Лекция 5
Принцип неопределенности для сигналов в плоскости время-частота
Определим для сигнала s(t) энергию сигнала E следующей
формулой. |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
E s |
(t) dt |
(1) |
|
|
|
|
Если использовать равенство Парсеваля для преобразования Фурье, то энергию сигнала можно выразить через спектр сигнала
|
|
|
|
|
2 |
(t) d t | |
2 |
d f |
(2) |
E s |
S( f ) | |
|
||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
Если перейти к нормированному сигналу по формуле
~ |
(t) |
s(t) |
||
s |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
E |
|||
то энергия нормированного сигнала будет равна единице.
~ |
~2 |
|
~ |
2 |
d f 1 |
(3) |
E s |
(t) d t | |
S |
( f ) | |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Поэтому дальше будем предполагать, что сигнал s(t) нормирован и имеет энергию равную единице. Для простоты тильду ( ) будем опускать.
2
Определим для спектра S(f) ширину спектра f по формуле
f 2 |
|
|
f |
m f 2 | S( f ) |2 |
d f |
|
|
(4) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где среднее значение частоты m f равно |
|
|
||||
m f |
|
|
|
|
|
|
f | S( f ) | d f |
|
(5) |
||||
|
|
|
|
2 |
|
|
Если сигнал s(t) - действительная функция, то среднее значение частоты равно нулю
m f 0 |
(6) |
|
3 |
||
|
! Доказать , что для действительных сигналов среднее значение частоты m f 0 .
Поэтому ширину спектра будем находить по формуле
f |
2 |
|
|
2 |
2 |
|
f |
|
|||||
|
|
| S( f ) | d f |
(7) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определим для сигнала s(t) длительность импульса t по |
||||||
формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t 2 |
|
t mt 2 s2 (t) d t (8) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
где среднее значение времени mt равно
|
|
|
2 |
(t) d t |
|
mt t s |
(9) |
|
|
|
Всегда можно сигнал сдвинуть по оси времени, так что среднее значение времени будет равно нулю. Используя свойство [3] интегрального преобразования Фурье, можно показать, что при этом АЧХ сигнала не измениться.
! Используя свойство [3] интегрального преобразования Фурье, показать, что АЧХ сигнала не измениться при любом сдвиге сигнала по оси времени.
5
Поэтому длительность импульса будем находить по формуле
t |
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
t |
s |
(t) d t |
(10) |
|||||
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
Теорема 1. Для любых дифференцируемых вещественных сигналов единичной энергии произведение ширины спектра по формуле (7) и длительности импульса по формуле (10) ограничено снизу:
f t |
1 |
(11) |
4 |
||
|
|
6
Доказательство. Перемножим формулы (7) и (10)
f |
2 |
t |
2 |
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
2 2 |
|
|
(12) |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
| S( f ) | |
d f |
|
|
|
(t) d t |
|
|
||||
|
|
|
f |
|
|
|
t s |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Первый интеграл в формуле (12) преобразуем следующим образом. Используем свойство [7] преобразования Фурье. В этом случае производной s (t) от сигнала s(t) соответствует следующий спектр.
s (t) ( 2 i) f S f (13)
7
Запишем равенство Парсеваля для производной s (t).
|
s (t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
2 |
2 |
(14) |
||||
|
|
|
d t 2 |
|
|
|
|
| S( f ) | d f |
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
После подстановки формулы (14) в формулу (12) последняя формула принимает вид
f 2 t 2 |
1 |
|
2 2 |
||
|
|
|
2 |
|
|
|||
|
|
||
|
s (t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
d t |
|
|
t |
s |
(t) d t |
|
||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(15)
8
Вспоминаем, что в пространстве L2 (R) скалярное произведение и норма задаются следующими выражениями.
|
|
|
|
|
|
2 |
|
(16) |
||
f , g f (t) g(t) d t, |
|
|
|
f |
|
|
f |
(t) d t |
||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Заменяем в формуле (15) интегралы соответствующими нормами
f 2 t 2 |
|
1 |
|
|
s (t) |
|
|
|
2 |
|
t s(t) |
|
|
|
2 |
(17) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2 2 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9
Вспоминаем неравенство Коши – Буняковского.
f (t) |
|
|
|
|
|
|
|
g(t) |
|
|
|
|
|
f (t), g(t) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Формула (17) после применения неравенства Коши – Буняковского принимает вид
f |
2 |
|
t |
2 |
|
1 |
|
|
|
t s(t) |
2 |
|
|||
|
|
2 2 |
|
|
|
||||||||||
|
|
s (t), |
|
||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
s (t)t s(t) d t |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
(18)
(19)
10