Конспекты. Blackboard / Тема 9.2 Учебное пособие по конечно-разностным методам решения краевой задачи

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию Дальневосточный государственный университет

Л.А. МОЛЧАНОВА

"Разностные методы решения дифференциальных уравнений"

Учебное пособие

Владивосток 2008

Рецензенты:

А.Г. Колобов, к.ф.-м.н. (ИМКН ДВГУ); Т.В. Пак, к.ф.-м.н (ИМКН ДВГУ).

Молчанова Л.А.

M Разностные методы решения дифференциальных уравнений. Учебное пособие. - Владивосток: Изд-во Дальневост. ун-та, 2008. - 68с.

Пособие содержит лекции по курсу "Численные методы". Темы: "Основные понятия теории разностных схем", "Разностные схемы для обыкновенных дифференциальных уравнений", "Разностные схемы для уравнений математической физики", "Теория устойчивости разностных схем". В пособие предлагаются теорети- ческие разделы курса "Численные методы", читаемые студентам третьего курса отделения математики.

Для студентов математических специальностей.

c Молчанова Л.А., 2008c ИМКН ДВГУ, 2008

Содержание

1.1.2Интегро-интерполяционный метод поcтроения разноcтных cхем . . . . . . . . . 4

1.2.3Устойчивость и cходимоcть разностных методов . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2Погрешность аппроксимации и погрешность схемы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3Корректность. Сходимость. Связь между устойчивостью и сходимостью . . . . . . . . 17

3.1Метод конечных разноcтей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.2Монотонные разноcтные cхемы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.3Интегро-интерполяционный метод (метод баланса) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.4Отыскание собственных функций и собственных значений на примере простейшей разностной задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.1Одномерное уравнение теплопроводности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.2 Уравнение колебаний струны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.3Задача Дирихле для уравнения Пуассона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.1Операторно - разноcтные cхемы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5.2Клаccы уcтойчивых двухcлойных cхем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5.3Клаccы уcтойчивых трехcлойных cхем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

6.2Модельная задача . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

6.3Методы простой итерации и Зейделя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

6.4Метод верхней релаксации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

6.5Попеременно-треугольный метод . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3

Самыми распространенными методами вычисления решения для обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными являются метод конечных разностей и его модификации. Во всех вариантах этого метода в области определения искомых функций вводится сетка и решение ищется на сетке. Для значений искомой сеточной функции строится система скалярных уравнений, решение которой и служит приближенной таблицей значений решения исходной задачи.

Простейший способ построения этой системы скалярных уравнений разностной схемы - состоит в приближенной замены производных, входящих в дифференциальное уравнение и в краевые условия, разностными отношениями, чем и объясняется название метода [9].

I.Разностные схемы для обыкновенных дифференциальных уравнений

Âвычислительной практике приходится иметь дело c различными задачами для обыкновенных дифференциальных уравнений. Такие задачи возникают как непосредственно при математическом моделировании многих реальных явлений, так и в качестве промежуточных в более cложных математических задачах.

Обычно приходится прибегать к помощи приближенных методов решения таких задач, так как доля задач, решаемых в явном виде (решение выражается в элементарных функциях, либо представляется в виде квадратур от элементарных функций) очень мала. Приближенные методы разделяются на аналитические и численные, но это разбиение чисто уcловно. Различают три основных типа задач для обыкновенных дифференциальных уравнений: задачи Коши (задачи c начальными условиями), краевые задачи и задачи на cобcтвенные значения (задачи Штурма-Лиувилля).

1.1Задача Коши для уравнения первого порядка

1.1.1Постановка исходной задачи

Требуется найти непрерывную при 0 x 1 функцию u=u(x); удовлетворяющую при x>0 уравнению и начальному условию при x=0

ãäå f (x; u) - заданная непрерывная функция двух аргументов [13].

Åcëè f (x; u) определена в облаcти G=fjxj 1; ju u0j bg и удовлетворяет по переменной u

условию Липшица

jf (x; u1) f (x; u2)j Lju1 u2j äëÿ âcåõ (x; u1); (x; u2); L=const>0;

то задача (1) имеет единственное решение, определенное при jxj x~= min(1; b=L).

Существуют разные способы вывода численных методов решения задачи Коши [9, 10, 11, 12, 13]. Остановимся на одном из них.

1.1.2Интегро-интерполяционный метод поcтроения разноcтных cхем

Введем на отрезке [0,1] равномерную сетку wh=fxi=ih; i=0; M , h=1=M g и обозначим через ui = u(xi) - точное решение задачи (1) в узле xi, а через vi - приближенное решение.

Наиболее распространенными одношаговыми методами приближенного решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений являются методы Рунге-Кутта, позволяющие вы- числительно устойчивым образом сколько угодно точно получить решение задачи Коши [13].

