51. Понятия о колебательных процессах. Гармонические колебания (гк), их характеристики. Представление гк в аналитическом, графическом виде и с помощью векторной диаграммы.

Колебаниями называются движения или процессы, которые характеризуются опреде­ленной повторяемостью во времени. Колебания называются свободными (или собственными), если они совершаются за счет первоначально сообщенной энергии при последующем отсутствии внешних воз­действий на колебательную систему (систему, совершающую колебания). Простейшим типом колебаний являются гармонические колебания — колебания, при которых колеб­лющаяся величина изменяется со временем по закону синуса (косинуса).

илигдеA - амплитуда; ω - круговая частота; α - начальная фаза;( ωt + α ) - фаза.Фаза колебания - это аргумент гармонической функции: ( ωt + α ). Начальная фаза α - это значение фазы в начальный момент времени, т.е. при t = 0. Амплитуда колебанияA - это наибольшее значение колеблющейся величины. Промежуток времени T, в течение которого фаза гармонической функции изменяется на 2π . ω(t + T) +α = ωt + α + 2π,или ωT = 2π. ВремяT одного полного колебания называется периодом колебания. Частотой ν называют величину, обратную периоду частота - герц (Гц), 1 Гц = 1 с^-1.Круговая, или циклическая частоты ω в 2π раз больше частоты колебаний ν. Круговая частота - это скорость изменения фазы со временем. Скорость v и ускорение а колеблющейся точки соответственно равны

Гармонические колебания можно представить несколькими способами. Рассмотрим эти способы.

Аналитический:x = A sin ( ω t + φ₀ );    υ_x = υ_m cos ( ω t + φ₀ );    a_x = –a_m sin ( ω t + φ₀ ).

Графический: Геометрический, с помощью вектора амплитуды (метод векторных диаграмм):

52. Сложение гармонических колебаний одной частоты и одинакового направления. Сложение взаимно перпендикулярных гармонических колебаний одинаковой частоты.

Сложение гармонических колебаний одной

частоты и одинакового направления.

Гармонические колебания одного направления и одинаковой частоты

уравнение результирующего колебания будет

амплитуда А и начальная фаза  соответственно задаются соотношениями

Периодические изменения амплитуды колебания, возникающие при сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами, называются биениями.

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

Начало отсчета выберем так, чтобы начальная фаза первого колебания была равна нулю, и запишем

где  — разность фаз обоих колебаний, А и В — амплитуды складываемых колебаний.Записывая складываемые колебания в видеи заменяя во втором уравненииcost на х/А и sint на , получим после несложных преобразований уравнение эллипса, оси которого ориентированы относите­льно координатных осей произвольно:

Так как траектория результирующего колебания имеет форму эллипса, то такие колебания называются эллиптически поляризованными.

53. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний. Гармонические осцилляторы: груз на пружине, колебательный контур. Энергетические соотношения для гармонических осцилляторов.

Дифференциальное уравнение гармонических колебаний(где s = A cos (₀t+)).

Гармоническим осциллятором называется система, совершающая колебания, описыва­емые уравнением вида

1. Пружинный маятник — это груз массой т, подвешенный на абсолютно упругой пружине и совершающий гармонические колебания под действием упругой силы F = –kx, где k — жесткость пружины. Уравнение движения маятника.Пружинный маятник совершает гармоничес­кие колебания по законух=А соs (₀t + ) с циклической частотойи периодомПотенциальная энергия пружинного маятника равна

2. Физический маятник — это твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси, проходящей через точку О, не совпадающую с центром масс С тела.Если маятник отклонен из положения равновесия на некоторый угол , то в соот­ветствии с уравнением динамики вращательного движения твердого тела момент M возвращающей силы можно записать в видегдеJ — момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку подве­са О, l – расстояние между ней и центром масс маятника, F_= –mg sin  –mg. — возвращающая сила (знак минус обусловлен тем, что направления F_ и  всегда противоположны; sin  соответствует малым колебаниям маятника, т.е. малым отклонениям маятника из положения равновесия). физический маятник совершает гармонические колебания с циклической частотой₀ и периодом

где L=J/(ml) — приведенная длина физического маятника.Точка О' на продолжении прямой ОС, отстоящая от точки О подвеса маятника на расстоянии приведенной длины L, называется центром качаний физического маятника. Применяя теорему Штейнера, получим

3. Математический маятник — это идеализированная система, состоящая из материальной точки массой т, подвешенной на нерастяжимой невесомой нити, и колеб­лющаяся под действием силы тяжести. Момент инерции математического маятникагдеl — длина маятника.Приведенная длина физического маятника — это длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с пери­одом колебаний данного физического маятника.

Колебательный контур — цепь, состоящая из включенных последовательно катушки индуктивностью L, конденсатора емкостью С и резистора сопротивлением R. согласно закону сохранения энергии, полная энергияСогласно закону Ома, для контура, содержащего катушку индуктивностью L, конденсатор емкостью С и резистор сопротивлением R,

где IR—напряжение на резисторе, Uc=Q/C—напряжение на конденсаторе, –э.д.с. самоиндукции, возникающая в катушке при протекании в ней переменного тока (– единственная э.д.с. в контуре). Следовательно,. ЗарядQ совершает гармонические колебания по законугдеQ_m — амплитуда колебаний заряда конденсатора с циклической частотой ₀, называемой собственной частотой контура, т. е. и периодомСила тока в колебательном контурегдеI_m=₀Q_m — амплитуда силы тока. Напряжение на конденсаторе