После подстановки формулы (33) в выражения для комплексного ряда Фурье (31), последний примет вид
|
|
|
s(t) f S( fk ) e |
i 2 fk |
t |
|
|
|
k |
|
(34) |
T / 2 |
|
|
S( fk ) s(t) e i 2 fk t d t |
|
|
T / 2 |
|
|
Таким образом, спектрS( fk ) периодического сигнала оказался дискретным, или еще говорят линейчатым. По аналогии с непрерывным спектром финитного сигнала, можно ввести амплитудно-частотную характеристику сигнала (АЧХ) и фазово-частотную характеристику (ФЧХ)
21
A( fk ) |
|
|
S ( fk ) |
|
, |
(35) |
|
|
|||||
|
|
|||||
( fk ) |
arg (S ( fk )) |
|
||||
Таким образом, для периодического сигнала АЧХ и ФЧХ являются дискретными.
Теперь посмотрим, как можно получить спектр дискретного сигнала. За основу возьмем спектр непрерывного сигнала s(t) , из которого получен дискретный сигнал sn .
Спектр непрерывного сигнала находим из преобразования Фурье.
|
i 2 f t |
|
|
|
S( f ) s(t) e |
d t |
(36) |
||
|
||||
|
|
|
22
Интеграл в этом преобразовании будем вычислять приближенно по формуле прямоугольников. В качестве опорных точек интегрирования возьмем отсчеты дискретного сигнала sn , а в качестве промежутков интегрирования возьмем шаг дискретизации t . Тогда вместо интеграла (36) появится сумма, которую и назовем спектром дискретного сигнала
|
|
|
SD ( f ) t sn e |
i 2 f n t |
(37) |
|
|
n
23
Для этого воспользуемся свойствами спектра дискретного сигнала.
1)Спектр SD ( f ) дискретного сигнала является
непрерывной функцией частоты f .
2)Спектр SD ( f ) дискретного сигнала является периодической функцией с периодом 1/ t . Покажем это
|
|
|
SD ( f 1/ t) t sn e i 2 ( f 1/ t ) n t |
|
|
n |
(38) |
|
|
||
|
||
t sn e i 2 f n t e i 2 n SD ( f ) |
|
|
n |
|
24
Здесь мы учли, что последняя экспонента в выражении (38) равна единице по формуле Эйлера
e i 2 n cos(2 n) i sin(2 n) 1
Поскольку спектр дискретного сигнала оказался периодической функцией, то естественно воспользоваться аналогией с разложением периодического сигнала в ряд Фурье, и выбрать формулы похожие на формулы (34).
Поэтому, в качестве обратного преобразования к преобразованию (37), рассмотрим следующую формулу.
25
|
1/ (2 t ) |
i 2 f n t |
|
|
|
sn |
SD ( f ) e |
d f |
(39) |
||
|
|||||
|
|
|
|
1/ (2 t )
Здесь частота, стоящая в пределах интеграла называется частотой Найквиста (Nyquist frequency).
F fNyquist |
|
1 |
(40) |
|
2 f |
||||
|
|
|
Докажем справедливость преобразования (39). Для этого подставим выражение для спектра дискретного сигнала (37) в формулу (39). Кроме того, шаг дискретизации t выразим через частоту Найквиста.
26
F |
i |
n |
f |
|
F |
1 |
|
i |
m |
f |
|
|
|
|
|||||||
sn SD ( f ) e |
|
F |
|
d f |
|
|
sm e |
|
F |
|
|
|
2F |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
e |
||||
F |
|
|
|
|
F |
|
n |
|
|
|
i n f
F d f (41)
Меняем порядок интегрирования и суммирования в (41), и приходим к выражению.
|
|
|
1 |
F |
i |
(n m) |
f |
|
|
sn |
|
e |
|
|
|||||
sm |
2F |
|
|
|
d f |
|
|||
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
(42) |
|
n |
|
|
F |
|
|
|
|
|
Интеграл в скобке равен единице, если n = m и нулю, если n m . Это свойство можно выразить, введя символ Кронекера.
27
Символ Кронекера определяется соотношением
1, |
if n m |
(43) |
|
n,m |
0, |
if n m |
|
|
|
||
Основное свойство символа Кронекера состоит в том, что он свертывает сумму по следующему правилу
N2 |
f , |
if N m N |
|
(44) |
||
fn n,m |
m |
1 |
|
2 |
||
n N1 |
|
0, |
if m N1 |
or m N2 |
||
28
Напомним, что аналогичным свойством обладает дельта- функция. Только там речь идет об интегралах, а здесь присутствуют суммы. Вместо формулы (43) там имеет место формула
0, |
t 0, |
(45) |
||
(t) |
, |
t 0 |
||
|
||||
|
|
|||
Вместо свойства (44) там существует аналогичное свойство
b |
f (t0 ), |
t0 [a, b], |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
f (t) (t t |
|
) dt |
0, |
t0 [a, b] |
(46) |
a |
|
|
|
29
Теперь интеграл в формуле (42) может быть выражен через символ Кронекера.
1 |
F |
i |
(n m) |
f |
|
|
e |
F |
d f n, m |
||||
|
|
|||||
F |
|
|
(47) |
|||
2F |
|
|
|
|
! Проведя интегрирование, доказать справедливость формулы (47).
Подставляем формулу (47) в выражение (42), и используя свойства символа Кронекера, получаем.
|
|
sn sm n, m |
sn |
n |
30 |
|