4

Так как обыкновенное дифференциальное уравнение может быть представлено эквивалентным образом в виде интегрального уравнения, то, вычисляя интеграл в этом уравнении по некоторой квадратурной формуле, приходят к определенному способу приближенного решения исходного дифференциального уравнения.

Проинтегрируем левую и правую части уравнения (1) в границах от xi äî xi+1:

Таким образом, данное дифференциальное уравнение (1) с начальным условием преобразовалось

âинтегральное уравнение.

1.Метод Эйлера. Заменим интеграл в равенстве (2) по формуле левого прямоугольника

Значения vi находятся последовательно, начиная с vo = uo по явной формуле vi+1=vi + hf (xi; vi); i=0; 1; :::; M 1; vo=uo:

При использовании приближенных методов основным является вопрос о сходимости. Понятие сходимости приближенного метода можно сформулировать по-разному [13]. Наибольшее распространение получило понятие сходимости при h ! 0. Оно означает, следующее. Фиксируем точку x и построим последовательность сеток !h таких, что h ! 0 è xi = ih = x (тогда необходимо n ! 1). Говорят, что метод (3) сходится в точке x, åñëè jvi u(xi)j ! 0 ïðè h ! 0; xi = x.

Метод сходится на отрезке (0,1], если он сходится в каждой точке x 2 (0; 1].

Говорят, что метод имеет p-é порядок точности, если существует число p>0 такое, что при h ! 0 jvi u(xi))j=O(hp).

Получим уравнение, которому удовлетворяет погрешность метода zi=vi u(xi). Подставляя vi=zi + ui в (3), получим

(3) на решении исходного уравнения (1). Видно, что невязка представляет собой результат подстановки точного решения u = u(x) в левую часть разностного уравнения (3). Если бы приближенное решение vi совпадало с точным u(xi), то невязка равнялась бы нулю.

Говорят, что разностный метод аппроксимирует исходное дифференциальное уравнение, åñëè

! 0 ïðè h ! 0. Разностный метод имеет p-é порядок аппроксимации, åñëè

Функция

5

Порядок аппроксимации метода Эйлера (3) нетрудно найти, используя разложение по формуле Тейлора. Поскольку

то в силу уравнения (1)

(1)0

i = u (xi) + f (xi; ui) + O(h) = O(h);

ò.е. метод Эйлера имеет первый порядок аппроксимации. При выводе предполагалась ограниченность u00.

2.Модификации метода Эйлера. При использовании в (2) простейшей квадратурной формулы правых прямоугольников получаем неявный метод Эйлера

Этот метод называется неявным, поскольку для вычисления неизвестного значения vi+1 по известному значению vi требуется решить уравнение, в общем случае нелинейное.

Применение к интегралу в (2) простейшей квадратурной формулы трапеции приводит тоже к неявному методу

Он называется методом трапеции или симметричной схемой.

Для нахождения vi+1 по найденному ранее vi необходимо решить нелинейное уравнение vi+1 0; 5hf (xi+1 ; vi+1)=Fi;

ãäå Fi = vi + 0; 5hf (xi ; vi): Преимуществом метода (6) по сравнению с (3) является более высокий

порядок аппроксимации.

Чтобы получить следующую модификацию метода Эйлера, проинтегрируем уравнение (1) по

Применяя к последнему интегралу одноточечную квадратурную формулу средних прямоугольников и заменяя значения ui 1 è ui+1 приближенными значениями vi 1 è vi+1 соответственно, получим формулу для подсчета приближенного значения vi+1:

6

Эта формула называется уточненным методом Эйлера. Она является методом второго порядка.

Отметим одно принципиальное отличие метода (7) от всех других рассмотренных до этого методов. Он является двухшаговым. Здесь для вычисления значения vi+1 привлекаются два предыду-

щих значения: vi è vi 1. Двухшаговость накладывает определенные ограничения, по крайней мере, на начало численного процесса: значение v1 не может быть найдено непосредственно этим методом.

Поэтому недостающую вторую начальную для процесса (7) приходится получать другим путем,

например, явным методом Эйлера.

3. Метод Рунге-Кутта второго порядка точности. Предположим, что приближенное зна- чение vi решения исходной задачи в момент x = xi уже известно [13]. Для нахождения vi+1 поступим

следующим образом. Сначала, используя cхему Эйлера

(6)является явным.

Реализация метода (10) в виде двух этапов (8), (9) называется методом предиктор корректор

(предсказывающе-исправляющим), поскольку на первом этапе (8) приближенное значение предсказывается с невысокой точностью O(h), а на втором этапе (9) это предсказанное значение исправляется, так что результирующая погрешность имеет второй порядок по h.

Метод (10) можно реализовать иначе. А именно, cначала вычислим последовательно функции

k1=f (xi; vi); k2=f (xi + 0; 5h; vi + 0; 5hk1 );

а затем находим vi+1 из уравнения (vi+1 vi)=h=k2:

Такая форма реализации метода (10) называется методом Рунге Кутта. Поскольку требуется вычислить две промежуточные функции k1; k2; данный метод относится к двухэтапным методам.

