Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Дальневосточный федеральный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Конспекты. Blackboard / Тема 9.1 Простейшие методы решения краевой задачи для уравнения второго порядка

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.04.2015

Размер:

299.61 Кб

Скачать

☆

Простейшие методы решения краевой задачи для уравнений второго порядка

Среди краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений существенную часть составляют задачи для уравнений и систем второго порядка. В частности, такие задачи возникают в баллистике, теории упругости и т.д.

Начнем изучение вопроса с одной частной, но довольно распространенной краевой задачи. Ищется решение уравнения

Ly y p(x) y

f (x)

на (0, X )

(1)

при граничных условиях

y(0) a,

y( X ) b .

(2)

Зададимся шагом h XN 1 ,

N целое;

точки xn

nh примем за узлы сетки; как обычно,

yn - приближения к значениям y(xn ) . После замены производной

y (xn )

на разностное

отношение

2 yn

yn 1 2 yn yn 1

получаем систему уравнений

l( y

)

2 y

n 1,...,N 1;

(3)

здесь pn p(xn ),

f n

f (xn ) ; граничные условия заменим соотношениями

y0 a, yN b .

(4)

Покажем, что при

p(x) 0

система уравнений (3),

(4) имеет решение, и дадим

оценку погрешности.

Лемма 1. Пусть p(x) 0 , l(zn ) 0 , z0 ,

z N 0 . Тогда zn 0 при всех n .

Лемма 2. Если p(x) 0 , то для любой функции zn выполняется неравенство

max

| z

| max | z

|, | z

| Z

X 2

0 n N

где

max | l(zn ) | .

0 n N

Рассмотрим

случай,

когда

функции

p(x)

f (x)

дважды

непрерывно

дифференцируемы. В курсе дифференциальных уравнений доказывается, что тогда

решение y(x)

четырежды непрерывно дифференцируемо.

Пусть rn

- погрешность аппроксимации, соответствующая конечно разностной схеме

(3):

rn l( y(xn )) fn

y(xn 1 ) 2 y(xn ) y(xn 1 )

p(xn ) y(xn )

(5)

f (xn ).

Поскольку p(x) y(x) f (x) y (x) , то

y(xn 1 ) 2 y(xn ) y(xn 1 )

y (x

) .

Из оценок погрешности формул численного дифференцирования (§ 2.15) имеем

y (4)

(xn )h 2

xn xn 1 .

, где xn 1

(6)

Из-за округления, получаемые в процессе вычислений приближения	yn к значениям
y(xn ) , удовлетворяют системы (3), (4) с некоторыми погрешностями
l( yn ) f n n .	(7)
Вычитая (5) из (7), получим уравнение
l(Rn ) n rn

относительно погрешности приближенного решения Rn yn y(xn ) . Воспользовавшись леммой 2, получим

| R

| max | R |, |

| |

X 2

max | r | max

0 n N

Согласно оценке (6) имеем

| r | M

max | y(4) (x) | .

4 12

[0, X ]

Таким образом, окончательная оценка погрешности имеет вид

| Rn | max | R0

|, | RN | |

M 4 X 2 h2

X 2

| n | .

max

0 n N

8 0 n N

Мы видим, что при повышении точности, с которой удовлетворяются граничные условия и разностное уравнение, при одновременном стремлении шага к нулю решение сеточной задачи сближается с решением дифференциальной задачи.

Описанный метод дает приближенное решение, сходящееся к точному со скоростью O(h2 ) . Займемся построением более точных схем. Будем предполагать, что функция p(x) и f (x) непрерывно дифференцируемы четыре раза, тогда решение задачи непрерывно дифференцируемо шесть раз. Еще раз рассмотрим выражение

r	y(xn 1 ) 2 y(xn ) y(xn 1 )	y (x	n	) .

n	h2

Подставим сюда представление y(xn 1 ) с помощью формулы Тейлора:

y(xn 1 ) y(xn ) y (xn )h y (xn )

y (xn )

y (4) (x

)

y (5) (x

)

O(h6 )

120

и получим

y (4) (xn ) h2

O(h4 ) .

(8)

Вычтем из l( y(xn ))

слагаемое, аппроксимирующее величину y(4) (xn )h2 /12; полученной

схеме соответствует погрешность аппроксимации более высокого порядка. Например,

можно приблизить y(4) (xn ) выражением

4 y(xn )

y(xn 2 ) 4 y(xn 1) 6 y(xn ) 4 y(xn 1) y(xn 2 )

;

получится конечно-разностная схема

2 y

4 y

n p

(9)

12h2

Эту схему можно также построить

непосредственно,

заменив

производную y (xn )

выражением h 2 2 y(x

) (1/12) 4 y(x

) ,

приближающим ее с погрешностью O(h4 ) .

Уравнение (9) содержит пять неизвестных yn с ненулевыми коэффициентами.

Решение системы, состоящей из уравнений (9) и уравнений, получающихся при аппроксимации граничных условий, более трудоемко, чем решение системы (3). Исходя из других соображений, построим конечно-разностную схему с погрешностью

аппроксимации O(h4 ) такую, что в каждое уравнение входят только три неизвестных. Дифференцируя дважды исходное уравнение, имеем

y(4) (x) ( p(x) y f ) , поэтому

			2 ( py f )	xn
y (4) (x	n	)


			h2

( pn 1 y(xn 1 ) f n 1 ) 2( pn y(xn ) f n ) ( pn 1 y(xn 1 ) f n 1 ) . h2

Вычитая из исходной схемы приближение для y(4) (xn )h2 /12, получим схему

2 y

n p

2 ( p

) f

или

2 y

l (1) ( y

)

n p

2 ( p

)

l (1)

( f

) f

Этот метод совпадает с методом Нумерова.

