.6 |
0.8 |
1 |
1 |
||||||||||
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Discrete Signal
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Sn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
4 |
3 |
2 |
1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
5 |
||||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аргументом непрерывного сигнала s(t) является время
t (- , ). Аргументом дискретного сигналаsn является индекс n .
Возникает вопрос, как распространить понятие частотный спектр на дискретный сигнал.
Напомним, что для финитного непрерывного сигнала спектр определяется преобразованием Фурье.
S( f ) s(t) e i 2 f t d t
|
(30) |
|
|
||
|
||
s(t) S( f ) ei 2 f t d f |
|
|
|
18 |
Для периодического сигнала, который является инфинитным, понятие спектра можно ввести с помощью комплексного ряда Фурье.
|
|
|
2 |
k |
|
|
|
|
s(t) ck ei |
|
T |
t |
|
|
|||
|
k |
|
|
|
|
|
(31) |
|
|
1 |
T / 2 |
|
i |
2 |
k |
t |
|
|
|
|||||||
ck |
|
|
|
dt |
||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
s(t) e |
|
|
|
T |
|
||
T T / 2
Разложение в ряд Фурье (31) означает, что периодический сигнал s(t) с периодом T содержит в себе гармонические колебания с частотами
fk |
|
k |
, |
k Z |
(32) |
|
T |
||||||
|
|
|
|
19 |
||
|
|
|
|
|
Расстояние между соседними частотами определяется соотношением
f |
fk 1 fk |
|
1 |
|
T |
||||
|
|
|
Сравнивая формулы (30) и (31) по аналогии свяжем спектр периодического сигнала с коэффициентами разложения в ряд Фурье
S( fk ) T ck |
(33) |
|
20