7

1.1.3Методы Рунге-Кутта

1. Общая формулировка методов. Cемейcтво методов второго порядка. По-прежнему рассматриваем задачу Коши для одного уравнения

Явный m-этапный метод Рунге-Кутта (m<6) cоcтоит в следующем. Пусть решение vi уже известно. Задаются числовые коэффициенты ai; bij , i = 2; :::; m; j = 1; 2; :::; m 1; i; i=1; 2; :::; m è

vi+1 = vi + h( 1k1 + 2k2):

Исследуем погрешность аппроксимации методов (3) в зависимости от выбора параметров. Исключая из последнего уравнения функции k1 è k2, получаем

По определению погрешностью аппроксимации или невязкой метода (3) называется выражение

полученное заменой в (4) приближенного решения vi точным решением ui = u(xi).

Найдем порядок погрешности аппроксимации в предположении достаточной гладкости решения u(t) и функции f (x; u). Для этого разложим все величины, входящие в выражение (5) по формуле

Отсюда видно, что методы (3) имеют первый порядок аппроксимации, если 1 + 2 = 1.

8

Если же дополнительно потребовать 2a2 = 2b21 = 0; 5, то получим методы второго порядка ап-

проксимации. Таким образом, имеется однопараметрическое cемейcтво двухэтапных методов Рунге

ãäå a = 0; 5.

В частности, при = 1; a = 0; 5 получаем симметричную cхему, а при =1 è a=0; 5 схему

предиктор-корректор.

Двухэтапных методов третьего порядка аппроксимации не существует. Для этого достаточно рассмотреть уравнение u0 = u: Для него двухэтапный метод принимает вид

Отсюда видно, что наивысший достижимый порядок аппроксимации равен двум.

2. Сходимость методов Рунге-Кутта. Имеет меcто теорема 1. Пуcть правая часть урав-

(1)

нения (1) удовлетворяет условию Липшица по второму аргументу c константой L. Пусть j - невязка метода Рунге Кутта. Тогда для погрешности методов Рунге-Кутта при nh X справедлива оценка [2, 13].

2 i m

Следствие. Если метод Рунге-Кутта аппроксимирует исходное уравнение, то он сходится при h ! 0, причем порядок точности совпадает с порядком аппроксимации.

1.2Многошаговые разностные cхемы

Существенным недостатком одношаговых методов является использование информации об исходной задаче Коши в пределах одного шага. При переходе от шага к шагу эта информация должна каждый раз быть заново получена. Многошаговые методы дают возможность повторного использования части информации о решении на cоcедних этапах вычислений, что позволяет уменьшить затраты вычислительного труда на каждый шаг интегрирования [13].

1.2.1 Формулировка методов

введем cетку wh=fxi=ih; i = 0; M g и обозначим через fi=f (xi; vi), vi cеточные функции.

9

Линейным m-шаговым разностным методом называется cиcтема разностных уравнений

ãäå ak ; bk - числовые коэффициенты, не зависящие от i; k = 0; m, причем a06=0 [13].

Уравнение (2) следует рассматривать как рекуррентное соотношение, выражающее новое значе- ние vi через найденные ранее значения vi 1, vi 2, :::, vi m.

Расчет начинается с i = m, т. е. с уравнения

a0vm + a1vm 1 + + amv0 = b0fm + b1fm 1 + + bmf0: h

Отсюда видно, что для начала расчета необходимо задать m начальных значений v0; v1; :::; vm 1 . Значение v0 определяется исходной задачей (1), а именно полагают v0 = u0. Величины v1; v2; :::; vm 1

можно вычислить, например, с помощью метода Рунге Кутта. В дальнейшем будем предполагать, что начальные значения v0; v1; :::; vm 1 заданы.

Метод (2) называется явным, åñëè b0=0 и, следовательно, искомое значение vi выражается явным образом через предыдущие значения vi 1; : : : ; vi m. Åñëè b0 6= 0, то метод (2) называется неявным:

Обычно это уравнение решают методом Ньютона, выбирая начальное приближение vi(0) равным vi 1.

Коэффициенты уравнения (2) определяются c точностью до множителя. Чтобы устранить этот произвол, предполагается, что выполнено уcловие нормировки

k=0

Оно означает, что правая часть разностного уравнения (2) аппроксимирует правую часть дифференциального уравнения (1).

В практике вычислении наибольшее распространение получили методы Адамcа, которые представляют cобой частный случай многошаговых методов (2), когда производная u0(x) аппроксими-

руется по двум точкам xi è xi 1, ò. å. a0 = 1, a1 = 1; ak = 0; k=2; : : : ; m. Таким образом, методы Адамса имеют вид

h

k=0

В случае b0 = 0 методы Адамса называются явными, в случае b0 =6 0 неявными.

1.2.2Погрешность аппроксимации

Погрешность аппроксимации на решении èëè невязку разностного метода (2)

10