В предположении, что решение непрерывно дифференцируемо восемь раз, рассмотрим

погрешность аппроксимации новой схемы r (1)

l (1) ( y(x

(1) ( f

)) l

) .

Учитывая, что pn y(xn )

f n y (xn ) , получим

r (1) l (1) ( y(x

(1) ( f

2 y(x

)

y (x

2 y (x

)) l

)

) .

Воспользовавшись формулой Тейлора, аналогично (8) получаем равенство

r (1)

y (6) (xn )h4

O(h6 ) .

240

Построим приближение

величины

y(6) (xn )

посредством

значений y(xn 1 ) , y(xn ) ,

y(xn 1 ) . Таких приближений можно написать очень много, например следующим образом. Согласно уравнению (1)

y py f , y

( py

f ) , y (4)

( py f ) ,

y(6) ( py f )(4)

py(4) 4 p y(3)

6 p y 4 p(3) y p(4) y f (4) ,

поэтому справедливо приближенное равенство

y (6) (x

) p

( p

y(x

) f

)

4 p (x

) ( pn 1 y(xn 1 ) fn 1 ) ( pn 1 y(xn 1 ) f n 1 )

6 p (x

)( p

y(x

) f

) 4 p(3) (x

)

y(xn 1 ) y(xn 1 )

p(4) (x

) y(x

) f (4)

Прибавляя к l (1) ( yn ) выражение, приближающее y(6) (xn )h4 / 240 , получим конечно-

разностную схему с погрешностью аппроксимации O(h6 ) ; при этом в каждое уравнение получившейся алгебраической системы входят только три неизвестных yn .

Для практической оценки погрешности решения краевой задачи может применяться правило Рунге. Законность его применения основывается на существовании главного члена погрешности.

Задача 1. Пусть функции p(x) и f (x) четырежды дифференцируемы. Доказать, что для решения задачи (3), (4) справедливо соотношение

max \| y	n	y(x	n	) h 2 z(x	n	) \| O(h4 );
n	n		n		n
n
здесь z(x) - решение краевой задачи

L z y(4) (x) /12, z(0) 0, z(X ) 0.

Аналогичный прием последовательного повышения порядка погрешности аппроксимации может быть применен и по отношению к аппроксимациям граничного условия.

Рассмотрим случай граничного условия y (0) y(0) a .

Дискретное приближение высокой точности к такому граничному условию можно получить непосредственно, заменив производную y (0) по какой-либо формуле численного дифференцирования высокой точности:

y (0) l ci y(xi ) .

i 0 h

Однако погрешность аппроксимации будет меньше и решение возникающей алгебраической системы представит меньше трудностей, если идти по описанному выше пути последовательного повышения порядка точности аппроксимации.

Заменим производную y (0)

отношением

y(h) y(0)

;

тогда получим l (1)

( y

)

y1 y0

a 0 .

Подставляя в r (1)

y(h) y(0)

y(0) a разложение

y(h) y(0) y (0) O(h2 ) ,

имеем

r (1)

y (0)

y (0)h

O(h2 ) y(0) a

y (0)h

O(h2 ) .

Таким образом, погрешность аппроксимации граничного условия есть O(h) . Поскольку,

согласно уравнению (1),

y (0) p0 y(0) f0 ,

то уравнению

l 2	( y	n	)	y1 y0	y	0	a ( p	0	y	0	f	0	)	h	0

0				h									2

соответствует второй порядок аппроксимации. Подставляя в r (2)			l (2)	( y(x	n	)) разложение
		0	0		n
y(h) y(0) y (0)h y (0)h2 / 2 O(h3 ) ,
получим r (2)	y (3) (0)h2	O(h3 ) .
получим r (2)		O(h3 ) .
0	6
	6

После дифференцирования исходного уравнения (1) имеем

y(3) (0) p0 y (0) p (0) y(0) f (0) 0 ;

поэтому с учетом граничного условия справедливо равенство

y(3) (0) p0 ( y(0) a) p (0) y(0) f (0) 0 .

Разностному уравнению

l0(3) ( yn ) l0(2) ( yn ) ( p0 p (0)) y0 p0 a f (0) h62 0

будет соответствовать уже третий порядок аппроксимации. Можно было бы сразу написать равенство


		r (1)	y (0)				h	y (3) (0)		h2	,
		r (1)	y (0)					y (3) (0)			,
		0				2			6
						2			6
затем выразить производные		и	y	(3)	(0)	через			y(0) и, вычитая из разностной схемы
затем выразить производные	y (0)	и	y		(0)	через			y(0) и, вычитая из разностной схемы

соответствующее выражение, получить уравнение

l0(3) ( yn ) 0 .

Мы обратили основное внимание на способ последовательного повышения порядка точности.

Соседние файлы в папке Конспекты. Blackboard

#
25.04.2015659.06 Кб11Тема 2. Интерполирование.pdf
#
25.04.2015423.71 Кб11Тема 3. Дифференцирование.pdf
#
25.04.2015473.81 Кб11Тема 4. Численное интегрирование.pdf
#
25.04.2015686.51 Кб15Тема 5. Сплайны.pdf
#
25.04.2015218.18 Кб12Тема 6. Среднеквадратичное приближение.pdf
#
25.04.2015299.61 Кб27Тема 9.1 Простейшие методы решения краевой задачи для уравнения второго порядка.pdf
#
25.04.2015473.71 Кб62Тема 9.2 Учебное пособие по конечно-разностным методам решения краевой задачи.pdf