пектральные свойства сигналов трех основных тип
Укажем основные спектральные свойства сигналов трех типов.
Первое, на что следует обратить внимание, это дискретность и непрерывность спектра.
|
|
|
|
1. |
Финитный непрерывный сигнал |
непрерывный спектр. |
|
2. |
Периодический сигнал |
|
дискретный спектр. |
3. |
Дискретный сигнал |
|
периодический спектр. |
Второе, на что следует обратить внимание, это формулы для нахождения спектра и обратное преобразование для восстановления сигнала по его спектру.
31
1. Для финитного непрерывного сигнала эту задачу выполняет интегральное преобразование Фурье.
|
|
S( f ) s(t) e i 2 f t dt |
(48) |
|
|
|
|
s(t) S( f ) ei 2 f t d f |
|
|
|
2. Для периодического сигнала для этой цели подходит ряд Фурье.
T / 2
S( fk ) s(t) e i 2 fk t dt |
|
|
|
|
|
T / 2 |
|
(49) |
|
|
|
|
|
|
s(t) f S( fk ) e |
i 2 fk |
t |
|
|
|
k
32
3. Для дискретного сигнала в качестве спектра и обратного преобразования применяют, найденные нами формулы
SD ( f ) |
1 |
|
|
e |
i |
n |
f |
|
|
||||||
|
sn |
|
F |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2F |
|
|
|
|
(50) |
|
|
|
n |
|
|
|
||
F |
|
|
n |
|
|
|
|
sn SD ( f ) e i |
|
f d f |
|
||||
F |
|
||||||
F
Здесь частота F равна частоте Найквиста.
33
Соотношение между спектрами непрерывного
и дискретного сигналов
Рассмотрим, как связан спектр S(f) непрерывного сигнала s(t) со спектром SD ( f ) дискретного сигнала sn , полученного из непрерывного сигнала с помощью дискретизации.
Вычислим обратное преобразование Фурье (48) для дискретных моментов времени
tn |
n t |
|
n |
(51) |
|
||||
|
|
|
2F |
|
|
|
|
|
В результате мы найдем отсчеты дискретного сигнала sn.
34
|
n |
|
|
sn s(tn ) S( f ) e i |
|
f d f |
(52) |
F |
В выражении (52) интеграл с бесконечными пределами разобьем на бесконечную сумму интегралов по конечным интервалам длительностью 2F .
|
|
(2 m 1) F |
i |
n |
f |
|
|
S( f ) e |
|
d f |
|||||
sn |
|
|
F |
|
|||
|
|
|
|
|
(53) |
||
m (2 m 1) F |
|
|
|
|
|
||
В выражении (53) сначала сделаем замену переменной интегрирования
f q 2 m F
35
затем поменяем местами порядок суммирования и интегрирования.
|
F |
i |
n |
q |
|
|
|
|
S(q 2 m F ) e |
F |
d q |
|
|
||
sn |
|
|
|
|
|||
m |
F |
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
i |
n |
f |
|
|
|
S( f 2 m F ) |
|
|
F |
|
d f |
|
e |
|
|
|
|||
F |
m |
|
|
|
|
|
|
Если теперь сравнить выражение (54) с обратным преобразованием для дискретного сигнала (50), то мы получаем искомую связь.
SD ( f ) S( f 2 m F)
m
(54)
(55)
36
Таким образом, спектр дискретного сигнала представляет собой бесконечный ряд сдвинутых копий спектра исходного непрерывного сигнала. Расстояние по частоте между соседними копиями спектра равно удвоенной частоте Найквиста.
Рассмотрим пример, когда спектр непрерывного сигнала отличено от нуля только в интервале длительностью 2F. В этом случае сдвинутые копии не перекрываются, как это видно из рисунков.
37
1.4 |
S ( f ) |
|
|
1.2 |
|
1 |
|
0.8 |
|
0.6 |
|
0.4 |
|
0.2 |
|
0
2 F |
F |
0 |
F |
2 F |
38
1.4 |
|
SD ( f ) |
|
|
|
|
|
|
|
1.2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
0.8 |
|
|
|
|
0.6 |
|
|
|
|
0.4 |
|
|
|
|
0.2 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
2 F |
F |
0 |
F |
2 F |
39
1.4 |
S ( f ) |
|
|
1.2 |
|
1 |
|
0.8 |
|
0.6 |
|
0.4 |
|
0.2 |
|
0
2 F |
F |
0 |
F |
2 F |
40
1.4 |
|
SD ( f ) |
|
|
|
|
|
|
|
1.2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
0.8 |
|
|
|
|
0.6 |
|
|
|
|
0.4 |
|
|
|
|
0.2 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
2 F |
F |
0 |
F |
2 F |
41