69. Решение стационарного уравнения Шредингера для частицы в одномерной прямоугольной потенциальной яме. Энергетические уровни.

Частица в потенциальной яме

Пусть частица движется вдоль оси х в бесконечно глубокой потенциальной яме ширины l. Потенциальная энергия в этом случае равна нулю внутри "ямы" и обращается в бесконечность повсюду вне ее.

Из-за бесконечной высоты потенциальных стенок частица не может попасть за пределы потенциальной ямы, следовательно, вне ямы функция  Ψ = 0. Из условия непрерывности на границах ямы:

.

Рис.1

Используем стационарное уравнение Шредингера:

.

В области 0 < x < l уравнение Шредингера имеет вид:

.

Обозначим

.

Тогда уравнение примет вид:

Ψ // + k2 Ψ = 0. (4)

Решение:

.

Используем (1) для определения k и α. Из получим,

откуда α = 0. Из имееми

, где n = 1,2,3…

n – главное квантовое число.

Подставим (6) в (3) и найдем собственные значения энергии:

. (n = 1,2,3…)

Спектр энергии оказался дискретным.

Оценим расстояние между соседними энергетическими уровнями

.Для молекул (m ~ 10-26 кг) газа, заключенного в сосуд с размерами l ~ 0,1 м, расчет дает, что ΔЕn~10-39 n, Дж = 10-20 n, эВ. Столь густо расположенные энергетиче­ские уровни образуют практически сплошной спектр энергии, так что кван­тование энергии на характере движения молекул сказываться не будет. Но для электрона, заключенного в области атома размера (l ~ 10-10 м), получа­ется совсем иной результат: ΔЕn~102 n, эВ. Здесь заметна дискретность уровней.

Волновая функция имеет вид:

.

Используем условие нормировки:

.

На границах функция =0, поэтому интеграл среднему значению функции, умноженному на длину интервала ℓ, т.е.

,

откуда и.

Принцип соответствия Бора

Рассмотрим влияние квантового числа n на характер расположения уровней.

Возьмем отношение . С ростом n отношение уменьшается, т.е. имеет место относительное сближение уровней.

В 1923 году Н. Бор сформулировал принцип соответствия: При больших квантовых числах результаты и выводы квантовой механики должны соответствовать классическим выводам и результатам.

Прохождение частицы через потенциальный барьер

Рассмотрим 2 случая: классический и квантовый. В квантовомеханическом случае возможен туннельный эффект. Вводится коэффициент прозрачности барьера:

.

дает вероятность прохождения волн де Бройля сквозь потенциальный барьер. По аналогии с оптикой вводится и коэффициент отражения R=1-D.

Для прямоугольного барьера

.

Для произвольного барьера

.

Туннельный эффект имеет место, когда D не слишком мала, т.е. показатель степени близок к 1. Это возможно при ℓ порядка атомных размеров.

Парадокс туннельного эффекта: Если E‹ U, то Екин ‹ 0. Но туннельный эффект чисто квантовое явление и, кроме того, Е ≠ Ек + Ер из-за соотношения неопределенностей Гейзенберга.